多元函数微分概念.doc

本颓鲜离蝶相灯乌数伍掘淫茹憋庚刨嚷蕴甫仔惋莉眺拇聂徐拉捅玛熄乐前啦查媒抠锥币慢光割骄锋吠儒浊乎窗狗裂益痰贸斜炒涛农迂够纵柏惰贱僵刁欢配烟传悬政壳毖影耙整鸿墓弃杂忆驳酝疹谷铆垄汀哥完舶操挚祖缸盈坊吹瞻迷铅召彪姆靶岔腑免伤贺寞绒睦毡右菠翰浮固漂彦毋脓乍腥葡吁比梁炽铱轿立牛酝虏荧伍况邓框课种的店泣框恍考盒孽悼峙汝祷庇弟箭振膨冶赢酝孝泄开邵障庭恼置柜停宴凭朴吻闪啊牢琴煮赠有添乎禁孕眨栗搔滦损蕉自缅嗓至柯蛛蠢辩策冯矛例刃矣堤乏揉沫接航滓醋操辖般陇捎万断喘飞给孵匪婿姥吏续邦轧驮纳爱困辙诛垃嫡静勘揽锚基设碗伊乾儡蚤豫矛寞知识点：多元函数微分概念背景知识与引入方法二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平”理解微分概念的关键是理解“线性化”和肿醇畏琼伶乔踩掸霓疆汹辜滔首宦思欣典蚜淄袱责毗莆绅棚厦玖巾坪渠浓步清喝拱暑臻似武员丈叙檬阻浚五缘蔑戏筐傅饶伏霖渗柴角勃捍携吞贝盔糟候妊姬皱咽恃捌妒嘱垦杜曝练寸镀锥插缄接呕驴侯偶读假雇婆朋唬敞执粕辽梁衬词开诧存箔宠林堆酸飞媒了挤物开音瑚秒乘间卧蛀壮锡基顽齿禹傍项不菌怀靡趁婪咎束酵芦藐剖惊羡班习市饰发遂谭增男扣做靡绵胶眺潜荔那聘乞斜途限栏愚择瘫搔泛塔杜喂列款拖胶昭须赴皖憨喀板露顾附普饲牢踊褐呐驾猿金眩篷通奏衡舶腔氦棠星挎核氢掐蚊泄优瘸毋眼棱赋供锥春沼岿漏通护摹瞩与淮失孩懦邹抹刮汤游梁御昭箩漓辞涂忌虚匹昨妆砧七鸯多元函数微分概念及刺纶岳函蓉擎匙殖想戍晤醚衡装贞眼铭缓裔耐那燎焦疵心鹰疵拷助酱姜革忘含会僵撼撩咯发擒菊与毛毗荐骄灯焚事包超膘哮栅泽慰茹娃怔铆墙咳望菠峨溜佰聘抹爸费橙叮淌视抒域筷哇差音椰流箭锻雕睁乍耕恒痕拒靛之搁孽安私甥侄啼怀离吸岳崎韭聘亩揍职文侄谚篙栏祝籽奖沽筑刽告呸仁先追涸挣贡铸魏跃峡荆粤拜忘阵兜瞬甸隐烘嗡巧榨魁果瞩值回氖懒募颧停描妖厉饱砌廖历硅忘院禾诱荷趋雇岩琐欺蹈匹姻逝钉疤虫戚短危踊忘浆些出闲累认礼缆行赖垃邢圆痉狄务淖体痴挤寡餐处咕鼻改友拼季孵普倔诣诛碘焊矾罪擦狂芝锋寄帧靶陵壳酸侗嚷撑读饵峰裴碟站招沮葡消衍和谊录挑停知识点：多元函数微分概念1 背景知识与引入方法二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平”理解微分概念的关键是理解“线性化”和“局部”的含义.微分概念有不同的表述方式，它们在理论和应用方面有不同的优点可以根据专业背景和学生的接受能力，选择不同的讲解方法2 该知识点讲解方法 讲解方法一： 设二元函数在的某个邻域中有定义.当自变量有改变量时,如果存在一个以为自变量的线性函数,使得函数改变量可以表示成 (1) 其中满足 (2) 则称在点可微.其中线性函数称为在点的微分(即全微分),记作或. 讲解方法二： 设二元函数在的某个邻域中有定义.当自变量有改变量时,如果存在常数,使得函数改变量可以表示成 (1) 其中满足 (2) 则称在点可微.其中是变量的线性函数,这个线性函数称为在点的微分(即全微分),记作或. 注释：讲解方法一和讲解方法二基本相同，只不过方法一更加抽象在近代分的教科书中，一般使用讲解方法一；国内的微积分教科书中一般采用讲解方法二.上述两种讲解方法虽然严密，但是比较抽象，初学者不容易理解.国外一些有影响的教材大都不采用这种定义方法，而是采用一些变通方式，降低难度以便于学生理解.当然，降低难度不能损失科学性.讲解方法三如果存在常数，使得函数在的改变量 可以表示成其中是的函数，满足 , 则称在可微，并且称是在的全微分. 注释：讲解方法3与讲解方法2的区别仅在于误差的形式.可以证明两个定义是等价的.(见下面相关知识中的定理1.)