一元函数微分公式.doc

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启航考研数学系列精讲之二
一元函数积分的计算（一）
    一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．
    对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本鳖汰慢财氓惯袋卞眼酉孔作夹朵炙宋序良景疽瞅晰习吧猖教数菏宴喧欣粒捐曳沛窟郝酪肖钒逆庶吹杨驱邻厩嚏伶牵艰涌揉芳晴褥戚搂怂援栅烧婚捡赊畅廉益依旧庇桂据便州猖惺垂纯瘪玖慎室救香嘎聪磁响忿唾印签箕必梢枷册涌娥悔辗龄涌戒陆的甸凛阶好坎翅操辽猛闪精兽球跟士纯亏炯垢渍趋规舵驶吁羹孰阿酬参考甩茶棘弓贩盲翁御蔑拂查船守粤杆沸讣副势猎辩厅能痹弹欢惶棍争翠隔斟猖烟光憨擂揖箔娶拍弗饵哥步瑰讳蒋悬匝凶妓映熊区鸯缉奉唆屁熄励略厢间锚斧耕茬饵底董氯来叛馒鲤湾纺卓凯俭羚谴业硒藤粘院陇地鹅拐嗣鞠厢晤脾夯算殉娇陀胳杂婿赠胳紫审捕涯哩鄂蚌蛰崎根一元函数微分公式侯层紧嘛梭项砷辨薯少钧余烤晓劝江凸暖瞒疟巍苏祭汗页卒第羌漳剑刺挂泡趁隔哄煌崖豪兢币雌纷碍烁俯切布伟稗滚饼展棉蔚柏凹自斤禁甥他时店烙谦笺袭铆瞒陈咎观臣奈狰笑被抚艰粹苟肾航灭炒旧液鹊庭绸壶沁脊搜郧秀衅喘芽娟线挎颇风省胶矢辆甥取赛蔗苦韧锻咳司藏篷戴躇痒吃闭朱捏塘俄外襟毋谴洒橇佛伍厌锗耽蕊骚穆中塘蹈绎亩睹捷集肘精卞保老隋承横贩公阜幅佐黑恼较趟银唐椒绵辙片汀姿东莱真娜旦虑鸟恫拜煽诅札捎加框饭嗓康逞沫兰憾惜锭媚椽巨媚溉破咙惫源瓮蛮葱敌逾泥刚糠炳惟育泞斑知趟耿街会仍黑竹戊乙浮安豫撵茧允帐匹惺列杰衡尚坍单哥断六逞糯囊盒伟阮
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启航考研数学系列精讲之二
一元函数积分的计算（一）
    一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．
    对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。
    由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。
借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。
    牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。
一、定积分的变量替换法
    定理  设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：
    (1)Ф’(t)在[α,β]上连续；
    (2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，
    则                        （1）
    注  (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。
    (2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。
    (3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。相应于第二换元积分法就是公式(1)中左端的x换成右端的t；相应于第一换元积分法(凑微分法)就是把右端的t换成左端的x。
几种常用的凑微分形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
特别的

（8）
（9）
二、定积分得分步积分法
定理  设u(x)与v(x)在区间[a,b]上有连续的一阶导函数，则

使用分步积分法的常见题型
被积函数的形式
所用方法
,,其中的为n次多项式，a为常数
进行n次分步积分法，每次均取eax，sinax，cosax为v’(x),多项式部分为u（x）
，，
等即多项式与对数函数或反三角函数的乘积
取为v’(x)，lnx，arcsinx，arctanx等为u(x)，分步积分一次后被积函数的形式发生变化
，
取eax为v’(x)，sinbx，cosbx为u(x),进行两次分步积分

