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应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(2):327-336加权Hilbert型空间中超齐次核离散算子的最佳搭配参数及范数计算张丽娟1,洪勇1,2(1.广州华商学院数据科学学院,广东 广州 511300;2.广东财经大学统计与数学学院,广东 广州 510320)摘要：引入超齐次核概念,利用权系数方法,讨论具有超齐次核离散算子在加权Hilbert型空间中的有界性及算子范数,得到该类算子最佳搭配参数的充分必要条件和算子范数的计算公式,统一了齐次核,广义齐次核及若干非齐次核情形的相关结果.关键词：超齐次核;Hilbert型离散不等式;离散算子;加权Hilbert空间;最佳搭配参数中图分类号：O178AMS(2010)主题分类：26D15文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)02-0327-101.预备知识与超齐次核概念1908年,德国数学家D.Hilbert证明了一个著名的离散不等式1:若 a=am l2,b=bn l2,则有n=1m=1ambnm+n(m=1|am|2)12(n=1|bn|2)12=a2b2,(1)其中的常数因子是最佳值.1925年,Hardy将式(1)推广为一般对偶形式2:若1p+1q=1(p 1),a=am lp,b=bn lq,则有n=1m=1ambnm+nsin(p)(m=1|am|p)1p(n=1|bn|q)1q=sin(p)apbq,(2)其中的常数因子sin(p)仍是最佳值.由于Hilbert不等式(2)与离散算子T(a)n=m=1amm+n(a=am lp)的不等式T(a)psin(p)ap等价,故由式(2)可知算子T是Hilbert型空间lp中的有界算子,且T的算子范数T=sin(p),由此可见Hilbert不等式的研究有重要意义.为了进一步的推广研究,人们首先对Hilbert型空间lp做了加权推广:设p 1,R,称lp=a=am:ap,=(m=1m|am|p)1p 1),R,a=am lp,b=bn lq,K(m,n)0,则称不等式n=1m=1K(m,n)ambn M ap,bq,(3)为Hilbert型离散不等式,其中K(m,n)称为不等式的核,常数M 0称为不等式的常数因子.引入搭配参数a,b,利用权系数方法,在一定条件下可以得到相应的Hilbert型离散不等式,其常数因子M不仅与a,b相关,同时与核K(m,n)及加权Hilbert型空间中的各参数也有关联,对任意选取的搭配参数a,b,一般地,常数因子M并不是最佳值,若搭配参数a,b使常数因子M最佳,则称a,b是最佳搭配参数.对于齐次核,广义齐次核及一些非齐次核的Hilbert型不等式,目前的研究已比较充分310,近年更是获得了最佳搭配参数的充分必要条件等重要成果1115,形成了比较完整的理论体系16.本文将从更广的角度引入超齐次核概念,并以超齐次核统一之前的各类核,讨论具有超齐次核的Hilbert型离散不等式及相应离散算子的最佳搭配参数,更加系统性地解决最佳搭配参数的充分必要条件问题.定义1设K(m,n)满足:t 0,有K(tm,n)=t1K(m,t1n),K(m,tn)=t2K(t2m,n),则称K(m,n)是具有参数1,2,1,2的超齐次核.显然,若K1(m,n)是阶齐次核,则K1(m,n)是具有参数,1,1的超齐次核;若G(u,v)是阶齐次函数,则广义齐次核K2(m,n)=G(m1,n2)是具有参数1,2,12,21 的超齐次核;对于任意的实函数G(u),非齐次核K3(m,n)=G(m1n2)是具有参数0,0,12,21 的超齐次核.可见,超齐次核概念高度地统一了Hilbert型不等式及相应算子研究中的大多数核,能使我们站在更高更广的角度抽象地讨论问题,获得更具普遍性的结果.对于具有参数1,2,1,2的超齐次核K(m,n),由于K(tm,n)=t1K(m,t1n)=t1+12K(t12m,n),可见在一般情况下都有12=1,1+12=0,因此我们的讨论总是在12=1及1+12=0的假设下进行.为避免不必要的重,本文中总是记W1(s)=+0K(1,t)tsdt,W2(s)=+0K(t,1)tsdt,A(K,a,b)=n=1m=1K(m,n)ambn,其中 a=am,b=bn.2.预备引理引理1设K(m,n)是具有参数1,2,1,2超齐次核,12=0,那么(i)若1b a=1 1 1,则W2(a)=1|1|W1(b);(ii)若2a b=2 2 1,则W1(b)=1|2|W2(a).(iii)若K(1,t)tb及K(t,1)ta都在(0,+)上递减,则 1(m,b)=n=1K(m,n)nb m1+1(b1)W1(b),2(n,a)=m=1K(m,n)ma n2+2(a1)W2(a).