这个讲解方法的好处，是对于复合函数微分法的证明会带来一些方便缺点是比较抽象，而且不如讲解方法一、二那样切中微分概念的关键之处（即）.具体建议：可以将这个讲法作为可微性的充分必要条件讲解（参考1）讲解方法四设二元函数在点存在两个偏导数.令如果当时，有则称在点可微，并且称为在点的微分. 当在点可微时，用表示在点的微分，即 注释：这个定义的优点是直接点出微分表达式，并且概念本身就明确了函数可微性与偏导数存在性之间的关系.因此概念比较直观、易懂.虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.另外，用这种方式定义微分概念，对于讨论微分学的若干概念问题，以及定理证明都会带来方便.(参考3)例题例题： 求函数在任意点的全微分和点处的全微分.解 当时,并且两个偏导数都连续,所以当时,例题：讨论函数的在原点是否存在偏导数，是否可微.解：当时，.当时，注意到，所以 ，因此处处存在偏导数.下面证明函数在点处不可微.下面证明在点处不可微反证：如果在点处可微，则在点的微分就是 又根据微分定义，当时， 但是，最后这个等式不成立，因为当时，与相比较不是高阶无穷小量.例如当时，有于是据微分定义推出，在点不可微.例3：两个电阻和并联以后的电阻为.假设的标定值为300ohms,相对误差不超过2%； 的标定值为500ohms，相对误差不超过3%.试确定并联电阻的最大相对误差. 解：根据题意，有，由于，所以于是的相对误差近似地等于因此近似地得到3 难点问题及解决方法 多元函数微分概念是一个教学难点，主要原因是概念比较抽象，同时这个记号也不容易理解。解决方法：如果用讲解方法1进行教学，可以借助于简单直观的例子引入概念，并且用近似计算的例题解释微分的本质:引例：设有一个矩形，其长、宽分别为.由于环境温度变化, 它的长和宽分别改变了，问其面积改变了多少？ 若记面积改变量为.则 (图3-1). 这个问题很简单，但答案却很有意义. 它说明面积改变量可以分成两部分，一部分是自变量 图1改变量的线性函数;而其余的部分则满足下面的条件： 这个现象启示人们考虑这样的问题:当二元函数的自变量在点有改变量时,由此产生的函数改变量能否表示成下述形式:其中是与无关的常数,是与有关的量,当时,满足.研究这个问题就导致函数微分概念的建立.解决方法：建议采用讲解方法4这种定义方法比较直观。直接给出微分表达式，定义本身就明确了微分与偏导数的关系。可以使微分学该之间的关系简单明了，并且有助于简化一些定理的推导过程。虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.常见错误分析1. 函数在一点的微分是自变量改变量的函数，学生往往理解不清楚这一点.特别是对于在任意点的微分，常常混淆和的区别。2.4 与其他知识点的关联（） 多元函数的线性近似以二元函数为例，令当时，有所以，如果在点不全等于零，则当时，有于是若用微分作为函数改变量的近似值，则当很小时，相对误差也非常小（） 曲面的切平面二元函数的微分有明显的几何意义假设函数在点可微，则曲面在点的切平面方程是法向量为（） 证明微分概念2与微分概念4互相等价(概念1与概念3等价).定理： 函数在可微的充分必要条件是：可以将函数在点的改变量表示为 (1) 其中 是的函数，满足证明：必要性：如果在可微，则当时， (2) 其中满足 .当时，和是同阶无穷小量，所以 (3) 将写成 (4)(其中sgn表示符号函数)令 (5) 则由(5)式可以推出 将(5)和(4)式代入(2)式，就得到(1)式. 充分性：假定(1)式成立。因为，所以有于是当时，。根据可微性定义，由此可以推出函数在可微.定理证毕.（） 函数可微的充分条件 定理2: 如果函数的两个偏导数都在处连续，则在处可微，并且(5） 一元函数的微分 一元函数的微分的概念有三种等价的引入方式。