多元函数的基本概念.doc

多元函数的基本概念 一、平面点集n维空间 1平面点集 由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P与有序二元实数组(x, y)之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x, y)与平面上的点P视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 二元的序实数组(x, y)的全体, 即R2=RR=(x, y)|x, yR就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集, 记作 E=(x, y)| (x, y)具有性质P. 例如, 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C=(x, y)| x2+y2r2. 如果我们以点P表示(x, y), 以|OP|表示点P到原点O的距离, 那么集合C可表成 C=P| |OP|0为半径的圆的内部的点P (x, y)的全体. 点P0的去心d邻域, 记作, 即 . 注: 如果不需要强调邻域的半径d, 则用U (P0)表示点P0的某个邻域, 点P0的去心邻域记作. 点与点集之间的关系: 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)E, 则称P为E的内点; (2)外点: 如果存在点P的某个邻域U(P), 使得U(P)E=, 则称P为E的外点; (3)边界点: 如果点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称P点为E的边点. E的边界点的全体, 称为E的边界, 记作E. E的内点必属于E; E的外点必定不属于E; 而E的边界点可能属于E, 也可能不属于E . 聚点: 如果对于任意给定的d0, 点P的去心邻域内总有E中的点, 则称P是E的聚点. 由聚点的定义可知, 点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E . 例如, 设平面点集 E=(x, y)|1x2+y22. 满足1x2+y22的一切点(x, y)都是E的内点; 满足x2+y2=1的一切点(x, y)都是E的边界点, 它们都不属于E; 满足x2+y2=2的一切点(x, y)也是E的边界点, 它们都属于E; 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点. 开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E为开集. 闭集: 如果点集的余集E c为开集, 则称E为闭集. 开集的例子: E=(x, y)|1x2+y22. 闭集的例子: E=(x, y)|1x2+y22. 集合(x, y)|1x2+y22既非开集, 也非闭集. 连通性: 如果点集E内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E, 则称E为连通集. 区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E=(x, y)|1x2+y21是无界开区域; 集合(x, y)| x+y1是无界闭区域. 2. n维空间 设n为取定的一个自然数, 我们用Rn表示n元有序数组(x1, x2, , xn)的全体所构成的集合, 即 Rn=RR R=(x1, x2, , xn)| xiR, i=1, 2, , n. Rn中的元素(x1, x2, , xn)有时也用单个字母x来表示, 即x=(x1, x2, , xn). 当所有的xi (i=1, 2, , n)都为零时, 称这样的元素为Rn中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而Rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量, xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量. 特别地, Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量. 为了在集合Rn中的元素之间建立联系, 在Rn中定义线性运算如下: 设x=(x1, x2, , xn), y=(y1, y2, , yn)为Rn中任意两个元素, lR, 规定 x+y=(x1+ y1, x2+ y2, , xn+ yn), lx=(lx1, lx2, , lxn). 这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间. Rn中点x=(x1, x2, , xn)和点 y=(y1, y2, , yn)间的距离, 记作r(x, y), 规定 . 显然, n=1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. Rn中元素x=(x1, x2, , xn)与零元0之间的距离r(x, 0)记作|x|(在R1、R2、R3中, 通常将|x|记作|x|), 即 . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得 . 在n维空间Rn中定义了距离以后, 就可以定义Rn中变元的极限: 设x=(x1, x2, , xn), a=(a1, a2, , an)Rn. 如果 |x-a|0, 则称变元x在Rn中趋于固定元a, 记作xa . 显然, xa x1a1, x2a2, , xnan . 在Rn中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n(n3)维空间中来, 例如, 设a=(a1, a2, , an)Rn, d是某一正数, 则n维空间内的点集 U(a, d)=x| x Rn, r(x, a)0, h0内取定一对值(r , h)时, V对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 ,其中R为常数. 这里, 当V、T在集合(V ,T) | V0, T0内取定一对值(V, T)时, p的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 .这里, 当R1、R2在集合( R1, R2) | R10, R20内取定一对值( R1 , R2)时, R的对应值就随之确定. 定义1 设D是R2的一个非空子集, 称映射f : DR为定义在D上的二元函数, 通常记为z=f(x, y), (x, y)D (或z=f(P), PD)，其中点集D称为该函数的定义域, x, y称为自变量, z称为因变量. 上述定义中, 与自变量x、y的一对值(x, y)相对应的因变量z的值, 也称为f在点(x, y)处的函数值, 记作f(x, y), 即z=f(x, y). 值域: f(D)=z| z=f(x, y), (x, y)D. 函数的其它符号: z=z(x, y), z=g(x, y)等. 类似地可定义三元函数u=f(x, y, z), (x, y, z)D以及三元以上的函数. 一般地, 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D, 映射f : DR就称为定义在D上的n元函数, 通常记为 u=f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)D, 或简记为 u=f(x), x=(x1, x2, , xn)D, 也可记为 u=f(P), P(x1, x2, , xn)D . 关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时, 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如, 函数z=ln(x+y)的定义域为(x, y)|x+y0(无界开区域); 函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为(x, y)|x2+y21(有界闭区域). 二元函数的图形: 点集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)D称为二元函数z=f(x, y)的图形, 二元函数的图形是一张曲面. 例如 z=ax+by+c是一张平面, 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面. 三. 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似, 如果在P(x, y)P0(x0, y0)的过程中, 对应的函数值f(x, y)无限接近于一个确定的常数A, 则称A是函数f(x, y)当(x, y)(x0, y0)时的极限. 定义2 设二元函数f(P)=f(x, y)的定义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e总存在正数d, 使得当时, 都有 |f(P)-A|=|f(x, y)-A|0, 取, 则当 , 即时, 总有|f(x, y)-0|0, 由于sin x在x0处连续, 故$d0, 当|x-x0|d时, 有 |sin x-sin x0|e. 以上述d作P0的d邻域U(P0, d), 则当P(x, y)U(P0, d)时, 显然 |f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|0, 使得对一切PD, 有|f(P)|M; 且存在P1、P 2D, 使得 f(P1)=maxf(P)|PD, f(P2)=minf(P)|PD, 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值. 6