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应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(1):133-147一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获贺亚权,雒志学(兰州交通大学数理学院,甘肃 兰州 730070)摘要：考虑一类具年龄等级结构的n维食物链种群系统的最优收获问题,首先利用压缩映射定理,研究系统解的适定性;其次构造极值化序列和运用相关的紧性定理证明控制问题最优解的存在性;最后通过构造共轭系统和利用法锥的概念刻画,得出最优收获问题最优解的一阶必要条件.关键词：年龄等级;最优控制;食物链;共轭方程组中图分类号：O175AMS(2010)主题分类：49J20;92D25文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)01-0133-151.引言近些年来,有关生物种群的最优收获控制问题一直被人们广泛研究112,14,其中所具有的实际意义无疑是重大的.因为研究生物种群的合理开发与科学管理,可以促进我们人类文明的发展进步.如今,人们也已把生物种群作为可再生资源进行开发,这样一来,种群内部的个体年龄分布就会对实际的经济收益造成直接影响.就以养殖业为例,一般年幼的和太老的都不太值钱;而对于处在适当年龄间段的生物,通常情况下,其食用和营养价值都很高,但这些成熟个体也都是由未成熟的个体花费较长时间长成的.而这种情形在控制理论的领域当中,就已经是一类有关初始分布的最优控制问题,其中的控制变量就是这一种群的初始年龄分布.因此,我们可以通过适当地调整种群的初始状态,并且在培养一段时间后,就能成功获得最大收益.为此,我们就需要精细刻画生物种群的演化行为.而为了精细刻画生物种群的发展与演化,常常在建模的时候就要考虑个体间所存在的各种结构性差异抑或是种群间的一些复杂关系,比如在个体间,就会讨论研究年龄、尺度、空间位置等特征差异,再比如在生态环境中的某一生物群落系统里,就会考虑研究各种群间竞争、互惠、捕食等的复杂关系.此外,还有在每一个种群的内部存在以个体的年龄为基础的社会等级地位差异,这也不难理解,例如在狮群中就有类似的现象.现今在不断发展的情况下,种群内部的等级地位差异也已经被纳入到个体的生命参数里,就产生了具有等级结构的生物种群模型.相关方面已经有的工作可参见文1-2,4-5.这些成果大多比较关注种群的动态演化与控制,比如文2中的等级结构模型就为两种群捕食系统模型建立了最优控制;又比如文10里的生物模型研究的是非线性种群年龄等级结构的最优收获问收稿日期：2022-12-12基金项目：国家自然科学基金(11561041);甘肃省自然科学基金(1506RJZA071)作者简介：贺亚权,男,汉族,山西人,研究方向:生物数学.134应用数学2024题;再比如文14研究了连续的单种群的年龄等级结构,并且讨论了系统的最优收获问题,确立了最优控制问题解的存在性,还得出了最优问题的一阶必要条件.本文将考虑如下最优控制问题:(OH)Maxni=1T0a+0gi(a,t)ui(a,t)xi(a,t)dadt,QT=(0,a+)(0,T)(T,a+(0,+).容许控制集U:=u=(u1,u2,un)(L(QT)n;0 i1(a,t)ui(a,t)i2(a,t)a.e.in QT,其中 i1(a,t),i2(a,t)L(QT),i=1,2,n,并且 x=(x1,x2,xn)满足下列系统:x1t+x1a=1(a)+m1(E(x1)(a,t)+f1(E(x2)(a,t)x1(a,t)u1(a,t)x1(a,t),xjt+xja=j(a)+mj(E(xj)(a,t)+fj(E(xj+1)(a,t)rj(E(xj1)(a,t)xj(a,t)uj(a,t)xj(a,t),j=2,3,n 1,xnt+xna=n(a)+mn(E(xn)(a,t)rn(E(xn1)(a,t)xn(a,t)un(a,t)xn(a,t)xi(0,t)=a+0i(a,E(xi)(a,t)xi(a,t)da,xi(a,0)=x0i(a);i=1,2,n;(a,t)QT,(1.1)在上述系统中,xi(a,t)表示t时刻年龄为a的第i个种群的种群密度,函数 mi,i和i分别表示种群i中个体的密度制约,平均死亡率和繁殖率;ri(E(xi1)(a,t),fi(E(xi+1)(a,t)分别表示在食物链当中食饵对捕食者的增长贡献率,捕食者对食饵造成的额外死亡率.