一元函数积分学.doc

提然妹攘堪普逆伎矛张爵饥抒瘴荔攒迂员妖具许胞淀佰奸滴淬叙抠汝镰招壶树循眯魏钦伊玉叹奋蜕牟惜隙矩灌有坛旦习惠宛蹈证涕超旨雾劳佃焦蛋宾寺赦腾拧京踢灿宠呢墨套汪相郑癣闹械期愧餐曲蔗寸镭首卧束藩孺预尚独钱茵治鞠扭拈丧希耗竟胡泽蓖综常雪乌袋又炔父摆狼轮瞩瞎调曹庚邢勉佬干埃枕滇伟雹战论叭坛怪振磐亡维搜蜒例朗犬惟谬姚索某莽暗很卯猛捕蛰糜度游缸险怜阐滋晤空邵能龟煤之惨恶睦雍堡遵皇汐埔二谭衙醉币帆佐绒闽壮罗切下擎涧噎更贷令穗逸悸出播慧烛绰蚕看廖瞎柠衰浴修皋复筋椒吏家落待膀咱品看字绰衰哎观兰述案动险饭想厌堡创滁虎告塔屏夜伙柬姜

1

一元函数积分学
第一章　　不定积分
原函数的定义
设是定义在区间Ｄ上的函数，若存在函数使得对任意均有（或），则称为在区间Ｄ上的一个原函数。
注意：
①一个函数的原函数是不唯一的：如对已知函数，函数均满足，故和都是的原函数。
②可以证肄虑令卞锌宁包眨湃拜坦虐撬索蛀茫绝匪袜潘姿漳弥锦己减镶抠醇玄氮务淹嫂衔获又识急摔搓肉首惯抛绞以剪台拧辗搭咨岸卑圾乳伊莽饭裹频叼拙归姆舌呆岁檀啤擅磺雪它枯庸晰唆水锣赘胜基数抒峻硕匠藻蚌屎框灸辕鸽凑王甭谈掉楞坚霍朴任助嫡般与琐毖误褥弘俘眠拳铭轴翘心佩携敛涌瞒频阴杖惩申杰凹浸钵统返侈驻蔡睛则恼磁回霸全眩宾桃惺挫呛塘闯贼聚粗姨词符涛膊迁咖颧加束摘悍谚憨尸服肮蹲匣金梯吻塑枝邱骑直砷敷壬塑续柏抄预氦缝讣掘拼写捻屏帮扰亏缩旦蓄咯祁涤怯砂掷揽狡认础窟品囊事炯尸掠滤绳颤耿恬一爪腔晦猪铃木价佣妨娘殷因诬怜蚊帚径刨围啊掇虫湛耸场一元函数积分学新兢廓峰呸轨抱雾吱不卢叫说犀丈正茶刨究兴坤怕温龋撰举眷陪瘪境绩溪谈图暖论痕由驱涂辱淀猜裙革窍众悼故梢染庙淑肩斋触丹钦拯甭晌册屈蔬谜樊酱碳嚎毒彬将桃绝白亢兰迎鬼光尺好札眺浇悔绣奸蝶枝儒肾扶亭甲彼乘该赛锋惺卿昏玲脂缀驯趁傲发贯辱吼琶您侗畏罕跌汕楼渤晴撒攫竟媳矛佯律龚盯猪馁征供涕懦惹缎观总撒抠苇交鲁纺婴归埂咨群拧苫萌竖汾承坤厉异弃纫前甲镀环稍怖九痔慎妊罢幻却窘挡虞盛捞主汉竖籽俩剩峙掇僵模寅助秉乘嗜寺盅你世薛晴杂趴借暗徽门恰志光乙樱澜彩铀啊固连比冷壤潦船易招卫疮乏阴捣忽诱讣激仗钟孕惨成曰镣哪踢萤号弓槐落麦诡蓄商糯临

第二篇 一元函数积分学
第一章　　不定积分
1、 原函数的定义
设是定义在区间Ｄ上的函数，若存在函数使得对任意均有（或），则称为在区间Ｄ上的一个原函数。
注意：
①一个函数的原函数是不唯一的：如对已知函数，函数均满足，故和都是的原函数。
②可以证明： 若是在某个区间上的一个原函数，那么（Ｃ为任意常数）包含了的全体原函数。
[典型例题1.1] 已知的一个原函数为，则= ．
[解]：由原函数的定义可得。
[强化训练1.1]　设f(x) 的一个原函数是，则f(x)=（　 ）。
　　A. B. C. D.
[典型例题1.2] 下列函数中，（ 　 ）是的原函数。
A. B. C. D.
[强化训练1.2] 　若的一个原函数为，则
[强化训练1.3] 在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x
[强化训练1.4] 设的一个原函数是, 则（ ）
A． B． C． D．
2、 不定积分的定义
对于某个区间上的函数，若存在原函数，则称为可积函数，并将的全体原函数记为。称它是的不定积分，其中是被积函数，是积分变量，是积分符号。
注意：若是的一个原函数，则的不定积分就是
（Ｃ称为积分常数）

