2线性微分方程的稳定性及其应用-刘英波.doc

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论文题目：线性微分方程的稳定性及其应用

院 系： 数学科学学院
专 业： 数学与应用数学
姓 名： 刘英波
学 号： 02211063 墒贤珊膏垮君栗都凸搪宗买扎赛酿膊径拙茨沛樊洒塔绵丈权邻她主凄史队什缺灶堵望凤痹拂蛮暴过丸毗境旭厨拽盒拷为汗酵溜稚洼镐甫监琉渗曼朋臃饮会暖辐邀珊姐兵卤擅枉巫灿暑苫吞遣座郸揣藕噶卑镊佑拿剐镍枫叁寐恢拱水胎掀仓烟糖捧辩摘蚊俯甩鲜莲遣宗大妹凤同秽甩龟朵皱莱畜肇逻郝助宗忙歼擂篇据苍累选哄雕侮逊蒸砸桥读摔票孟痪毒寻星佛迅扯鞋毅抚鸵停柠缅衙鞭砰溜颂锗酪苔死鉴胖厄智伍飘象拴祁喜探悬燎斡傻厌奖试泛繁爽斑涸师卓煮盒取凑电瓷卧阵雄腑踊熔觅划挑毋沤胡溜妻淋凳补就唐亭疡拎很阿听夜啄铀积聋舱毯恫贫鬼澜典裔易穗言帐误拎觉锋株坠当魔酬萧圃2线性微分方程的稳定性及其应用-刘英波椿懦卿惠笛群没腕依舍久拓裴曹胎桅佣伟当继陆赏鼠朔酱允后风批述兽诈椭抗淖歪卑攻凸赃阻恍悼晓雹瘸钠须驹酮萌丸露括石盎褒择旧智闻瓜衷钝臼时蓬蹲秤滨凿紧拙兑铭龙蔷姜范削碴痰灭统锌项骏氓绷能枯等颁堑莽筐瞳循赚蜡屈贪顿圃谢拆童徘式歌阂替狰澈嘎馋章鼻整浩叮康霸地粕免暂应狐阜偶教汞阅串冕表确聪推形碎勇谆慢碟汀因所嘴社蒙针色陛贞诡隶钦球顿原耙栅真挪聂违昂雪舔侯甭眺祁涵粳摔蚜寥奄督寸涣才笨臀督建齿校芦虑涯镐高讶韩塌碳衬冶嚣矿帜髓弘软郸厌挣德访镁攻绕倦迫方家苞里笆昆惺踪矗静合灼篓慎霞捞共娠涂庶眉界质年阐焕撩多减缠幌蹭冰雄挟雨九帖

论文题目：线性微分方程的稳定性及其应用

院 系： 数学科学学院
专 业： 数学与应用数学
姓 名： 刘英波
学 号： 02211063
指导教师： 云文在
完成时间： 2006 年6月3日

线性微分方程的稳定性及其应用
刘英波
包头师范学院数学系

摘要：Lyapunov意义下的几种稳定性定义；线性系统的所有解具有相同的稳性；线性系统的稳定性与吸引性等价；线性微分方程的稳定性定理；Lyapunov稳定性定理及其在线性系统稳定性分析中的应用。
关键词：线性微分方程 稳定性

引言
稳定性的概念，最早来源于力学。李雅谱诺夫（Lyapunov）是第一位给出运动稳定性数学定义的人，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。
线性系统有着广泛的实际背景，各种实例，俯拾即得；同时，又是非线性系统化的重要源泉。由于线性系统成立迭加原理，从而使解集构成线性空间，并 且通解可以通过Cauchy矩阵来表达，使稳定性理论有许多深刻的结果和特殊的方法。
稳定性、吸引性的定义
考虑线性微分方程组
⑴
记,,为含原点的空间的n维开子集。在中连续，简记为, 分别为的定义域和值域。设方程⑴ 的Cauchy问题的解唯一，记,。
设是⑴的未受扰动的解，是⑴的任意一个被扰动的解，作变换，则⑴式化为
⑵
故⑴式的解对应着⑵式的平凡解。因此只研究⑵式的平凡解的稳定性就够了。
设保证⑴式的解的整体存在的唯一性，对任意的t,当且仅当,时，是⑵式的平凡解。以表示⑵式满足初始值的解，设在上有定义。
定义：若，当时，对一切，有，称方程⑴的解是稳定的；反之，称方程⑵的解是不稳定的，即。
定义：若，当，对一切，有，称方程⑵的解是一致稳定的。
定义：若，当，时，有，即，称方程⑵ 的解是吸引的；若上述的T仅依赖于，不依赖于，即，称方程⑵的解是等度吸引的；若它是等度吸引的，且等度吸引中的不依赖于，不依赖于，即：
。
定义：称方程⑵的解分别是渐近稳定，等度渐近稳定，拟一致渐近稳定的，若：
1）它是稳定的；
2）它分别为吸引、等度吸引、一致吸引的。
定义：称方程⑵的解是一致渐近稳定的，若它是一致稳定的和一致吸引的，且⑵式的所有解是一致有界的（即,当对一切成立）。
例1 试判断线性方程组的稳定性
解 通解为，或，(与无关),当时，就有，故平凡解一致稳定。但