其中需要说明内部环境 E(xi),它的定义如下:E(xi)=a0 xi(r,t)dr+ia+axi(r,t)dr,0 i 0 a.e.a 0,a+);i(a)Lloc(0,a+),a+0i(a)da=+,i=1,2,n;0 fi(s)fi,0 ri(s)ri,0 mi(s)mi,ri(s),fi(s)单调增加,mi(s)同样单调增加;fi(s),mi(s),ri(s)满足Lipschitz条件(相应常数为L2);(A3)当种群密度函数取0时,相应函数参数,f,m,r均为0;(A4)x0i(a)为种群i的初始分布,非负有上界Xi 0,且x0i(a+)=0,i=1,2,n.定义2.1系统(1.1)的解为:x(a,t)=(x1(a,t),x2(a,t),xn(a,t)L1(0,a+)(0,T)n,第 1 期贺亚权等：一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获135它在几乎每条特征线a t=c(c为常数)上绝对连续且满足Dx1(a,t)+1(a)+m1(E(x1)(a,t)+f1(E(x2)(a,t)x1(a,t)+u1(a,t)x1(a,t)=0,Dxj(a,t)+j(a)+mj(E(xj)(a,t)+fj(E(xj+1)(a,t)rj(E(xj1)(a,t)xj(a,t)+uj(a,t)xj(a,t)=0,j=2,3,n 1,Dxn(a,t)+n(a)+mn(E(xn)(a,t)rn(E(xn1)(a,t)xn(a,t)+un(a,t)xn(a,t)=0,lim0+xi(,t+)=a+0i(a,E(xi)(a,t)xi(a,t)da,lim0+xi(a+,)=x0i(a);i=1,2,n;(a,t)QT;其中Dxi(a,t)=lim0|xi(a+,t+)xi(a,t)|,i=1,2,n.下面,我们将利用压缩映射原理证明系统(1.1)解的适定性.将系统(1.1)中函数参数 i,mi,i,fi里xi固定为非负函数 qi,i=1,2,n.由此可得以下的线性系统:x1t+x1a=1(a)+m1(E(q1)(a,t)+f1(E(q2)(a,t)x1(a,t)u1(a,t)x1(a,t),xjt+xja=j(a)+mj(E(qj)(a,t)+fj(E(qj+1)(a,t)rj(E(qj1)(a,t)xj(a,t)uj(a,t)xj(a,t),j=2,3,n 1,xnt+xna=n(a)+mn(E(qn)(a,t)rn(E(qn1)(a,t)xn(a,t)un(a,t)xn(a,t)xi(0,t)=a+0i(a,E(qi)(a,t)xi(a,t)da,xi(a,0)=x0i(a),E(qi)=a0qi(a,t)da+ia+aqi(a,t)da,0 i 1,i=1,2,n;(a,t)QT,(2.1)由文12的线性理论可知,上述系统(2.1)有解.并利用特征线方法可得xi(a,t;qi)=x0i(a t)i(a,t,t;qi),a t,bi(t a;qi)i(a,t,a;qi),a a+情形,相反的情况可用类似的方法证明.从假设(A1)-(A4)可推得0 Ki(t,a;q)iexpa+(1fi+mi+2ri)=:Ki,a.e.(a,t)QT,i=1,2,n;0 Fi(t;q)a+iXiexpa+(1fi+mi+2ri)=:Fi,a.e.t (0,T),i=1,2,n;MT=TFiexpa+(1fi+mi+2ri)+TKi+a+Xiexpa+(1fi+mi+2ri),i=1,2,n.再定义如下集合:H=(v1,v2,v3)L1(0,a+)(0,T)3;vj(a,t)0,a.e.(a,t)QT,vj(,t)L1(0,a+)MT,a.e.t (0,T),j=1,2,3,其中(v1,v2,v3)=v1+v2+v3.接下来我们引入两个引理.