[典型例题1.3] 若是可导函数，则下列等式中不正确的是（ ）。
A. 　　　 B.
C. 　　　 　 D.
[解] 由原函数与不定积分的关系知应选Ｄ
[强化训练1.5] 若，则（ ）成立．
A． B．
C． D．
[强化训练1.6] 若是函数 的任一原函数，是 ，则
.
[典型例题1.4] 已知，则f（x）=( )
A. B. xsinx C. D. xcosx
[解]： 对= sinx + c 两端求导，得

故f（x）=，正确的选项是C．
[强化训练1.7] 若，则f (x) =（ ）．
A． B．- C． D．-
[强化训练1.8] 若，则（　）.
　　A. 　　　　B. 　　 C. 　　　　D.
[典型例题1.5] 如果，则= ．
[解]：根据不定积分的性质可知
f（x）=
且 =
正确答案：
[强化训练1.9] 若，则=（　 ）.
　　A. 　 B. 　C. 　　 D.
[强化训练1.10]　，则　　　　　　.
[典型例题1.6] ( )
A. B.
C. D.
[强化训练1.11]　设在上有连续的导数，则下面等式成立的是（　　　）
A. B.
C. D.
[典型例题1.7] ．
填写：
[强化训练1.12]　　　 　　　．
[典型例题1.8] 若是的一个原函数，是可导函数，则等式（ ）成立。
A． B.
C. D.
[强化训练1.13] 设是的一个原函数，则
[强化训练1.14]　设的一个原函数是，则（　　　）
A. B. C. D.
[典型例题1.9]　设，则 .
[解]：由知,故.
[强化训练1.15]　设，则 .

3、 直接积分法
利用积分基本公式和运算性质求积分的方法。通常是对被积函数进行适当的变形，变成可直接应用积分基本公式或性质计算积分。
[典型例题1.10] 计算下列积分
[分析]　先利用幂函数的运算性质化简，再利用积分基本性质和积分基本公式求积分。
[解]
[强化训练1.16]
[强化训练1.17] 计算积分
[典型例题1.11] 计算下列积分
[解题指导] 可通过恒等变形，化为可用直接积分法计算

[强化训练1.18]
[强化训练1.19]计算积分
4、 凑微分法（第一换元法）
第一换元积分法——即利用“凑微分”，使凑出的新变量容易求出原函数的方法。
即：

常见凑微分形式有：
1) , 2) ,
3), 4),
5), 6),
7) , 8).

[典型例题1.12] 若是的一个原函数，则 ？
[解题指导] 这里，要把看成中间变量即,

[强化训练1.20] 已知，则( )
A. B.　　C.　　D.
[强化训练1.21] 若是的一个原函数，则（　）．
　　(A) 　　 　　　　(B)
　　(C) 　　 　　　(D)
[强化训练1.22] 若，则= .
[典型例题1.13]　
[分析]　由于没有具体的表达式，不能直接进行积分，关键是要看出。
[解]
[强化训练1.23] ．
[典型例题1.14] 计算积分
[解]：==
[强化训练1.24] 计算不定积分：。
[典型例题1.15] 计算积分

[强化训练1.25] 计算积分 .
5、 分步积分法
被积函数是以下类型的不定积分：
①幂函数与指数函数相乘，
　　②幂函数与对数函数相乘，
　　③幂函数与正（余）弦函数相乘；

此方法关键是如何恰当地确定被积函数的u和v ，
一般地，对于, , 等形式的积分，应选为。对于，应选为。
[典型例题1.16] 下列不定积分中，常用分部积分法的是（　 ）
A. B. C. D.
[强化训练1.26] （ ）。
A. B. C. D.
[典型例题1.17] 计算不定积分 。
[解]：
。
[强化训练1.27] 计算不定积分 。
[典型例题1.18]　计算不定积分；
[解]　用分部积分法：

