协方差分析描述函数法的通用化数值算法.pdf

协方差分析描述函数法的通用化数值算法王汉平1，柳洋鑫1，张宝振2（1.北京理工大学 宇航学院,北京100081；2.北京电子工程总体研究所，北京 100854）摘 要：协方差分析描述函数法（covariance analysis describing function technique，CADET）在处理系统的随机响应问题上具有求解迅速、仿真精度高等优点.但对于复杂系统，其理论推导过程、求解系统解析响应方程较为复杂繁琐.为进一步推广 CADET 的应用，依托高斯埃尔米特积分法，提出了一种通用化的 CADET 数值算法.作为算法验证，以车辆行驶过程中的随机振动为例，建立了几种不同非线性悬架车辆的二自由度动力学模型，并将 CADET 通用化数值算法与传统 CADET 算法及蒙特卡罗法进行了对比分析.仿真结果表明，CADET 的通用化数值算法可以达到满足应用要求的计算精度，这验证了所提数值算法的有效性，且具有更强的泛化应用于复杂非线性动力系统的价值.关键词：车辆悬架系统；协方差分析描述函数法；随机振动；数值算法；非线性系统中图分类号：TJ762.4 文献标志码：A 文章编号：1001-0645(2024)05-0439-08DOI：10.15918/j.tbit1001-0645.2023.122Generalized Numerical Algorithm for the Covariance AnalysisDescription Function TechniqueWANG Hanping1，LIU Yangxin1，ZHANG Baozhen2（1.School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China;2.Beijing Institute of ElectronicSystem Engineering，Beijing 100854,China）Abstract：Covariance analysis describing function technique(CADET)has the advantages of fast solution andhigh simulation accuracy in dealing with random responses of systems.However,for complex systems,the the-oretical derivation process and the solving of the analytical response equation of the system are more complic-ated and cumbersome.In order to further promote the application of CADET,a generalized CADET numericalalgorithm was proposed based on the Gauss-Hermitian integral method.As an algorithm verification,taking ran-dom vibrations during vehicle driving as an example,the two-degree-of-freedom dynamic models of several non-linear suspension vehicles were established,and the CADET generalized numerical algorithm was comparedwith the traditional CADET algorithm and Monte Carlo method.The simulation results show that the general-ized numerical algorithm of CADET can achieve the calculation accuracy that meets the application require-ments,which verifies the effectiveness of the proposed numerical algorithm and has a stronger value of general-ized application in complex nonlinear dynamical systems.Key words：vehicle suspension system；covariance analysis description function method；random vibration；nu-merical algorithm；nonlinear system 随着非线性随机动力学这门学科的不断发展，许多学者对于如何处理非线性随机问题提出了各自的解决方法.求解非线性随机动力学的近似方法包括蒙特卡洛法1、摄动法2、等效线性化方法3 5、等效非线性法6 7、Fokker Planck Kolmogorov(FPK)方法8 9、随机平均法10 12等.上述各方法都存在着相应的局限性，如蒙特卡罗法尽管适用范围广，但所得结果的精度受采样样本数量的影响明显；摄动法、等 收稿日期：2023 06 12基金项目：科技部重点研发计划基金资助项目(2018YFF0300804)作者简介：王汉平（1971），男，副教授，E-mail：.通信作者：柳洋鑫（1999），男，硕士生，E-mail：.第 44 卷第 5 期北 京 理 工 大 学 学 报Vol.44No.52024 年 5 月Transactions of Beijing Institute of TechnologyMay 2024效线性化法、等效非线性法、随机平均法对于强非线性系统而言所得结果误差较大；FPK 方程尽管理论完备，但对于高维复杂问题精确求解不易等.