第 2 期张丽娟等：加权Hilbert型空间中超齐次核离散算子的最佳搭配参数及范数计算329证(i)因为1b a=1 1 1,故11(1 a+1)1=b,从而W2(a)=+0K(1,t1)t1adt=1|1|+0K(1,u)u11(1a+1)1du=1|1|+0K(1,u)ubdu=1|1|W1(b).(ii)同理可证W1(b)=1|2|W2(a).(iii)因为K(1,t)tb在(0,+)上递减,故 1(m,b)=m1n=1K(1,m1n)nb=m1+1bn=1K(1,m1n)(m1n)b m1+1b+0K(1,m1u)(m1u)bdu=m1+1b1+0K(1,t)tbdt=m1+1(b1)W1(b).同理可证 2(n,a)n2+2(a1)W2(a).引理2当且仅当12=1,1+12=0时,有1ba=111与2ab=221等价.证1b a=1 1 1与2a b=2 2 1等价的充分必要条件是二元线性方程组x1 1x2=1+1+1,2x1 x2=2 2 1的增广矩阵的秩为1,即1=Rank(111+1+1212 2 1)=Rank(111212)=Rank(1 1201+12212),这等价于12=1,1+12=0,故引理2成立.引理3设K(m,n)是具有参数1,2,1,2的超齐次核,12=1,1+12=0,且1ba=1 1 1,则W1p1(b)W1q2(a)=(1|1|)1qW1(b)=(1|2|)1pW2(a).(4)证根据引理2,可知1b a=1 1 1与2a b=2 2 1等价,从而1b a=1 1 1与2a b=2 2 1同时成立,根据引理1便可得式(4).3.超齐次核的Hilbert型离散不等式的最佳搭配参数条件定理1设1p+1q=1(p 1),a,b R,12=0,K(m,n)是具有参数1,2,1,2的超齐次非负核,0 W1(b)+,0 W2(a)+,1b a (1 1 1)=c1,2a b(221)=c2,且K(1,t)tb,K(t,1)ta,K(1,t)tb+2c1q及K(t,1)ta+1c2p都在(0,+)上递减.(i)记=a(p 1)+1(b 1)+1,=b(q 1)+2(a 1)+2,则有Hilbert型离散不等式A(K,a,b)=n=1m=1K(m,n)ambnW1p1(b)W1q2(a)ap,bq,(5)330应用数学2024其中 a=am lp,b=bn lq.当12=1,1+12=0,且1b a=1 1 1时,式(5)化为A(K,a,b)(1|1|)1qW1(b)ap,ap1bq,bq1=(1|2|)1pW2(a)ap,ap1bq,bq1,(6)(ii)若12=1,1+2=0,且1 0使M0 0及足够大的整数N 0,记N0=N21+1,取am=0,m=1,2,N0 1,map1p,m=N0,N0+1,bn=0,n=1,2,N 1,nbq+q,n=N,N+1,并注意1 0,则有M0 ap,ap1bq,bq1=M0(m=N0m1+1)1p(n=Nn1)1q M0(+1t1+1dt)1p(+1t1dt)1q=M0(1|1|)1p,利用K(1,t)tb在(0,+)上递减,有A(K,a,b)=m=N0ma+1p(n=NK(m,n)nbq)=m=N0m1a+1p(n=NK(1,m1n)nbq)第 2 期张丽娟等：加权Hilbert型空间中超齐次核离散算子的最佳搭配参数及范数计算331=m=N0m1a+1p+1(b+q)(n=NK(1,m1n)(m1n)bq)m=N0m1a+1p+1b+1q(+NK(1,m1u)(m1u)bqdu)=m=N0m1a+1(b1)+1(+Nm1K(1,t)tbqdt).因为1 N21,从而m1 N2,于是A(K,a,b)m=N0m1a+1(b1)+1(+NN2K(1,t)tbqdt)=m=N0m1+1+N1K(1,t)tbqdt+N0t1+1dt+N1K(1,t)tbqdt=1|1|N10+N1K(1,t)tbqdt.综上可得1|1|N10+N1K(1,t)tbqdt M0(1|1|)1p,从而(1|1|)1qN10+N1K(1,t)tbqdt M0.(7)可视为一个趋于0的正项数列k,根据著名的Fatou引理,有+N1K(1,t)tbdt=+N1liminfkK(1,t)tbkqdt liminfk+N1K(1,t)tbkqdt.于是在式(7)中令 0+,得(1|1|)1q+N1K(1,t)tbdt M0,再令N +,可得(1|1|)1qW1(b)M0,这与M0(1|1|)1qW1(b)矛盾,故式(6)中的常数因子是最佳的,即式(5)的常数因子是最佳值.必要性:设式(5)中的常数因子W1p1(b)W1q2(a)是最佳值.因为12=1,1+12=0,可知12=0或1=2=0.若12=0,则1=12,2=21,且由1 0.此时1b a=1 1 1化为1b+2a=1+2+12,且由1ba(111)=c1,得到1b+2a(1+2+12)=c12,由2a b (2 2 1)=c2,得1b+2a (1+2+12)=c21.记1b+2a (1+2+12)=c,a=a c2p,b=b c1q,则经简单计算可得1b+2a=1+2+12,=ap 1,=bq 1.