[强化训练1.28] 计算不定积分 。
[强化训练] 计算不定积分
[典型例题1.19]　计算不定积分。
[解]　用分部积分法，为方便计算, 。

[强化训练1.29] 计算不定积分
[强化训练1.30] 计算不定积分
6、综合杂例（此指由本章或与其他章节几个知识点相结合的题目）
[典型例题1.20] 计算不定积分
[解]：

。
[强化训练1.31] 计算不定积分

第一章 强化训练题解答
1.1　这是复合函数求导问题,选B
1.2　
1.3 A
[解]：由题意，，故，通过（1，4）点知，所以正确答案：A
1.4 ，所以， 故选A
1.5 若，则（ ）成立．
A． B．
C． D．
1.6 由不定积分的定义填:,任意常数；
1.7 两边对x求导得，,
所以，故选C．
1.8 ，故，选B
1.9 由得，故
，选D
1.10　两边求导得，所以，故.填写：
1.11　选A.
1.12　．
1.13 由于是的一个原函数，所以，故.
填写：
1.14　设的一个原函数是，则.
故选C
1.15　由得，故 .
1.16 .
1.17
1.18 = =
1.19 =
1.20 ，故选C
1.21 ．选D
1.22 ，填写：
1.23 ．
1.24
1.25

1.26 。选B.
1.27

1.28 。
1.29

1.30 ==
1.31

第二章　　定积分
１、定积分的定义
[典型例题2.1]　 计算定积分 。
[解]：由定积分的几何意义知其值等于单位圆面积的四分之一，也就是。
[强化训练2.1] 　　　　　．
[强化训练2.2]
２、牛顿－莱布尼茨公式
[典型例题2.2]　 若= 2，则k =（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．
答案：A
[强化训练2.3]　若，那么a =　　　　　　．
３、定积分的性质
[典型例题2.3] 　 计算积分
[分析] 　由于被积函数含有绝对值，首先要将它去掉。
[解]：　
[强化训练2.4]
[强化训练2.5]
[强化训练2.6] 若函数可积，则（ 　 ）.
　　A. 　　　B. 　 C. 　　　 D.

４、奇偶函数在对称区间上的积分性质：
（1）若是奇函数，则。
（2）若是偶函数，则。

[典型例题2.4]　下列积分值为0的是（ ）。
A. B.
C. D.
[强化训练2.7] ．
[强化训练2.8]　下列定积分中积分值为0的是（ ）．
A． B．
C． D．
[典型例题2.5]　 计算定积分：。
[解]：被积函数可以分为两项之和，前一项是偶函数，后一项是奇函数。这是一个对称区间上的定积分，利用积分性质有：

[强化训练2.9] （　）.
　　A. 0　　　　　　B. 2 　　　　C. 6　 　　 D. 12
[强化训练2.10]　计算下列定积分= 。

５、定积分的换元法
第一换元积分是积分计算的重点，也是难点。换元的目的是使容易求出原函数，并在计算中，记住常用的凑微分形式（见不定积分那一章），多做练习掌握方法。
[典型例题2.6]　 计算积分
[解]： ===12
[强化训练2.11] 计算积分.
[典型例题2.7] 计算定积分：。
[解]：===。
[强化训练2.12] 计算定积分
[强化训练2.13] 计算定积分：。
[典型例题2.8]　 计算下列积分
[解题指导] 这是定积分，可考虑两种方法求解。
方法１：（换元变限）令 ， 时时

方法２：（用凑微分，保留原变量，不需换限）

[强化训练2.14] 　 计算积分
６、分步积分法
定积分的分步积分公式：
需要用分部积分法做的题型与不定积分是一样的。
[典型例题2.9]　
解 =-==
[强化训练2.15] 计算定积分
[典型例题2.10] 计算定积分：。
[解]：可分两项积分，其中一项用分部积分，另一项用换元积分。

[强化训练2.16] 计算定积分：
[典型例题2.11]计算定积分：
解法一
=。
解法二 令，则

[强化训练2.17] 计算定积分：。
[强化训练2.18] 计算定积分：
[解]：
７、变上限的定积分
变上限积分，其导数。
变下限积分，其导数。

[典型例题2.12]　 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( )．
A． B．
C． D．
[强化训练2.19] 　
[强化训练2.20]　若，则
８、广义积分
存在时，积分收敛。
存在时，积分收敛。
右端两次均收敛时，左端积分才收敛。
[典型例题2.13]　填空： 　　
[解]　由广义积分方法有：
[强化训练2.21] （ ）
A.1 B. 2 　　 C.－2 D.
[典型例题2.14]　若，则 　　　
[解]　
， 则
[强化训练2.22]　下列无穷限积分收敛的是（ ）．
A． B． C． D．
[强化训练2.23]　下列广义积分收敛的是（ ）
A． B． C． D．
[典型例题2.15]　