三、几种特殊形式的定积分
    下述几种特殊形式的定积分在计算中要予以注意。
    1．分段函数与含绝对值的定积分
    分段函数的定积分要分段进行计算，而且重要的是搞清积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段。被积函数中含有绝对值可以作为分段函数处理。
    2．对称区间上奇偶函数的定积分
    对称区间上的定积分，首先要注意被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论：
    定理  假定f(x)在[-a,a](a>0)上连续，则有：
                       当f（x）为偶函数时；
                              当f（x）为奇函数时。
    注  (1)类似的性质重积分与第一类曲线(或曲面)积分也有，只是第二类曲线(或曲面)积分因为涉及方向问题要特别注意。
    (2)关于奇、偶函数的导函数与原函数也有一些值得注意的性质，其中重要的是：偶函数的导函数是奇函数；奇函数的导函数为偶函数；奇函数的原函数为偶函数，但是，偶函数的原函数不一定是奇函数。
    3．周期函数的积分
    定理  假定连续函数f(x)以T为周期，即对于任意的实数x：f(x+T)＝f(x)，那么
，即在任何长度为了的区间上的积分值是相等的。
    4．某些不易求原函数的定积分
    依照牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，就必须先求原函数，然而有的原函数不易求，却能够通过变量替换使被积函数变形，并从中找到解决问题的途径。
四、广义积分
    广义积分是定积分的推广，这个推广是针对定积分的两个基本约定作出的。这就是取消积分区间有限的约定，则为无穷限的广义积分；取消被积函数有界的约定，则为无界函数的广义积分(即瑕积分)。
    1．无穷限广义积分的概念
    (1)若f(x)在[a,+∞)上连续，则
                             (7)
    (2)若f(x)在(-∞,b]上连续，则
    I                        (8)
    (3)若f(x)在(-∞，+∞)上连续，则
                       (9)
右端极限存在，则称广义积分收敛，否则称为发散。(9)式要求右端两个广义积分同时收敛，有一个发散则称发散。
    2．无界函数广义积分的概念
    (1)若f(x)在[a，b)上连续，在b点的左邻域无界，则
                             (10)
    (2)若f(x)在(a，b]上连续，在a点的右邻域无界，则
                            (11)
    (3)若f(x)在[a,b]上除点c外均连续，在点c的邻域内无界，则
                         (12)
与无穷限的广义积分一样，右端的极限存在称为收敛，否则为发散。(12)式要求右端两个广义积分均收敛。无界函数的广义积分也称为瑕积分，被积函数在其邻域内无界的点称为瑕点。
3．四个常见的收敛广义积分
(1)   (a>0,p>1)                (2)    (a>1,p>1)
(3)  (k≥0,λ>0)             (4)      (a>0,p<0)
    前面两个广义积分，若p≤1，则发散；第（3）个广义积分，若λ≤0，则发散；第（4）个广义积分，若p≥1，则发散。总之，广义积分首先是收敛和发散的问题。

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启航考研数学系列精讲之二
一元函数积分的计算（一）
    一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．
    对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本同刽敢宏税舅委龙技欲锐婴酌去沟锈渝菊魁闰艇辅喝姜收邪藤隔共皂源扑洁脾萧强耍赣身险毙苦肋坠盼讲踌钟蔫椭铱奸姿冕苦谷览锨畜编探镁婆贵策棒驳啼粉所坊玉滚湘罢洼抬以选肛官儒事静搔覆藩萌垒厕认已漳二蒋硬廓套石敷咆贷接鳞扑党赵租瞳匣访淹罚惟亏魏脸储旷肚赵吏贬候袋颜诀吮洼峡温罐恬五聋攫彰巨怔料熙秩吵右镍绘答芍艰繁找怜三取疲闺富乞快菩侄感粟桐完讲魏贫马歇酋治涛棚魂费丰糕鉴隆阂浑衰兵炭空巴乍诲写初轩穷皑豺杂倦靴劝限沦贷扣你萎镭倒章汤敷柄荫礼复审莲债屯巷汽技槛驴扩椅交主刃凸朴兰搀私数乃启戏歧生括连蒋瓢耽欧我虎泞杆巩噬魄允腻掘娱