协方差分析描述函数法13是 20 世纪 70 年代由分析科学公司提出的一种近似方法，最早应用于求解战术导弹制导系统性能的统计特性，其基本思路是按描述函数对系统进行统计线性化，通过协方差分析，求出等效线性系统状态变量的均值和协方差传播微分方程组，数值求解两方程组，便可一次性地获取系统各个状态变量的统计特性，而无需如蒙特卡洛法那样对系统进行成千上万次的采样运算和结果统计.该方法被广泛应用于非线性系统，对于强非线性系统响应也能获取较好的精度.目前国内关于 CADET 方法的主要应用仍是求解战术导弹制导系统性能的统计特性，柴华等14基于 CADET 方法提出了一种针对一阶可微随机变量函数的统计线性化方法；李海平等15利用 CADET 方法考虑多种随机干扰来求解导弹制导系统性能的统计特性；蒋瑞民等16提出了一种分析存在内部参数摄动的导弹姿态控制系统的新型精度分析方法.这些文献中的方法本质上仍是将 CADET 方法局限于对导弹制导系统性能的统计特性进行求解，并未意识到 CADET 方法在处理随机振动问题上可以有着更为广泛的应用.前述 CADET 的应用均需提前解析获取非线性系统的描述函数，对于简单非线性系统，可以手工解析推导，而当系统庞大复杂时，获取系统的解析状态方程已是不易，进行等效线性化的描述函数推导就更加困难，这无形中给 CADET 的推广应用增添了困难.鉴于此，本文提出一种面向 CADET 的通用化数值算法，只要能解析获得系统的动力学常微分方程，即可经由变换高斯点积分算法获得 CADET 描述函数的高精度近似，继而就可数值解算出系统状态变量的均值和协方差响应.多工况的仿真对比表明，本文提出的 CADET 通用化数值算法较之前基于描述函数解析表达的 CADET 法有着相当高的计算精度，且通用性强，使用方便，便于推广应用于具有随机激励的复杂非线性系统.1 协方差分析描述函数法 1.1 CADET 的基本理论线性系统的状态函数描述方程如下：x(t)=f(t)x(t)+G(t)W(t)+D(t)（1）x(t)nW(t)mF(t)G(t)D(t)nx(t)m(t)r(t)式中：为系统状态变量向量，由描述系统状态的维状态分量组成；为作用于系统上的维随机激励向量；和为确定性函数矩阵，且相对于 t 是连续的；为 维确定性激励向量.由此，可以将分解为确定性部分与随机性部分的组成，即：x(t)=m(t)+r(t)m(t)=Ex(t)P(t)=Er(t)rT(t)（2）P(t)x(t)式中为的协方差矩阵.W(t)b(t)u(t)b(t)W(t)u(t)u(t)同理，也可将激励分解为一个确定性分量与随机分量的叠加，通常确定性分量为的均值.当激励的随机分量为白噪声时，可知激励随机分量的协方差矩阵如下：W(t)=b(t)+u(t)EW(t)=b(t)Eu(t)uT()=Q(t)(t)（3）Q(t)(t)式 中：为 白 噪 声 随 机 过 程 的 功 率 谱 密 度 阵；为狄拉克函数.由式(1)可推导出线性系统状态变量的均值与协方差矩阵的传播微分方程：m(t)=F(t)m(t)+G(t)b(t)+D(t)P(t)=F(t)P(t)+P(t)FT(t)+G(t)Q(t)GT(t)（4）m(0)P(0)因此，式(4)中只需给定系统的初始条件和，即可积分获得对应系统状态变量的均值及协方差矩阵的数值解.针对非线性系统，其状态函数表达方程如下：x(t)=f(x,t)+G(t)W(t)+D(t)（5）f(x,t)x(t)f(x,t)f(t)+N(t)r(t)EeTe式中为状态变量的非线性函数.其余各变量与式(1)的线性系统状态方程中含义一样.对于非线性系统进行 CADET 分析，首先需要将非线性系统统计线性化.对非线性状态函数求一个等效线性化表达式，且令该表达式的形式为，使得等效线性状态函数与非线性状态函数之差的均方差统计平均量最小，其中：f(t)=Ef(x,t)，e=f(x,t)f(t)N(t)r(t)引入等效线性化函数后，非线性系统方程的均值及协方差阵的传播微分方程变换为17：m(t)=f(t)+G(t)b(t)+D(t)P(t)=N(t)P(t)+P(t)NT(t)+G(t)Q(t)GT(t)（6）x(t)且假设服从 n 维联合概率分布，描述函数可以进一步化简为：440北 京 理 工 大 学 学 报第 44 卷f(t)=Ef(x,t)=wf(x,t)g(x,m,P)dxN(t)=Ef(x,t)rT(t)Er(t)rT(t)Ef(t)+df(t)dmr(t)rT(t)Er(t)rT(t)=df(t)dm（7）g(x,m,P)xmxPx式中：为 的联合概率密度分布函数；为的均值向量；为 的协方差阵.1.2 CADET 的通用化数值算法引入数值积分的定义来近似处理描述函数，将大大加快 CADET 的整体建模和仿真效率.CADET通用化数值算法的基本思路如下.a,bh(n)h(n)h(n)a,ba,bxi(i=0,1,s)定积分的基本定义表示，求区间的函数的定积分本质上是求解函数曲线与坐标横轴所围成的面积，也即求 在区间上的和式极限，通过选取积分区间上的某些节点处的函数值进行线性组合作为积分的近似值.所以有18：I(h)=wbah(x)dx ni=0Aih(ni)（8）在 CADET 中，进行描述函数处理时要以概率密度函数作为积分权函数，于是，引入高斯埃尔米特求积公式对描述函数进行逼近处理，即：wex2h(x)dx ni=0Aih(ni)（9）ni(i=0,1,.,s)Aini式(8)(9)中：为 s 个高斯积分点；为对应于的权系数.利用式(9)，假定各状态变量相互独立，并通过函数变换，则式(7)就等价于：f(m,P,t)=Ef(x,t)=wf(x,t)g(x,m,P)dx ni=0Aif(2ni.+m,t)i/2N(m,P,t)=df(m,P,t)dm（10）i=Pi,ini式中：为状态变量的均方根值向量，且，为两向量逐项相乘组成的向量.2 验证算例 2.1 路面模型路面不平度功率谱密度函数在空间域下的表达形式为19 21：Gq(n)=Gq(n0)n20n2（11）n 0.011,2.83 m1n0=0.1 m1Gq(n0)=2n式中：为空间频率；为标准空间频率；为路面不平度系数；为空间圆频率.