又因为W2(a)=+0K(t,1)tadt=+0K(1,t12)t1adt=21+0K(1,u)ub+c1du=21W1(b+c1),332应用数学2024于是式(5)等价地化为A(K,a,b)(21)1qW1p1(b)W1q1(b+c1)ap,ap1bq,bq1,(8)由于式(5)的常数因子最佳,故与之等价的式(8)的最佳常数因子为(21)1qW1p1(b)W1q1(b+c1).又因为1b+2a=1+2+12,即1b a1=1 1 1,且K(1,t)tb=K(1,t)tb+c1q=K(1,t)tb2c11q=K(1,t)tb+2c1q,K(t,1)ta=K(t,1)ta+c2p=K(t,1)tb1c22p=K(t,1)ta+1c2p都在(0,+)上递减,根据前面充分条件的证明,可知式(8)的最佳常数因子应为(1|1|)1qW1(b)=(21)1qW1(b+c1q),从而得到W1(b+c1q)=W1p1(b)W1q1(b+c1).(9)根据H older积分不等式,有W1(b+c1q)=+01 tc1qK(1,t)tbdt(+01p K(1,t)tbdt)1p(+0tc1K(1,t)tbdt)1q=W1p1(b)W1q1(b+c1).(10)由式(9)知式(10)取等号,根据H older积分不等式取等号的条件,有tc1=常数,故c=0,由此得1b+2a=1+2+12,即1b a=1 1 1.若1=2=0,则1b a=1 1 1化为1b a=1 1.因为12=1,1 0,2 0),于是1ba=11进一步化为1(b1)+2(a1)=0.记1(b 1)+2(a 1)=c,a=a c2p,b=b c1q,则计算可得1(b 1)+2(a 1)=0,=ap 1,=bq 1,且W2(a)=+0K(t,1)tadt=21W1(b+c1).于是式(5)化为等价不等式A(K,a,b)(21)1qW1p1(b)W1q1(b+c1)ap,ap1bq,bq1.(11)由于式(5)的常数因子最佳,故式(11)的最佳常数因子是(21)1qW1p1(b)W1q1(b+c1).由于1(b1)+2(a1)=0,即1ba=11,又由1ba(11)=c1,2ab(21)=c2,可得1(b 1)+2(a 1)=c12=c21=c.第 2 期张丽娟等：加权Hilbert型空间中超齐次核离散算子的最佳搭配参数及范数计算333于是K(1,t)tb=K(1,t)tb+c1q=K(1,t)tb2c11q=K(1,t)tb+2c1q,K(t,1)ta=K(t,1)ta+c2p=K(t,1)ta1c22p=K(t,1)ta+1c2p都在(0,+)上递减,根据前面充分条件的证明,可知式(11)的最佳常数因子应为(1|1|)1qW1(b)=(21)1qW1(b+c1q),从而可得W1(b+c1q)=W1p1(b)W1q1(b+c1).与前面证明类似地,利用H older积分不等式取等号的条件,也可得到tc1=常数,故c=0,从而1(b 1)+2(a 1)=0,所以1b a=1 1.4.超齐次核离散算子的最佳搭配参数及应用设K(m,n)0,R,在加权Hilbert型空间中探讨离散算子T:T(a)n=m=1K(m,n)am,a=am(12)是否是从lp到lp的有界算子及算子范数是算子理论的重要课题.若1p+1q=1(p 1),根据Hilbert型不等式基本理论16,可知Hilbert型离散不等式(5)等价于关于算子T的不等式T(a)p,(1p)W1p1(b)W1q1(a)ap,.(13)当T:lp l(1p)p的算子范数T=W1p1(b)W1q2(a)时,称a,b为算子T的最佳搭配参数.由于式(5)与式(13)等价,于是根据定理1,可得关于算子T最佳搭配参数的下列定理:定理2设1p+1q=1(p 1),a,b R,12=0,K(m,n)是具有参数1,2,1,2的超齐次非负核,0 W1(b)+,0 W2(a)+,1b a (1 1 1)=c1,2a b(221)=c2,且K(1,t)tb,K(t,1)ta,K(1,t)tb+2c1q及K(t,1)ta+1c2p都在(0,+)上递减,离散算子T由式(12)定义.(i)记=a(p 1)+1(b 1)+1,=b(q 1)+2(a 1)+2,则T是从lp到l(1p)p的有界算子,且T的算子范数T W1p1(b)W1q2(a).(ii)若12=1,1+12=0,且1 1),12=0,K(m,n)是具有参数1,2,1,2的超齐次非负核,0 W1(1q)+,0 W2(1p)+,1q1p+1=c1,1p2q+2=c2,且K(1,t)t1q,K(t,1)t1p,K(1,t)t1q+2c1q和K(t,1)t1p+1c2p都在(0,+)上递减,离散算子T由式(12)定义.(i)记=1q1p+1,=1p2q+2,则T是lp到l(1p)p的有界算子,且T的算子范数T W1p1(1q)W1q2(1p).334应用数学2024(ii)若12=1,1+12=0,且1 1),0,1 0,2 0,a 0,b 2,1 1 a 1,1a1+1b2=0,则算子T:T(a)n=m=11(1+m1/n2)am,a=am是lap1p到l(bq1)(1p)p的有界算子,且T的算子范数为T=11q11p2B(1 a1,1 a1).