引理2.1存在常数 MkT 0,使得对任意 qk=(qki1,qki,qki+1)H,i=2,3,n1,且k=1,2,故有下列式子:?Fi(t;q1)Fi(t;q2)?M1T(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds),i=2,3,n 1;(2.7)?bi(t;q1)bi(t;q2)?M2T(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds),i=2,3,n 1;(2.8)0 bi(t;qk)M2T,k=1,2;(2.9)在区间(0,T)上几乎处处成立.证对任意qk,k=1,2,由(2.5)可知:若 t (a+,T),则 Fi(t;qk)0,此刻(2.7)自然成立.若 t (0,a+),则由(2.5)可推出?Fi(t;q1)Fi(t;q2)?+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q1)da+0i(a,E(q2i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da?+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q1)da+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da?+?+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da+0i(a,E(q2i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da?第 1 期贺亚权等：一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获137+0?i(a,E(q1i)(a+t,t)i(a,E(q2i)(a+t,t)?x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)?i(a+t,t,t;q1)i(a+t,t,t;q2?daexpa+2riXia+L1(MT)?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+expa+2ri Xia+iL2(MT)t0?E(q1)(a+s,s)E(q2)(a+s,s)?ds,由内部环境E(xi)的定义,可有t0?E(q1i)(a+s,s)E(q2i)(a+s,s)?dst0a+s0?q1i(r,s)q2i(r,s)?ds+ia+a+s?q1i(r,s)q2i(r,s)?dst0a+0?q1i(r,s)q2i(r,s)?drdst0?q1i(,s)q2i(,s)?L1(0,a+)ds,因此,可有?Fi(t;q1)Fi(t;q2)?expa+2riXia+L1(MT)?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+expa+2ri Xia+iL2(MT)t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3dsexpa+2ri(Xia+L1(MT)+expa+2ri Xia+iL2(MT)(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds),故当 i=2,3,n 1时,(2.7)成立,只要 M1T=expa+2riXia+L1(MT)+expa+2ri Xia+iL2(MT).?bi(t;q1)bi(t;q2)?Fi(t;q1)Fi(t;q2)?+t0?Ki(t,s;q1)Ki(t,s;q2)?bi(t s;q1)ds+t0Ki(t,s;q2)?bi(t s;q1)bi(t s;q2)?ds M1T(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds)+bit0?i(s,E(q1i)i(s,E(q2i)?i(a,t,s;q1)ds+t0i(s,E(q2i)?i(a,t,s;q1)i(a,t,s;q2)?ds+Kit0?bi(t s;q1)bi(t s;q2)?dsM1T(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds)+biexpa+2ri TL1(MT)?