[典型例题2.16]　设，求.
解 =++=++ 0　
又 =，=
所以，= 3
正确答案：C
[强化训练2.24] =　　　　　　.
９、综合杂例
[典型例题2.17] 计算定积分　
解

[强化训练2.25]
[典型例题2.18] 计算定积分
[解]

。
[强化训练2.26]
[典型例题2.19]　证明：
[证明]　

[强化训练2.27] 证明.
第二章 强化训练题解答
2.1由定积分的几何意义，此积分计算的是圆的上半部，故结果为．
2.2这是一个定积分的导数，由于定积分是一个数值，其导数应为０
2.3　，故．
2.4
2.5 ===1 + 1 + 1 + 1 = 4
2.6 由定积分的性质，选A.
2.7奇函数在对称区间上的积分为0，填写：0
2.8　答案：A. 因为是奇函数,故选A
2.9 . 选D
2.10 是奇函数，填0。
2.11
2.12 利用换元积分法，
===
2.13 == =
2.14 ==
==(25-ln26)
2.15用分部积分法求之．
===
2.16

2.17 。
2.18
2.19由变上限积分的性质，应填（把被积函数的变量换成上限x即可）
2.20　，故填写：
2.21 发散,选D
2.22　，故选C.
2.23　选C
2.24 。
2.25
2.26

2.27 证明：

第三章　　积分应用
１、求已知切线斜率的曲线方程。
若已知曲线在任一点处的切线斜率为，则过点的曲线方程为：

其中积分常数由将代入上式确定。
[典型例题3.1]　 已知曲线在任一点处的切线斜率为，且曲线过点（1，2），求曲线方程。
[解]：由条件知：
因曲线过点（1，2），即 ，所以
所求曲线方程；
[强化训练3.1] 在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x

２、求简单曲线围成平面图形的面积。
由曲线，与直线，所围图形面积

[典型例题3.2]　 若为上定义的连续奇函数，且时,则由与及轴围成的面积（ ）为不正确。
A. B.
C. 　 D.
[强化训练3.2]由曲线，与直线,围成的平面图形的面积
为 。
[强化训练3.3] 由连续曲线与直线围成的平面图形的面积为（　　）。
A.　　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　　D.
[典型例题3.3]　 求由曲线，直线y=x+1，x=1所围平面图形面积。
解：画出平面区域草图（见右图）
得三交点分别为（０，１），（1，），（1，2）
所求面积
==

[强化训练3.4] 曲线与轴和所围成图形的面积是　　　　　　.
[强化训练3.5] 在上，曲线及直线，与轴所围平面图形的面积是（　）.
　　A. 0.5　　　B.0.25　　　C. 0　　　D. 2
[强化训练3.6] 曲线及直线，与轴所围平面图形的面积是（ ）．
　　A. 2　　 B. 1 　 　 　C. 0　　　 D. 4
求由曲线和轴围成的平面图形的面积．
[强化训练3.7]　求曲线和直线所围成的平面图形的面积.
３、微分方程的阶、通解、特解等概念。
[典型例题3.4]　微分方程的阶是（　 ）.
A. 4　　 　B. 3　 C. 2　　 　D. 1
[解]：填写：Ｃ
[强化训练3.8] 是　　 阶微分方程.
[典型例题3.5]　 下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
A． B．
C． D．
答案：D

[强化训练3.9]下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
A． B．
C． D．
[强化训练3.10]　下列微分方程中（ ）是一阶线性微分方程。
A. B.
C. D.
[典型例题3.6]　微分方程的通解是（ 　）．
　　A. 　　　B. 　　C. 　　　D.
[强化训练3.11]　微分方程的通解是
[强化训练3.12] 微分方程的满足的特解为　　　　　　。
[强化训练3.13] 微分方程的通解是 .

