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知识点：多元函数微分概念
1． 背景知识与引入方法
二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面．微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平”　．理解微分概念的关键是理解“线性化”和“局部”的含义.
微分概念有不同的表述方式，它们在理论和应用方面有不同的优点．可以根据专业背景和学生的接受能力，选择不同的讲解方法．
2． 该知识点讲解方法
讲解方法一：
设二元函数在的某个邻域中有定义.当自变量有改变量时,如果存在一个以为自变量的线性函数,使得函数改变量

可以表示成
(1)
其中满足
(2)
则称在点可微.其中线性函数称为在点的微分(即全微分),记作或.

讲解方法二：
设二元函数在的某个邻域中有定义.当自变量有改变量时,如果存在常数,使得函数改变量

可以表示成
(1)
其中满足
(2)
则称在点可微.其中

是变量的线性函数,这个线性函数称为在点的微分(即全微分),记作或.
注释：讲解方法一和讲解方法二基本相同，只不过方法一更加抽象．在近代分的教科书中，一般使用讲解方法一；国内的微积分教科书中一般采用讲解方法二.上述两种讲解方法虽然严密，但是比较抽象，初学者不容易理解.国外一些有影响的教材大都不采用这种定义方法，而是采用一些变通方式，降低难度以便于学生理解.当然，降低难度不能损失科学性.
　讲解方法三
如果存在常数，使得函数在的改变量 可以表示成

其中是的函数，满足
,
则称在可微，并且称是在的全微分.
　注释：讲解方法3与讲解方法2的区别仅在于误差的形式.可以证明两个定义是等价的.(见下面相关知识中的定理1.)这个讲解方法的好处，是对于复合函数微分法的证明会带来一些方便．缺点是比较抽象，而且不如讲解方法一、二那样切中微分概念的关键之处（即）.
　具体建议：可以将这个讲法作为可微性的充分必要条件讲解．
（参考[1]）
　讲解方法四
设二元函数在点存在两个偏导数.令

如果当时，有

则称在点可微，并且称

为在点的微分.
当在点可微时，用表示在点的微分，即

注释：
这个定义的优点是直接点出微分表达式，并且概念本身就明确了函数可微性与偏导数存在性之间的关系.因此概念比较直观、易懂.虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.
另外，用这种方式定义微分概念，对于讨论微分学的若干概念问题，以及定理证明都会带来方便.
(参考[3])
例题
例题１： 求函数在任意点的全微分和点处的全微分.
解 当时,,,并且两个偏导数都连续,所以

当时,

例题２：讨论函数

的在原点是否存在偏导数，是否可微.
解：当时，
.
.
当时，注意到，所以
，
因此处处存在偏导数.
下面证明函数在点处不可微.
下面证明在点处不可微．
　　反证：如果在点处可微，则在点的微分就是

又根据微分定义，当时，

但是，最后这个等式不成立，因为当时，与相比较不是高阶无穷小量.例如当时，有

于是据微分定义推出，在点不可微.
　　例3：两个电阻和并联以后的电阻为.假设的标定值为300ohms,相对误差不超过2%； 的标定值为500ohms，相对误差不超过3%.试确定并联电阻的最大相对误差.
解：根据题意，有
，
由于
，

所以

于是的相对误差近似地等于

因此近似地得到

3． 难点问题及解决方法
多元函数微分概念是一个教学难点，主要原因是概念比较抽象，同时这个记号也不容易理解。
　　解决方法１：如果用讲解方法1进行教学，可以借助于简单直观的例子引入概念，并且用近似计算的例题解释微分的本质:
引例：设有一个矩形，其长、宽
分别为.由于环境温度变化,
它的长和宽分别改变了，
问其面积改变了多少？
若记面积改变量为.则
(图3-1).
这个问题很简单，但答案却很有意义.

它说明面积改变量可以分成两部分，一部分是自变量 图1
改变量的线性函数;而其余的部分则满足下面的条件：

这个现象启示人们考虑这样的问题:当二元函数的自变量在点有改变量时,由此产生的函数改变量能否表示成下述形式:

其中是与无关的常数,是与有关的量,当时,满足
.研究这个问题就导致函数微分概念的建立.
解决方法２：建议采用讲解方法4．这种定义方法比较直观。直接给出微分表达式，定义本身就明确了微分与偏导数的关系。可以使微分学该之间的关系简单明了，并且有助于简化一些定理的推导过程。虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.
常见错误分析
1. 函数在一点的微分是自变量改变量的函数，学生往往理解不清楚这一点.特别是对于在任意点的微分，常常混淆和的区别。
2.
4． 与其他知识点的关联
（１） 多元函数的线性近似．
以二元函数为例，令

当时，有

所以，如果在点不全等于零，则当时，有

于是若用微分作为函数改变量
的近似值，则当很小时，相对误差也非常小．
（２） 曲面的切平面
　二元函数的微分有明显的几何意义．假设函数在点可微，则曲面在点的切平面方程是

法向量为．
（３） 证明微分概念2与微分概念4互相等价(概念1与概念3等价).
　定理１： 函数在可微的充分必要条件是：可以将函数在点的改变量表示为

(1)
其中 是的函数，满足

证明：
必要性：如果在可微，则当时，

(2)
其中满足 .
当时，和是同阶无穷小量，所以
(3)
将写成
(4)
(其中sgn表示符号函数)
令
(5)
则由(5)式可以推出

将(5)和(4)式代入(2)式，就得到(1)式.
充分性：假定(1)式成立。因为
，
所以有

于是当时，。根据可微性定义，由此可以推出函数在可微.定理证毕.

（４） 函数可微的充分条件
定理2: 如果函数的两个偏导数都在处连续，则在处可微，并且

(5） 一元函数的微分
一元函数的微分的概念有三种等价的引入方式。
1．设函数在点的某个邻域中有定义.如果存在一个常数，使得当时，函数改变量 可以表示为

其中是的函数，满足

则称在点可微，的线性函数称为函数在点的微分，记作.其中常数称为在点的微分系数.
2．设存在，的线性函数称为函数在点的微分。
3．如果在点的函数改变量可以表示为

其中是的函数，满足.则称在点可微，并称称为函数在点的微分.

5． 扩展知识
(1) 多元函数的导数。
对于多元函数，与一元函数微分概念对应的是多元函数的微分概念
与一元函数的导数对应的概念是由偏导数组成的向量：

这个向量在多元函数的运算中所起的作用相当于一元函数的导数在一元函数微分法中所起的作用..
例如
①函数微分表达式
一元函数微分表达式：；
多元函数的微分表达式：
②复合函数微分法的链式法则
一元函数情形:若，则
多元函数情形：
若，，则
（）
(2) 映射的微分
令，，．假设是定义于区域、取值于的映射，。如果存在一个到的线性映射，使得当时，有

则称映射在点可微，并且称为映射在点的微分（映射）。记作.
6． 参考教案：MC20881.ppt
参考文献：
[1] Advanced Calculus(著者：Wilfred Kaplan;出版商：Addison—Wesley Publishing Company )

[2]Calculus With Analytic Geometry(著者：Edwards & Penney; 出版商：Instructor’s Edition)

[3] Multivariable Calculus (著者：Gerald L.Bradley & Karl J.Smith,出版商：Prentice Hall)