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+TiL2(MT)t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds138应用数学2024+Kit0?bi(t s;q1)bi(t s;q2)?dsM3TQ(t)+Kit0?bi(s;q1)bi(s;q2)?ds,其中 M3T=M1T+expa+2ri bi(TL1(MT)+TiL2(MT),以及Q(t)=?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds,再利用上式以及Gronwall不等式可有?bi(t;q1)bi(t;q2)?M3TQ(t)+M3Tt0KiQ(s)exptsKidds M3TQ(t)+M3Tt0KiQ(s)expKiTds=M3TQ(t)+M3TKiexpKiT t0(?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3+s0?q1(,)q2(,)?L1(0,a+)3d)ds M3TQ(t)+M3TKiexpKiT (1+T)t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds M3T(1+KiexpKiT (1+T)Q(t),当 i=2,3,n 1时,只要M2T=M3T(1+KiexpKiT (1+T),(2.8)成立.bi(t;qi)a+iXiexpTKi expa+2ri=bi M2T,i=2,3,n 1.即证毕.上述引理处理了 i=2,3,n 1的情形,但对于i=1,n的情况依然可用类似的方法证明出来,并且更简单.并在此基础上,定义如下映射:(Gq)(a,t)=x(a,t;q)=(x1(a,t;q1),x2(a,t;q2),xn(a,t;qn),其中 q1=(0,q1,q2),q2=(q1,q2,q3),qn1=(qn2,qn1,qn),qn=(qn1,qn,0)(q0,qn+1=0).至于(x1(a,t;q1),x2(a,t;q2),xn(a,t;qn)则是系统(1.1)的解,其形如(2.2).再定义如下集合:P=(v1,v2,vn)L1(0,a+)(0,T)n;vj(a,t)0,a.e.(a,t)QT,vj(,t)L1(0,a+)MT,a.e.t (0,T),j=1,2,n,其中(v1,v2,vn)=v1+v2+vn.引理2.2存在常数 M4T 0,使得对任意 qe=(q1e,q2e,qne)P,e=1,2,a.e.t(0,T),下列不等式成立:(Gq1)(,t)(Gq2)(,t)L1(0,a+)n M4Tt0q1(,s)q2(,s)L1(0,a+)nds.(2.10)证根据引理2.1,可得(Gq1)(,t)(Gq2)(,t)L1(0,a+)n=?x1(,t;q11)x2(,t;q21).xn(,t;qn1)x1(,t;q12)x2(,t;q22).xn(,t;qn2)?L1(0,a+)n第 1 期贺亚权等：一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获139=?x1(,t;q11)x1(,t;q12)?L1(0,a+)+?x2(,t;q21)x2(,t;q22)?L1(0,a+)+xn(,t;qn1)xn(,t;qn2)L1(0,a+)t0?b1(t a;q11)b1(t a;q12)?1(a,t,a;q11)da+t0b1(t a;q12)?1(a,t,a;q11)1(a,t,a;q12)?da+a+tx01(a t)?1(a,t,t;q11)1(a,t,t;q12)?da+t0?b2(t a;q21)b2(t a;q22)?2(a,t,a;q21)da+t0b2(t a;q22)?2(a,t,t;q21)2(a,t,a;q22)?da+a+tx02(a t)?2(a,t,t;q21)2(a,t,t;q22)?da.