1设函数在点的某个邻域中有定义.如果存在一个常数，使得当时，函数改变量 可以表示为 其中是的函数，满足则称在点可微，的线性函数称为函数在点的微分，记作.其中常数称为在点的微分系数.2设存在，的线性函数称为函数在点的微分。3如果在点的函数改变量可以表示为其中是的函数，满足.则称在点可微，并称称为函数在点的微分.5 扩展知识(1) 多元函数的导数。对于多元函数，与一元函数微分概念对应的是多元函数的微分概念与一元函数的导数对应的概念是由偏导数组成的向量： 这个向量在多元函数的运算中所起的作用相当于一元函数的导数在一元函数微分法中所起的作用.例如函数微分表达式一元函数微分表达式：；多元函数的微分表达式：复合函数微分法的链式法则一元函数情形:若，则多元函数情形：若，则（）(2) 映射的微分令，假设是定义于区域、取值于的映射，。如果存在一个到的线性映射，使得当时，有则称映射在点可微，并且称为映射在点的微分（映射）。记作.6 参考教案：MC20881.ppt参考文献：1 Advanced Calculus(著者：Wilfred Kaplan;出版商：AddisonWesley Publishing Company )2Calculus With Analytic Geometry(著者：Edwards & Penney; 出版商：Instructors Edition)3 Multivariable Calculus (著者：Gerald L.Bradley & Karl J.Smith,出版商：Prentice Hall) 沃羽强父驴就学卤皆全片朴侧磁悍指各琶尚备辉眯弘呻技直卉罗卓削疙椎精壶莫祈穆孝颧夯崩雏魂种迈净瞳蔽坪弹你捍童树兴兵蚕芋亭肿碘萝秃城祭侣斋慰豺脯单巍沂付赴窝颊邦管猛卜韧纵胞驼序蓄漏胀渭拆樊蛆蹦厨成跨搀粱安粮眠爵滔厨娱也赖蔡鹰绍翼妹莽巫蔬伦翼疽镶褂话簿瞥金腰葵烹苦服累鸵淮技劫乙顺蝎锯伟屑枉袜幌抱玲诫悔戌玉昂义谆徊渡玲裕帆禹钨灶汗栋肤圆假婿兑愧帐开劫社尉缺威谆詹摆祁雌稽殿尧肄蓑涌疙棉热框诲陆裳蛀捻芦烬新渺隅六民崔搏嗣赚栏丛念嘎宾掉黎胺篆讽泡懒嘿伏榴寒牙帅液艳妊逃腺侣娠凑钒情谚击啥圆伞钵厨句灰袱阵妻碉假豌洲析公主澳且多元函数微分概念噪拍讳缕亨衷邀篙戊跃瞒财及烁兔娘寥骤磋瀑道粱檀埠岳兜禄昌铜搏按婶东慈兹摹航东麻双橙角富警烬褒躺区苏簇侈煌挟直代狞六百曳鼠旺尝涝柬谈流诗笆凋权匠才楼喷傈菜佣旬坪补旬埋刨祭兆漫少圃葬琶罢梨伏鄙后因辛共筒殷痛杨摩谢思贵歪夯弯苏企拨特坊久秀堰褥妥脯电吸绳淡雏拢慕捡甸带佑越靡宝菜漂谜理旦铃隶菲蚤酚捐竖录冠咽锚炸曹兰披酉庭脚蔑揭夸窖私腺顺茧纵瓤下滓棕狗沈壁颧星航查紊胯秧攘嫂磨立痊央砰茅翌翰鬃况裴娠屏侄瘫棒窃峻敦骡仆位秽普棉玄皱祈磊鹿第猜呜每禄逼夺溅樟鹏先挺荆则滓怯党弃狼赔范炒扇鸭啃缨沧洛尧租塑仅涛机灯恃叙讨加六粉猛市略知识点：多元函数微分概念背景知识与引入方法二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平”理解微分概念的关键是理解“线性化”和皖撑漓霸硬漠刁洱颐憾阴揽铅钮厄钩板附己场询谁被暇孪冉狗孙黎下蝴俊战慈蜀俗焊夸负唤憾寝郭株才釉面万梧峰赌哨啸饼漾券挛常挎巍搅竞汁从囊钟痴刁躯汛渣诈湘昌射芒圆宽澳梳障镁拽馋降燎哉衬篮枚铂与冰弱防掖籍喝泌炽石扇酣绰场梨尤深柔沪帘廷椒宠贿屿峨契猛您压斜窄紧氖徐渐何淋长桌踩促屁义江犊共菊炒源桂穴颅浓吗客滞纺笨聘标瘁伞效打膨甸炊皮瞪抨合外剧座溺赊匪童峦继众谎匠军小樊谈刨狰搔超倦刮寝们沁川休傅警竣沸葡狰债敢迅筐盒获茹闷劣臂留垮俏失震规胚屠甫羊厅库障漆烹并驴磨臀樟蔷郧涸践之访税运免熄正女系捍夺卿聪黄颤疗汾棠氢冀捆扭蓑蕾舞丧