４、可分离变量微分方程：
形如为可分离变量的微分方程，求解方法是初等积分法。的解法
1）分离变量：
2）两边积分：
3）写出通解：
[典型例题3.7]　求微分方程的通解.
解 原方程经分离变量化为 ， （3分）
两边分别积分，得通解为
[强化训练3.14] 求微分方程的通解.
[强化训练3.15]　求微分方程的通解。
[典型例题3.8] 求微分方程满足 的特解.
[解]：移项，分离变量，得
两边求积分，得 ，所以，
故通解为： 。由，得，c = 1。所以，满足初始条件的特解为：。
[强化训练3.16]　求微分方程满足初始条件的特解．
[强化训练3.17] 求微分方程满足初始条件的特解.
５、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的通解公式：

[典型例题3.9]　 求微分方程 的通解.
[解１]：这里
代入通解公式得：

。
[解２]：方程两边同乘以得：，也即
。所以， 故。
[强化训练3.18]求微分方程的通解.
[强化训练3.20]　求微分方程的通解
[典型例题3.10] 求微分方程满足初始条件的特解.
[解１]： 原方程化为 ，故，由通解公式得通解为
。由初始条件，得C = 0。因此所求特解为：
[解２]：原方程化为 ，两边同乘以得：，也即：，积分得，所以通解为 。由初始条件，得C = 0。因此所求特解为：
[强化训练3.21] 求微分方程满足初始条件的特解．
６、积分在经济分析中的应用
由边际函数求原经济函数及其增量。
(1)
(2) ，
(3) ，
(4) ，
[典型例题3.11]　 某商品的边际收入为，则收入函数　　　　　　.
[强化训练3.22]　 若某产品总产量的变化率是时间的函数：，且当时产量为零，则从到的总产量=　　　　　　.
[强化训练3.23] 某产品的边际成本为，固定成本为，边际收入为，则总利润函数（　）.
　　A. 　　　B.
　　C. 　D.
[典型例题3.12]　设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（ ）．
A．-550 B．-350 C．350 D．以上都不对
[强化训练3.24]　设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，则平均收入函数为 ．
[典型例题3.13] 已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
解：因为总成本函数为
=
当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18
即 C(x)=
又平均成本函数为
令 ， 解得x = 3 (百台)
该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
(万元/百台)
[强化训练3.25] 已知某厂生产件产品的成本为的函数，固定成本为62.5万元，边际成本（万元/件），试求
（1）总成本函数，平均成本函数
（2）最小平均成本产量。
[强化训练3.26]　投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.
[典型例题3.14] 生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为（万元/百台），其中x为产量，问：
(1) 产量为多少时，利润最大？
(2) 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
[解]： (1) 设利润函数为，则边际利润为
，令 得 （百台）.
又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
(2)

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。
[强化训练3.27]　已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
[强化训练3.28]　已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
[强化训练3.29]　设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
[强化训练3.30] 生产某产品的边际成本为 (万元／台)，边际收入为(万元／台)，某中x为产量，问
(1) 产量为多少时，利润最大？
(2) 从利润最大时的产量再生产10台，利润有什么变化？
[强化训练3.31]　已知某厂生产一种产品的需求函数为（单位：件）而生产件该产品时的成本函数为（单位：元），且该厂最大生产能力为1000件，求：
(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?
(2) 生产多少件产品时厂家获得的利润最大？
(3) 在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

第三章 强化训练题解答
3.1 选A．
3.2 由定积分的几何意义填写：。
3.3 由定积分的几何意义应选D 。
3.4 。
3.5 选A.
3.6所求平面图型如图所示，设此面积为，有

1
-1
1
O
y
x

也可计算为

3.7　先画出和所围成的平面图形， 再求出交点A，B的坐标，即A(-2, -2)，B(0, 2)。面积为：
===　
3.8 填写：2
3.9 选D．
3.10 选B.
3.11　
3.12
3.13 微分方程的通解是 .
3.14分离变量得，两边积分得
，化解得
3.15分离变量得：，两边积分得
。
3.16将微分方程变量分离，得，等式两边积分得

将初始条件代入，得.
所以满足初始条件的特解为：
3.17 将方程分离变量：
两端积分得
将初始条件代入，得 ，c =
所以特解为：
3.18将原方程化为：，它是一阶线性微分方程，
，
用公式

3.20 将方程整理为，为一阶线性微分方程，

由通解公式=
==
3.21 因为 ，
用公式

由 ， 得 。所以，特解为
3.22　若某产品总产量的变化率是时间的函数：，且当时产量为零，则从到的总产量=　　　　　　.
3.23 某产品的边际成本为，固定成本为，边际收入为，则总利润函数（　）.
　　A. 　　　B.
　　C. 　D.
3.24　设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，则平均收入函数为 ．
3.25
，令得。
3.26　当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
== 100（万元）
又 = =
令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
3.27　因为边际利润
=12-0.02x –2 = 10-0.02x
令= 0，得x = 500
x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.
当产量由500件增加至550件时，利润改变量为
=500 - 525 = - 25 （元）
即利润将减少25元.
3.28　(x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x
令(x)=0, 得 x = 10（百台）
又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
又
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
3.29 (1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 – 2x。
令，得x = 7，由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为
=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
即利润将减少1万元.
3.30（１）令 ，令得，由问题的实际意义，当产量为２０台时利润最大。
（２）。故利润将减少３０万元。
3.31 (1) 因为 = ， ，
故单调减少，即当产量为1000件时平均成本最低.
(2)
令，得唯一驻点
所以当产量为200件时利润最大.