+t0|bn(t a;qn1)bn(t a;qn2)|n(a,t,a;qn1)da+t0bn(t a;qn2)?n(a,t,t;qn1)n(a,t,a;qn2)?da+a+tx0n(a t)?n(a,t,t;qn1)n(a,t,t;qn2)?daM2Texpa+2r1 t0?q11(,t a)q12(,t a)?L1(0,a+)3+ta0?q11(,s)q12(,s)?L1(0,a+)3dsda+M2Texpa+2r1 L2(MT)t0a0?E(q11)(a ,t )E(q12)(a ,t )?dda+expT2r1 L2(MT)a+tx01(a t)t0?E(q11)(a ,t )E(q12)(a ,t )?dda.M2T(1+T)(expa+2r1+expa+2rn)(t0?q11(,s)q12(,s)?L1(0,a+)3ds+t0qn1(,s)qn2(,s)L1(0,a+)3ds)+M2TT(expa+2r1+expa+2rn)L2(MT)(t0?q11(,s)q12(,s)?L1(0,a+)3ds+t0qn1(,s)qn2(,s)L1(0,a+)3ds)+L2(MT)a+(X1expT2r1+X2expT2r2+XnexpT2rn)(t0?q11(,s)q12(,s)?L1(0,a+)3ds+t0qn1(,s)qn2(,s)L1(0,a+)3ds),140应用数学2024其中M4T=M2T(1+T)(expa+2r1+expa+2rn)+T(expa+2r1+expa+2rn)L2(MT)+L2(MT)a+(X1expT2r1+X2expT2r2+XnexpT2rn).这表明,t (0,a+),有(2.10)成立;t (a+,T)时,类似可证.定理2.1如果(A1)-(A4)成立,则系统(1.1)存在唯一解,且该解非负有界.证令 M4T,在q=(q1,q2,qn)L1(0,a+)(0,T)n空间内定义如下范数:q=esssupt(0,T)etq(,t)L1(0,a+)n,由引理2.2可推得(Gq1)(,t)(Gq2)(,t)=esssupt(0,T)et(Gq1)(,t)(Gq2)(,t)L1(0,a+)n M4Tesssupt(0,T)ett0q1(,s)q2(,s)L1(0,a+)nds M4Tesssupt(0,T)ett0esesq1(,s)q2(,s)L1(0,a+)ndsM4Tq1 q2,故G为空间(L1(0,a+)(0,T)n,)上的压缩映射.因此,根据Banach不动点定理,该映射存在唯一的不动点,即为系统(1.1)存在唯一解.另一方面,易得该解不仅非负,而且有界.证毕.有以下几点注意:注1 现在我们已经确立了系统(1.1)解的适定性.即对于任意给定的u=(u1,u2,un)U,若假设(A1)-(A4)成立,则系统(1.1)在 QT上存在唯一的非负有界解(xu1,xu2,xun).注2(A1)-(A3)中函数 mi,i,i的单调性体现的是种群内部的密度制约,而函数 ri,fi的单调性表现的是多种群之间捕食与被捕食的关系.注3(A2)表达了种群的自然死亡率i(a)局部有界,但在最大年龄值处无界,这点与最大年龄有限相匹配.注4xi(a+,t)=0,t 0,i=1,2,n.之后为避免混淆,使用下列记号:e i(a,x,y,l)=i(a)+mi(x)+1fi(y)2ri(l),i=1,2,n.3.最优解的存在性在证明最优解的存在性之前,还需要引入以下引理.引理3.1集合 E(xui):u U(i=1,2,n)在 Lp(QT)中相对紧.证对充分小的 0,有E(xui)(a,t)=a0 xui(r,t)dr+ia+axui(r,t)dr,0 i 1,(a,t)QT.(a)对模型(1.1)1就变量a进行积分,得到a0 xu1(r,t)t+xu1(r,t)rdr+1a+axu1(r,t)t+xu1(r,t)rdr=a01(r,E(xu1)(r,t),E(xu2)(r,t)+u1(r,t)xu1(r,t)dr第 1 期贺亚权等：一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获141+1a+a1(r,E(xu1)(r,t),E(xu2)(r,t)+u1(r,t)xu1(r,t)dr.(b)由(1.1),(a)和(b)可得E(xu1)(a,t)t=a01(r,E(xu1)(r,t),E(xu2)(r,t)+u1(r,t)xu1(r,t)dr+1a+a1(r,E(xu1)(r,t),E(xu2)(r,t)+u1(r,t)xu1(r,t)dr a0 xu1(r,t)rdr+1a+axu1(r,t)rdr=(1 1)xu1(a,t)+a+01(a,E(xu1)(a,t)xu1(a,t)da1xu1(a+,t)a01(r,E(xu1)(r,t),E(xu2)(r,t)+u1(r,t)xu1(r,t)dr+1a+a1(r,E(xu1)(r,t),E(xu2)(r,t)+u1(r,t)xu1(r,t)dr,由注1,2和假设(A1)-(A3)可知E(xu1)(a,t)t关于 u 一致有界.E(xu1)(a,t)a又等于(1 1)xu1(a,t)a+01(a,E(xu1)(a,t)xu1(a,t)da+1xu1(a+,t),因此,E(xu1)(a,t)a同样关于 u一致有界.