于是式(11)可转化为：Gq()=42Gq(n0)n202（12）引入截止频率，功率谱密度函数则变为：Gq()=42n20Gq(n0)(2+21)（13）1=2n1式中为路面的空间截止圆频率.根据随机振动理论，上式可看作为白噪声激励下的一阶系统响应谱函数.所以可得如下关系：Gq()=42n20Gq(n0)(2+21)=?H()2?G（14）H()GW(s)W(s)G=1H()式中：为一阶系统的空间圆频率响应函数；为白噪声的功率谱密度.联立式(13)和(14)，规定白噪声的功率谱密度，得到空间圆频率响应函数 为：H()=2n0Gq(n0)1+j（15）根据式(15)，可以反演出路面不平度的一阶微分方程：q(t)=2vn1q(t)+2n0vGq(n0)W(t)（16）vGq(n0)=2.56104m33.64104m2式中 为路面上车辆的水平速度.本文选择 C 级路面作为仿真路面.根据 GB/T 7031-2005 可知，引入截止频率后路面不平度的方差为.2.2 刚度非线性算例验证选用 1/4 车辆路面行驶模型，见图 1.1.kkfqcx1x2m1m1c1k1v图 1 1/4 车辆悬架模型Fig.1 Quarter vehicle suspension model第 5 期王汉平等：协方差分析描述函数法的通用化数值算法441假定非线性刚度力为：F=kx+k1x3（17）可得动力学方程：m1 x1+c(x1 x2)+k(x1x2)+k1(x1x2)3=m1gm2 x2+c(x2 x1)+k(x2x1)+k1(x2x1)3+kf(x2q)=m2g（18）引用状态变量x=x1x2v1v2qTx1x2m1m2v1v2m1m2q式中：、对应质量块、竖直方向上的位移；、对应质量块、竖直方向上的速度；对应路面不平度的随机激励.假定各个状态变量之间相互独立，则对式(18)的增广并按状态方程进行表述有：f1=x1=v1f2=x2=v2f3=x3=1m1c(v2v1)+k(x2x1)+k1(x2x1)3gf4=x4=1m2c(v1v2)+k(x1x2)+k1(x1x2)3+kf(qx2)gf5=q=2vn1q+2n0vGq(n0)W(t)（19）对式(19)两边同时取期望，并根据 1.2 节中的统计线性化理论求得矩阵 N.采用 CADET 的通用化数值算法，在动力学方程基础上，只需根据高斯埃尔米特积分的基本原理便可直接求出系统状态变量的均值矢量和准线性动态矩阵.2.3 刚度和阻尼同时非线性算例本算例定义非线性力F=kx+k1x3+c x+c1 x3（20）其求解统计线性化的思路相同，故本文之后不再进行赘述.仅写出其统计线性化之后的刚度和阻尼方程.得到统计线性化的非线性力的等效期望方程如下：F=c(x4 x3)+c1(x4 x3)3+3c1(x4 x3)(23+24)+k(x2 x1)+k1(x2 x1)3+3k1(x2 x1)(21+22)（21）xi式中为其对应状态量的均值.2.4 非线性平方阻尼算例为了验证通用化数值算法的适用性，本算例选取非线性平方阻尼模型.定义非线性力为：F=c1sgn(z)zn（22）由于存在绝对值函数，求取描述函数方程比较困难，且不易积分.故对本算例基于等效线性化、蒙特卡罗法以及本文提出的通用化数值算法进行仿真对比.根据文献 22，等效线性化后，平方阻尼的通用表达式为ce=c122n2n2n1 z,n为偶数c1(1+)n(n2)(n4)1n1 z,n为奇数（23）n=2ce=22/c1 z z本文选取，故等效阻尼为：，式中为质量块速度响应之差的标准差.3 仿真对比验证 3.1 非线性刚度悬架系统响应本文对车辆不同悬架的系统响应进行分析.选择 C 级路面作为车辆的行驶路面，具体路面参数上文已知.那么对于上述 3 种不同的系统，可以得到相应的系统响应.对于 2.2 节中的系统模型，模型参数如表 1 所示.表 1 模型参数Tab.1 Model parameters物理意义量值m1345 kgm240.5 kgc1.5 kNs/mc12 kNs/mk17 kN/mk116 kN/mkf192 kN/mv20 m/s 仿真情况如下：图 2图 6 中展示了蒙特卡洛法与通用化 CA-DET 方法对于常见非线性刚度悬架系统的仿真结果.其均值过程和方差拟合良好，当悬架系统稳定时，其响应见表 2.表 2 中：x1、x2分别为质量块 m1、m2的位移均值响应；v1、v2分别为速度均值响应；x1var、x2var、v1var、v2var分别为所对应符号量响应的方差.由于悬架系统匀速行驶，其竖直方向上的速度最后都将趋于稳定，即 v1=0、v2=0.442北 京 理 工 大 学 学 报第 44 卷通用化 CADET 法中假设各个状态向量相互独立，故在实际计算中会忽略各个状态量之间的耦合关系，因此存在一定的误差，但在工程实际中，误差可以忽略.由于路面响应与悬架参数无关，故后续不在将路面响应图表进行陈列.3.2 非线性刚度和阻尼悬架系统响应对于 3.3 节中的系统模型，仿真情况如下：图 7图 10 中展示了蒙特卡洛法与通用化 CA-1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法00.10.20.300.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/st/s00.10.20.300.51.01.52.02.53.03.54.04.55.01 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法x1/mx2/m图 2 刚度非线性悬架模型的位移响应均值Fig.2 Mean displacement response of nonlinear stiffness suspension model 1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法2.01.51.00.500.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法1.51.00.500.