证令K(m,n)=1(1+m1/n2),则K(m,n)是具有参数0,0,12,21的超齐次非负核,因1=2=0,1=12,2=21,故12=1,1+12=0,且1 0,2 0,b 2,可知K(1,t)tb=1(1+t2)tb=1tb2(t2+1)在(0,+)上递减.由 0,1 0,a 0,可知K(t,1)ta=1ta(1+t1),在(0,+)上递减.因为1a1+1b2=0,故1b a=1 1 1,又因为1 1 a 0,1a1 0,由Beta函数的性质,有W2(a)=+0K(t,1)tadt=+01(1+t1)t(1a)1dt=11B(1 a1,1 a1)+,W1(b)=+0K(1,t)tbdt=+01(1+t2)t(2+1b)1dt=12B(2+1 b2,2+1 b2)=12B(+1 b2,1 b2)=12B(1 a1,1 a1)=12B(1 a1,1 a1)1),b 0 0,1 0 a 1),0,1 0,2 0,a 1,b 0,1 1a1,1a1+1b2=,则算子T:T(a)n=m=1min1+m1/n2(m1+n2)am,a=am是lap1p到l(bq1)(1p)p的有界算子,且T的算子范数为T=11q11p2101(1+t)(t1a1+t1b21)dt.证令K(m,n)=min1,m1/n2(m1+n2),则K(m,n)是具有参数1,2,12,21的超齐次非负核,因1=1,2=2,1=12,2=21,故12=1,1+12=0,且1 0.因为K(1,t)tb=min1,t2(1+t2)tb=1(1+t2)tb,0 1K(t,1)ta=min1,t1(t1+1)ta=1(t1+1)ta1,0 1由 0,1 0,2 0,a 1,b 0,可知K(1,t)tb及K(t,1)ta在(0,+)上递减.因为1a1+1b2=,故1b a=1 1 1,又因为1 1a1,故W2(a)=+0K(t,1)tadt=+0min1,t1(t1+1)tadt=101(t1+1)t1adt+11(t1+1)tadt=11101(1+u)u1a1du+11+11(1+u)u1a11du=11101(1+t)t1a1dt+11101(1+t)t1a11dt=11101(1+t)(t1a1+t1b21)dt +.类似地,也可得W1(b)=12101(1+t)(t1a1+t1b21)dt +.综上,根据定理2,算子T是lap1p到l(bq1)(1p)p的有界算子,且T的算子范数为T=(1|1|)1qW1(b)=11q11p2101(1+t)(t1a1+t1b21)dt.参考文献：1 WEYL H.Singulare Integral Gleichungen mit Besonderer Berucksichtigung des Fourierschen IntegralTheoremsM.Gottingen:Inaugeral-Dissertation,1908.2 HARDY G H.Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive termsJ.Proc.LondonMath.Soc.,1925,23:45-48.336应用数学20243 YANG B C.On a extension of Hilberts integral inequality with 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concept of super-homogeneous kernel is introduced,and the boundedness of discreteoperators with super-homogeneous kernel in weighted Hilbert-type space and operator norm are discussedby the method of weight coefficient,and sufficient necessary conditions for the best matching parametersof this class of operators and the formulas for the operator norm are obtained,unifying the relevant resultsfor the case of the homogeneous kernel,the generalized homogeneous kernel and several non-homogeneouskernels.Key words:Super-homogeneous kernel;Hilbert-type discrete inequality;Discrete operator;Weight-ed Hilbert-type space;The best matching parameter