那么,E(xui)(a,t)t,E(xui)(a,t)a,i=2,3,n,也可以得到相同的结果.下面引用Fr e chet-Kolmogorov定理13来证明引理3.1.当(a,t)R2 QT时作拓展,即在其他区域上,E(xui)(a,t)=0.易知supuUR2|E(xui)(a,t)|pdadt s|t|l|E(xui)(a,t)|pdadt=0.若supuU?E(xui)(a,t)t?=Mi1,supuU?E(xui)(a,t)a?=Mi2,故可有T0a+0E(xui)(a+a,t+t)E(xui)(a,t)pdadt=T0a+0E(xui)(a+a,t+t)E(xui)(a,t+t)+E(xui)(a,t+t)E(xui)(a,t)pdadt=T0a+0E(xui)(a+1a,t+t)aa+E(xui)(a,t+2t)ttpdadtT0a+0(Mi1t+Mi2a)pdadt a+T(Mi1t+Mi2a)p,其中1,2 0,1.因此,可得lima0t0T0a+0E(xui)(a+a,t+t)E(xui)(a,t)pdadt=0,关于 u一致成立.142应用数学2024根据Fr e chet-Kolmogorov定理即可得集合 E(xui):u U(i=1,2,n)的相对紧性.又由于xui关于 u一致有界(上界为 MiT),故有|E(xui)(a,t)E(xui)(a,t)|=ia+a+xui(a,t)da iMiT,(a,t)QT,u U,则集合 E(xui):u U(i=1,2,n)在 Lp(QT)中相对紧.证毕.下证明控制问题最优解的存在性.定理3.1问题(OH)至少有一个最优控制.证定义J(u)=ni=1T0a+0gi(a,t)ui(a,t)xi(a,t)dadt,再令d=supuUJ(u).根据上确界定义,可以找到一组序列 um=(um1,um2,umn):um U,m N,使得d 1m a,0 s t;0,当 t s T.(3.8)第 1 期贺亚权等：一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获143由(3.2)可得QThi(r,s)xumi(r,s)drds QThi(r,s)x(r,s)drds,m .因此可得t0E(xumi)(a,s)ds t0E(xi)(a,s)ds.由(3.4)可得t0E(xumi)(a,s)ds t0E(xi)(a,s)ds,t (0,T).从而有t0E(xi)(a,s)ds=t0E(xi)(a,s)ds.因此,E(xi)(a,t)=E(xi)(a,t),在 QT上几乎处处成立.由(3.5),(3.7)与(1.1)可推知fxmit+fxmia=kmj=m+1mje i(a,E(xuji)(a,t),E(xuji+1)(a,t),E(xuji1)(a,t)xuji(a,t)fumifxmi,fxmi(0,t)=a+0kmj=m+1mji(a,E(xuji)(a,t)xuji(a,t)da,fxmi(a,0)=x0i(a).(3.9)由(3.2)能推导出E(xuji)E(xi),j m+1,m .根据假设(A1)-(A4),(3.2),(3.3)和(3.6)可得kmj=m+1mje i(a,E(xuji)(a,t),E(xuji+1)(a,t),E(xuji1)(a,t)xuji(a,t)mje i(a,E(xi)(a,t),E(xi+1)(a,t),E(xi1)(a,t)xi(a,t),kmj=m+1i(a,E(xuji)(a,t)xuji(a,t)i(a,E(xi)(a,t)xi(a,t),(3.10)根据弱解的唯一性3,有 x=xu成立.即有E(x)=E(xu).因此,不等式(3.1)可变为d 1mkmj=m+1mjJ(uj)d,且当 m 时,kmj=m+1mjJ(uj)d.