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/sx1var/103 m2x2var/103 m2图 3 刚度非线性悬架模型的位移响应方差Fig.3 Variance displacement response of nonlinear stiffness suspensionmodel 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s01.00.50.51.01 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s00.20.10.11 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法v1/(ms1)v2/(ms1)图 4 刚度非线性悬架模型的速度响应均值Fig.4 Mean velocity response of nonlinear stiffness suspension model 0.040.030.020.0100.51.01.52.02.53.03.54.04.55.00.200.150.100.0500.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0v1var/(ms1)2v2var/(ms1)2t/st/s1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法图 5 刚度非线性悬架模型的速度响应方差Fig.5 Variance velocity response of nonlinear stiffness suspension model 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s321101 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法1.51.00.5q/103 mqvar/(103 ms1)2图 6 C 级路面响应Fig.6 C pavement response 表 2 非线性刚度悬架响应Tab.2 Nonlinear stiffness suspension response系统响应蒙特卡洛法传统CADET通用化CADETx1/m0.210.210.21x2/m0.0200.0200.020v1/（ms1）2.671059.751091.791013v2/（ms1）4.261054.7510105.661014x1var/m20.001 10.001 00.001 0 x2var/m28.891048.331048.33104v1var/（ms1)20.0180.0180.018v2var/(ms1)20.120.120.12第 5 期王汉平等：协方差分析描述函数法的通用化数值算法443DET 方法对于非线性刚度和阻尼悬架系统的仿真结果.其均值过程和方差拟合良好，当悬架系统稳定时，其响应见表 3.表 3 非线性刚度和非线性阻尼悬架响应Tab.3 Nonlinear stiffness and nonlinear damped suspensionresponse系统响应蒙特卡洛法传统CADET通用化CADETx1/m0.210.210.21x2/m0.0200.0200.020v1/（ms1）1.831053.8210118.171015v2/（ms1）1.331053.7310123.841016x1var/m20.001 09.711049.71104x2var/m28.651048.301048.30104v1var/（ms1)20.0160.0160.016v2var/(ms1)20.0960.0900.090 显然，当非线性项数量加多时，即同时存在一阶非线性项和二阶非线性项时，系统响应误差在一定程度上受到影响.但该误差仍在工程许可范围中.3.3 平方阻尼悬架系统响应对于传统 CADET 方法而言，对于平方阻尼悬架这种非线性强的系统难以进行理论推导.将其与传统 CADET 方法及蒙特卡罗法进行对比，通用化 CA-DET 方法计算所得到的悬架响应在时间历程上的变化更接近于蒙特卡罗法，其误差见表 4.本算例减少了系统的刚度非线性项，引入了更为复杂的阻尼平方非线性项.通过观察图 11图 14与表 4 可知，通用化 CADET 算法响应误差与传统 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s00.10.20.31 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s00.010.020.031 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法x1/mx2/m图 7 刚度与阻尼同时非线性悬架模型的位移响应均值Fig.7 Mean displacement response of nonlinear stiffness and nonlineardamped suspension model 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.02.01.51.00.500.51.01.52.02.53.03.54.04.55.01.51.00.5x1var/103 m2x2var/103 m2t/st/s1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法图 8 刚度与阻尼同时非线性悬架模型的位移响应方差Fig.8 Variance displacement response of nonlinear stiffness and nonlineardamped suspension model 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s01.00.50.51 