2023年数学必修一集合与函数概念知识点梳理.docx

高中数学 必修1知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表达
（1）集合的概念
集合中的元素具有拟定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
表达自然数集，或表达正整数集，表达整数集，表达有理数集，表达实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.
（4）集合的表达法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表达集合.
③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表达集合.
（5）集合的分类
①具有有限个元素的集合叫做有限集.②具有无限个元素的集合叫做无限集.③不具有任何元素的集合叫做空集().
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集

（或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且，则
(4)若且，则
或
真子集
AB
（或BA）
，且B中至少有一元素不属于A
（1）（A为非空子集）
(2)若且，则

集合
相等

A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA

（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集

且
（1）
（2）
（3）

并集

或
（1）
（2）
（3）

补集

1 2

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式
解集

或

把当作一个整体，化成，型不等式来求解
（2）一元二次不等式的解法
判别式

二次函数的图象

一元二次方程的根
（其中

无实根
的解集
或

的解集

〖1.2〗函数及其表达
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
①设、是两个非空的数集，假如按照某种相应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一拟定的数和它相应，那么这样的相应（涉及集合，以及到的相应法则）叫做集合到的一个函数，记作．
②函数的三要素:定义域、值域和相应法则．
③只有定义域相同，且相应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表达法
①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．
注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①是整式时，定义域是全体实数．
②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤中，．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般环节是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题拟定的函数，其定义域除使函数故意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，假如在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观测法：对于比较简朴的函数，我们可以通过观测直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成具有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围拟定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数可以化成一个系数具有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而拟定函数的值域或最值．
④不等式法：运用基本不等式拟定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达成化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：运用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系拟定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：运用函数图象或几何方法拟定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表达法
（5）函数的表达方法
表达函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表达两个变量之间的相应关系．列表法：就是列出表格来表达两个变量之间的相应关系．图象法：就是用图象表达两个变量之间的相应关系．
（6）映射的概念
①设、是两个集合，假如按照某种相应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它相应，那么这样的相应（涉及集合，以及到的相应法则）叫做集合到的映射，记作．
②给定一个集合到集合的映射，且．假如元素和元素相应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及鉴定方法
函数的
性 质
定义
图象
鉴定方法
函数的
单调性
假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．

（1）运用定义
（2）运用已知函数的单调性
（3）运用函数图象（在某个区间图
象上升为增）
（4）运用复合函数
假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．

（1）运用定义
（2）运用已知函数的单调性
（3）运用函数图象（在某个区间图
象下降为减）
（4）运用复合函数
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．
y
x
o
（2）打“√”函数的图象与性质
分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满足：（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．
②一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及鉴定方法
函数的
性 质
定义
图象
鉴定方法
函数的
奇偶性
假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．

（1）运用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）运用图象（图象关于原点对称）
假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．

（1）运用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）运用图象（图象关于y轴对称）
②若函数为奇函数，且在处有定义，则．
③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
运用描点法作图：
①拟定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
运用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．
①平移变换

②伸缩变换

③对称变换

（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．