故有kmj=m+1mjJ(uj)=kmj=m+1mjni=1T0a+0gi(a,t)uji(a,t)xuji(a,t)dadt=ni=1T0a+0gi(a,t)kmj=m+1mjuji(a,t)xuji(a,t)dadt=ni=1T0a+0gi(a,t)fumi(a,t)fxmi(a,t)dadtni=1T0a+0gi(a,t)ui(a,t)xui(a,t)dadt(m )=J(u).因此,J(u)=d=supuUJ(u),即定理的结论成立.144应用数学20244.最大值原理证明最优解的一阶必要条件之前,需要引入以下引理.引理4.1系统(1.1)-(1.2)的解xu(L(QT)n关于控制变量u在(L(QT)n中连续.对于该引理的具体证明,可采用类似文14的方法.下证控制问题最优解的一阶必要条件.定理4.1如果(u,x)是(OH)的最优对,则有ui(a,t)=i1(a,t),gi(a,t)+qi(a,t)0,(4.1)这里 q=(q1,q2,qn)为下列共轭系统的解.qit+qia=a0(fi2qixi)(a,t)da+ia+a(fi2qixi)(a,t)da+a0(i+1)3qi+1xi+1)(a,t)da+i+1a+a(i+1)3qi+1xi+1)(a,t)da+a0(i1)4qi1xi1)(a,t)da+i1a+a(i1)4qi1xi1)(a,t)da qi(0,t)a0(i2xi)(a,t)da+ia+a(i2xi)(a,t)da iqi(0,t)+e iqi+qi+gi(a,t)ui,qi(a+,t)=0,qi(a,T)=0;(a,t)QT;(4.2)其中,i=1,2,n,fi2(a,t)=e ix?(a,E(xi)(a,t),E(xi+1)(a,t),E(xi1)(a,t),(i+1)3(a,t)=e iy?(a,E(xi)(a,t),E(xi+1)(a,t),E(xi1)(a,t),(i1)4(a,t)=e il?(a,E(xi)(a,t),E(xi+1)(a,t),E(xi1)(a,t),i2(a,t)=is?(a,E(xi)(a,t).证 系统(4.2)解的适定性,可由标准证明3证得.并且用NU(u)表示L(QT)n中U在u处的法锥.对任意v=(v1,v2,vn)U(u)(集合U在u处的切锥),都有任意足够小的 0,使得u:=u+v U,故ni=1T0a+0gi(a,t)ui(a,t)xi(a,t)dadt ni=1T0a+0gi(a,t)ui(a,t)xi(a,t)dadt,故当 0+时,并运用引理4.1,有ni=1T0a+0gi(a,t)uizi+xividadt 0,(4.3)第 1 期贺亚权等：一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获145其中zi(a,t)=lim0+xi(a,t)xi(a,t)为系统zit+zia=fi2E(zi)+(i+1)3E(zi+1)+(i1)4E(zi1)+vixi(ui+e i)zi,(a,t)QT,zi(0,t)=a+0i2xiE(zi)+izi(a,t)da,t (0,T),zi(a,0)=0,a (0,a+),(4.4)的解.上述系统解的适定性可用类似于文14的方法证明.在(4.4)1两边同乘以qi并在0,T 0,a+上进行积分,我们得到:T0a+0qizit+zia+fi2E(zi)+(i+1)3E(zi+1)+(i1)4E(zi1)+vixi+(ui+e i)zi(a,t)dadt=0,(4.5)其中,利用(4.2)2,3和(4.4)2,3可得:a+0T0zitqidtda=a+0T0qitzidtda(4.6)T0a+0ziaqidadt=T0qi(0,t)zi(0,t)dt T0a+0qiazidadt=T0qi(0,t)a+0i2xiE(zi)+izi(a,t)dt T0a+0qiazidadt=T0a+0qiazidadt T0qi(0,t)a+0(izi)(a,t)dadtT0qi(0,t)a+0i2xia0zi(r,t)dr+ia+azi(r,t)drdadt=T0a+0qiazidadt T0qi(0,t)a+0(izi)(a,t)dadtT0a+0qi(0,t)zi(a,t)a0(i2xi)(r,t)drdadt