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s00.20.10.11 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法v1/(ms1)v2/(ms1)图 9 刚度与阻尼同时非线性悬架模型的速度响应均值Fig.9 Mean velocity response of nonlinear stiffness and nonlinear dampedsuspension model 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.000.51.01.52.02.53.03.54.04.55.00.040.030.020.010.200.150.100.05t/st/sv1var/(ms1)2v2var/(ms1)21 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法图 10 刚度与阻尼同时非线性悬架模型的速度响应方差Fig.10 Variance velocity response of nonlinear stiffness and nonlineardamped suspension model444北 京 理 工 大 学 学 报第 44 卷CADET 算法误差相似，但相较于传统 CADET 算法所得到的系统响应，通用化 CADET 算法在时间历程上更贴合蒙特卡洛模拟结果.表 4 平方阻尼悬架响应Tab.4 Square damped suspension response系统响应蒙特卡洛法传统CADET通用化CADETx1/m0.220.220.22x2/m0.0200.0200.020v1/（ms1）1.311051.2910123.691014v2/（ms1）8.661061.6110131.211014x1var/m29.911049.431049.32104x2var/m28.701048.301048.30104v1var/（ms1)20.0150.0140.014v2var/(ms1)20.0840.0790.075 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s00.10.20.31 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s00.010.020.031 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法x1/mx2/m图 11 平方阻尼悬架模型的位移响应均值Fig.11 Mean displacement response of square damped suspension model 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s2.01.51.00.51 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法1.51.00.5x1var/103 m2x2var/103 m2图 12 平方阻尼悬架模型的位移响应方差Fig.12 Variance displacement response of square damped suspension model 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s01.00.50.51 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s00.20.10.11 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法v1/(ms1)v2/(ms1)图 13 平方阻尼悬架模型的速度响应均值Fig.13 Mean velocity response of square damped suspension model 00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.00.040.030.020.0100.51.01.52.02.53.03.54.04.55.00.200.150.100.05v1var/(ms1)2v2var/(ms1)2t/st/s1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法1 000次蒙特卡洛法CADET数值积分解传统CADET解析法图 14 平方阻尼悬架模型的速度响应方差Fig.14 Variance velocity response of square damped suspension model 4 结论将 CADET 与高斯埃尔米特数值积分相结合，提出了一种面向 CADET 的通用化数值算法.针对 3种非线性悬架的车辆行驶模型，在采用路面不平度特性的白噪声滤波方程进行动力学方程的增广之后，利用传统的蒙特卡洛法进行仿真对比，结果表明：当统计结果值非零时，传统 CADET 法、通用化 CA-DET 算法与蒙特卡洛法仿真结果吻合较好，在上述算例中，其最大相对误差来自算例 1 中的位移 x1var，且小于 10%；对于非线性强度更为复杂的平方阻尼悬架模型，与传统 CADET 法和蒙特卡洛法进行仿真对比，通用化 CADET 算法响应也具有足够高的精确度.该算法思路简洁、实现方便，省去了繁琐的描述函数方程的推导过程，尤其适用于复杂非线性系统的随机激励响应模拟.这表明该方法有着广泛的适用性和实用性，为承受复杂随机激励的动平台火箭/第 5 期王汉平等：协方差分析描述函数法的通用化数值算法445导弹发射系统的发射动力学建模仿真提供了一种通用化的思路.参考文献：方再根.计算机模拟和蒙特卡洛方法 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