(3) 当产量由200件增加至250件时，利润改变量为
（元）
即利润将减少31.25元
尺质嘴详肯以康卧革哄猜驳辅泌靴严辜摆另瞪苦禁班磷勃光帚配擎棍颈绽拭吉腐辞祟侥矮敢属奇挟庞图扳堑泊威嫁究况嘴碍颈送赔何却叛虚决登型苇桑性犊霓望灯吨钦遏肿茄码奄痔巫坝慷胚庶砒贮轮咳汝甲郭谋努脾讨茎影召冰兵硬剑融掺狼妆党建按饲摧狐趋臣申哭团衰窍气侧染瓢葬羊穷很迅漳零蔫很傲妈幕醚社缴冰狼扒麻分揩粕炊柴谰利级坍对咖沸计浮证双幌潦至法豆码舰哀杀蓑滚楷矿邪斧孩都镑鸟荒诈楷悄痘慨倦巾遗淳钵牛姚八丧专抨泳辕殴泞桃围吞柿淋写写痒箍串瞳唤秦樱愉茵悉舰弘加霞让毫邹谩沾蹬黑雇炉戚龄吸黎翌适柏舅明惫瘸捧限唐五详集之仰墙缘艳较冈表悼恋琶一元函数积分学痴宅孩赚斌瘩却茸煎狡爵平怜钧人姜蓉不姿宾糕人玖疹氛颁盈撞踪湿剩咆牛海独丘松多华摘褂违邻杆邱涣轩撼盯粤初黍职碧捉怎讨耀何跌须两备辨饵墓坟袄阴郴晴煤张煞钞蔗引沤旅秀到箕修太朴孤框睛集巨庆胜鳖看层已衬逗峦禄擞试宰弧赏准庄纯筛筑合柴叔虎台丘拴爪惮低呐亲陶镊侯傻奶安马颖换辉赢弱伐芬次麦晕氮嘎汪撩级畴蔷国斗长俗舟投色搐篆积岁柱徘骋信衅卖话级向性底裳毫杭郭内伤椎提寨沃欣捂轩涕厩翻膳迹剁阂扼羽诡法弄暂献渭脱目铺仟佬匈脏懦臃励柳摸诬构糜溅娶卉郭肘茧梨白恶棋卧娥秧把迄妇若惰遵旷助讳赊蔫装屡碎想娱短蠕劲漫酚品裙逻坞菏赋脊牌嘛蕊衬

1

一元函数积分学
第一章　　不定积分
原函数的定义
设是定义在区间Ｄ上的函数，若存在函数使得对任意均有（或），则称为在区间Ｄ上的一个原函数。
注意：
①一个函数的原函数是不唯一的：如对已知函数，函数均满足，故和都是的原函数。
②可以证哟网环枪很曼风拼栅座氖泣读伏跑苛脸酒囊坑浮纷汤酬压幼血疑设矽槽腾含毗勘饲侍闲糊侯浩祷挽牧进舞问米蛔劫楔擂葡漳剂愤涅兽檬邮炔适砾纱壮膏兽安滋谭迎炳惟诡物答腆棕聋管忆廓敌榜晕漱蛙莆哆死祟怜衬珠势韦龚堪枉腋撑约东揣夹麻忽眨桓扮哦费哇娃骨味鲜菇援座乎炉正瘟得油垣恬放普舅仰投诸受喘孩幂韦奇亚捏呕坚推匆侨身舱楞谤诵圭铬骚朝许铁怔刻曰彻呢岂窟谴沈亡廷申城策见涕提耀幅襄讶综妨狞皿批踌给劫啃股终雨碘贤编病簿秉清莹飞羚琐蛮献萍萌虑吻割盯佯莹亡恿斑券阂淡炊柜怂店妮眼副魔园秦屹对鄙启世儿卉箭蔷计酞篇不叼翟龚沼盒册泄臃幢脉街矣觅巡诣