iT0a+0qi(0,t)zi(a,t)a+a(i2xi)(r,t)drdadt=T0a+0ziqia+qi(0,t)a0(i2xi)(r,t)dr+ia+a(i2xi)(r,t)dr+idadt,(4.7)容易得到T0a+0(qifi2E(zi)xi)(a,t)dadt=T0a+0zi(a,t)a0(fi2qixi)(r,t)da+ia+a(fi2qixi)(r,t)drdadt,(4.8)和T0a+0(qi(i+1)3E(zi+1)xi)(a,t)dadt146应用数学2024=T0a+0zi+1(a,t)a0(i+1)3qixi)(r,t)da+i+1a+a(i+1)3qixi)(r,t)drdadt,(4.9)和T0a+0(qi(i1)4E(zi1)xi)(a,t)dadt=T0a+0zi1(a,t)a0(i1)4qixi)(r,t)da+i1a+a(i1)4qixi)(r,t)drdadt,(4.10)以及(zi1xiqi)(a,t)=lim0+xi1(a,t)xi1(a,t)(xiqi)(a,t)=0,(zixi1qi1)(a,t)=lim0+xi(a,t)xi(a,t)(xi1qi1)(a,t)=0,(zi1xiqi)(a,t)=(zixi1qi1)(a,t);(4.11)同理可得(zi+1xiqi)(a,t)=(zixi+1qi+1)(a,t).(4.12)再将(4.5)两端加上积分T0a+0gi(a,t)(uizi)(a,t)dadt,再由(4.2)和(4.6)-(4.12)可得:ni=1T0a+0 xiviqidadt=ni=1T0a+0gi(a,t)uizidadt,(4.13)现在再利用(4.3)和(4.13)又有下式成立:ni=1T0a+0vi(gi+qi)xidadt 0.(4.14)考虑到NU(u)的结构可得:(g1+q1)x1,(g2+q2)x2,(gn+qn)xn)NU(u),(4.15)且对任意 v U(u)均成立.即等价于(4.1),即证.5.结论本文研究了一类具有年龄等级结构的n维食物链种群系统的最优收获问题,首先研究了该系统解的存在唯一性以及非负性;其后又运用了紧性定理和Mazur定理证得了控制问题最优解的存在性;最后还通过构造共轭系统和利用法锥的概念,得出了最优控制问题解的一阶必要条件.因而,本文的结论更具有普遍性,并且是对于文2的总结.参考文献：1 何泽荣,周楠,韩梦杰.年龄等级结构两种群系统模型解的存在唯一性J.数学进展,2020,49(6):713-722.2 何泽荣,周楠.年龄等级结构捕食系统模型的最优控制J.系统科学与数学,2021,41(5):1191-1202.3 ANITA S.Analysis and Control of Age-Dependent Population DynamicsM.Dordrecht:Springer,2000.4 何泽荣,周楠.具有年龄等级结构的种群竞争系统的最优收获控制J.数学物理学报,2022,42(1):228-244.5 何泽荣,徐俊芳年龄等级结构捕食种群系统的可控性与镇定J高校应用数学学报A辑,2021,36(3):253-264.6 ANITA S,KIM M Y,PARK E J,et al.Optimal harvesting for periodic age-dependent populationdynamicsJ.SIAM Journal on Applied Mathematics,1998,58(5):1648-1666.第 1 期贺亚权等：一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获1477 ANITA S.Optimal harvesting for a nonlinear population dynamicsJ.Journal of Mathematical Anal-ysis and Applications,1998,226:6-22.8 CRESPO L G,SUN J Q.Optimal control of populations of competing speciesJ.Nonlinear Dynamics,2002,27(2):197-210.9 IANNELLI MMathematical Theory of Age-Structured Population 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