人教版2024高中数学必修二第七章复数(三十四).docx

人教版2024高中数学必修二第七章复数(三十四)

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单选题
1、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（    ）
A．OA=(1，2)B．OB=(-3，0)
C．OC=0，23D．OD=(-1，-2)
答案：C
分析：结合纯虚数概念判断即可
向量OC=0，23对应的复数为23i，是纯虚数.
故选：C
2、设复数z满足z⋅i=-1+i，则z=（    ）
A．1B．2C．5D．10
答案：B
分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.
解析因为z=-1+ii=(-1+i)⋅ii⋅i=-i-1-1=1+i，
所以z=1-i，z=2.
故选：B
3、设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=（  ）
A．0B．-1C．1D．2
答案：B
分析：利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有a+1=0，即可得答案.
∵复数(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上，
∴a+1=0，即a=-1．
故选：B
4、已知复数z满足1-zz=1-i，则z=（    ）
A．-25+15iB．-25-15iC．25+15iD．25-15i
答案：D
分析：由已知条件求出复数z，利用共轭复数的定义可得出结果.
因为1-zz=1-i，所以，z=12-i=2+i2-i2+i=25+15i，因此，z=25-15i.
故选：D.
5、在复平面内，复数z=5i3-4i（i为虚数单位），则z对应的点的坐标为（    ）
A．3,4B．-4,3C．45,-35D．-45,-35
答案：D
分析：根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.
因为z=5i3-4i=5i3+4i3-4i3+4i=3i-45=-45+35i，所以z=-45-35i，
所以复数z所对应的点的坐标为-45,-35.
故选:D.
6、i为虚数单位，已知复数a2-1+(a-1)i是纯虚数，则a等于（    ）
A．±1B．1C．-1D．0
答案：C
解析：根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，列方程组求解.
复数a2-1+(a-1)i是纯虚数，所以a2-1=0a-1≠0，得a=-1.
故选：C.
7、若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z=（    ）
A．-2-iB．-2+iC．2-iD．2+i
答案：D
分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.
因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii=1+2iii×i=2-i，
所以z=2+i.
故选：D.
8、已知a∈R，1+aii=3+i，(i为虚数单位)，则a=（    ）
A．-1B．1C．-3D．3
答案：C
分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值.
1+aii=i+ai2=i-a=-a+i=3+i，
利用复数相等的充分必要条件可得：-a=3,∴a=-3.
故选：C.
多选题
9、著名的欧拉公式为：eiπ+1=0，其中i2=-1，e为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是eiθ=cosθ+isinθ0≤θ<2π，该复数在复平面内对应的向量坐标为cosθ,sinθ，则下列说法正确的是（    ）
A．ln12+32i=π3i
B．若复数z满足z=12+32i，则z2021=z
C．若复数eiα与复数eiβ在复平面内表示的向量相互垂直，则α-β=π2
D．复数eiα与复数ieiα在复平面内表示的向量相互垂直
答案：ABD
分析：对于A：根据已知得12+32i=eπ3i，再由对数运算可判断；
对于B：由已知计算得z2021=e2021π3i=12-32i=z，由此可判断；
对于C：由已知得eiα对应的向量坐标为cosα,sinα，eiβ对应的向量坐标为cosβ,sinβ，根据垂直的坐标表示可判断；
对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．
∵12+32i=cosπ3+isinπ3=eπ3i，∴ln12+32i=lneπ3i=π3i，故A正确；
∵12+32i=cosπ3+isinπ3=eπ3i，∴z2021=e2021π3i=cos2021π3+isin2021π3=12-32i=z．故B正确；
∵eiα对应的向量坐标为cosα,sinα，eiβ对应的向量坐标为cosβ,sinβ，
∴cosαcosβ+sinβsinα=0，即cosα-β=0，又0≤α，β<2π，∴α-β=π2，或3π2．故C不正确；
∵eiα=cosα+isinα，复数ieiα=-sinαi+icosα，两者对应向量坐标为cosα,sinα、-sinα,cosα，∴两向量垂直．故D正确，
故选：ABD.
10、若复数z满足：zz+2i=8+6i，则（    ）
A．z的实部为3B．z的虚部为1
C．zz=10D．z在复平面上对应的点位于第一象限
答案：ABD
分析：根据待定系数法，将z=a+bia,b∈R代入条件即可求解a=3，b=1，进而即可根据选项逐一求解.
设z=a+bia,b∈R，因为zz+2i=8+6i，所以zz+2iz=8+6i，所以a2+b2-2b+2ai=8+6i，所以a2+b2-2b=8，2a=6，所以a=3，b=1，所以z=3+i，所以z的实部为3，虚部为1，故A，B正确；zz=z2=10，故C不正确；z在复平面上对应的点3,1位于第一象限，故D正确．
故选:ABD．
11、已知复数z1=1-3i，z2=3+i，则（    ）
A．z1+z2=6B．z1-z2=-2+2i
C．z1z2=6-8iD．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限
答案：BC
分析：直接根据复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义依次判断4个选项即可.
由题可知，z1+z2=42+(-2)2=25，A不正确；
z1-z2=-2+2i，B正确；
z1z2=1-3i(3+i)=3+i-9i-3i2=6-8i，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.
故选：BC.
12、设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是（    ）
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若z2=z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
答案：BC
分析：根据复数的模的定义，共轭复数的定义，复数的乘法判断各选项，错误的选项可以举反例．
A：由复数模的概念可知，z2=z3不能得到z2=±z3，例如z2=1+i，z3=1-i，A错误；
B：由z1z2=z1z3可得z1z2-z3=0，因为z1≠0，所以z2-z3=0，即z2=z3，B正确；
C：若z2=z3，则z2=z3，有z1z22-z1z32=(z1z2)(z1z2)-(z1z3)(z1z3)，
又z1≠0，则z1z22-z1z32=0，故z1z2=z1z3，故C正确；
D：取z1=1+i，z2=1-i，显然满足z1z2=z12，但z1≠z2，D错误.
故选：BC．
填空题
13、若复数z满足方程z2+4=0，则z=______.
答案：±2i
解析：首先设z=a+bi，再计算z2，根据实部和虚部的数值，列式求复数..
设z=a+bi，则z2=a2-b2+2abi=-4，
则a2-b2=-4ab=0，解得：a=0b=±2，所以z=±2i 
所以答案是：±2i
14、写出一个复数z，使得z满足z2∈R且z∉R，则z可以为______．
答案：i（不唯一）
分析：根据z满足z2∈R且z∉R求解.
解：因为z满足z2∈R且z∉R，
所以z可以为：i，
所以答案是：i（不唯一）
15、欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ（i为虚数单位，e为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ+1=0，它将两个超越数——自然底数e，圆周率π，两个单位一虚数单位i，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数z=32-12i，则z3=__________.
答案：-i
分析：本题可以根据复数乘法运算，也可以使用复数三角表示处理．
解法一：z=32-12i则z2=32-12i32-12i=12-32i
z3=12-32i32-12i=-i；
解法二：∵z=32-12i= cos116π+sin116π
∴z3=cos112π+isin112π=-i
所以答案是：-i．

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