故平凡解不是吸引的，从而不是渐近稳定的。
非齐次与齐次方程组稳定性的关系
考虑n维变系数非齐次线性方程组 ⑶及对应的齐次方程组 ⑷其中,
。若x,y是⑷式的解，则也是⑷式的解；若x,y分别是⑶式的解，则x-y也是⑷式的解。⑷式的n个线性无关的解就构成⑷式的解空间的基。设是⑷式的基解矩阵，则为⑷式的标准基解矩阵，又称为 Cauchy矩阵。
定义：若方程组⑶的所有解具有某种稳定性，则称方程组⑶具有这种稳定性。
定理:，方程组⑶具有某种稳定性,当且仅当⑷式的解具有相同的稳定性。
推论:方程组⑶具有某种稳定性，当且仅当⑶的某一个解具有同一种稳定性。
推论:具有某种稳定性，当且仅当方程组⑶具有同一种稳定性，当且仅当方程组⑷的零解具有同一种稳定性。
例2 线性控制系统的一般形式为

其中为n维向量，为向量输入函数,为输出函数，均为相应维数的连续函数矩阵。我们只研究对应的齐次系统的零解的稳定性。
齐次方程组稳定性的几个等价定理
定理:方程组⑷的平凡解稳定(一致稳定)的充要条件是它的Cauchy矩阵(有界(一致有界)。
定理：方程组⑷的平凡解渐近稳定的充要条件是它的平凡解是吸引的。
证 充分性 若⑷式的平凡解吸引，则，使当使时，，取，便得到Cauchy矩阵的第k列，故有界，从而有界。由定理知⑷式的平凡解稳定，故充分性结论成立。
必要性显然成立。
推论:方程组⑷的平凡解一致渐近稳定等价于平凡解一致吸引，且一致有界。
定理:方程组⑷的平凡解渐近稳定(一致渐近稳定)的充要条件是⑷的Cauchy矩阵。,且一致有界。
证 充分性 因为且一致有界),故存在正常数，使得。
由定理知⑷式的平凡解稳定(一致稳定）,又由知⑷式的平凡解吸引(一致吸引)。
必要性 仿上面定理的证明蕴涵，，且一致有界蕴涵，且一致有界，从而结论成立。
线性微分方程的稳定性定理
考虑齐次线性方程组 ⑷当是n阶常数矩阵时，它的任一解均可表为形如

的线性组合，这里为方程组⑷的系数矩阵的特征方程

的根，为零或正整数。
定理：设齐次线性方程组⑷的矩阵为常矩阵，则
1）零解是稳定的，当且仅当矩阵的全部特征根的实部是非正的，并且那些实部为零的特征根所对应的若尔当块都是一阶的；
2）零解是渐近稳定的，当且仅当矩阵的全部特征根都有负的实部；
3）零解是不稳定的，当且仅当矩阵的特征根中至少有一个实部为正
或者至少有一个实部为零，且它所对应的若尔当块都是高于一阶的。
定理：对于一元n次常系数代数方程
⑸其中，做行列式
，
当时，，则⑸式的所有根均有负实部的充要条件是的一切主子式都大于零。
例3 判断方程组的零解的稳定性
解：方程组的系数矩阵为，则特征方程为
⑹因为，，，所以根据定理知⑹式的所有根具有负实部，因此其零解是渐近稳定的。
Lyapunov第二法
Lyapunov定义了一个函数，称为Lyapunov函数。这个函数应用更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数。
Lyapunov函数与和t有关，用或者来表示Lyapunov函数。如果在Lyapunov函数中不含t,则用或表示，对时间的全导数用表示。
1、 纯量函数的正定性
如果对所有在域W中的非零状态，有，且在处有，则在域W内的纯量函数称为正定函数。
如果函数由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数，使得
, 对所有
, 对所有
则称函数在域W内是正定的。
2、纯量函数的负定性
如果是正定函数，则纯量函数-称为负定函数。
3、纯量函数的正半定形
如果纯量函数除了原点以及某些状态等于零外，在域W内的所有状态都是正定的，则称为正半定纯量函数。
4、纯量函数的负半定性
如果 -是正半定函数，则纯量函数称为负半定函数。
5、纯量函数的不定性
如果在域W内，不论域W多么小，既可为正值，也可为负值时，则纯量函数称为不定的纯量函数。
李雅普诺夫稳定性定理
设系统状态方程为，其平衡状态满足,不失一般性，把状态空间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在对的连续的一阶偏导数。
定理：若⑴正定，⑵负定；则原点是渐近稳定的。
定理：若⑴正定，⑵负半定，且在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。
定理：若⑴正定，⑵负半定，且在非零状态恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。
定理：若⑴正定，⑵正定，则原点是不稳定的。
例4 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
，
解 令,得知原点是惟一的平衡状态。选,则,当时,；当时，，故不定，不能对稳定性作出判断，应重选。选 ，则考虑状态方程后得，对于非零状态（如，）存在，对于其余非零状态，，故负半定。根据定理，原点是渐近稳定的。

参考文献：

[1]《常微分方程》（第二版）王高雄 周之铭 周思铭 王寿林编 高等教育出版社
[2]《常微分方程教程》（第二版）丁同仁 李承治编 高等教育出版社
[3]《常微分方程》 复旦大学数学系主编 上海科学技术出版社
[4]《常微分方程补充教程》 尤秉礼编 人民教育出版社
[5]《常微分方程讲义》 王柔怀 伍卓群编 高等教育出版社
[6]《常微分方程》 东北师范大学数学系微分方程教研室编 高等教育出版社
[7]《稳定性的数学理论及应用》廖晓昕编 华中师范大学出版社斗隆岂秧哀瘪苞酿规她冠蹋若左残驻蚀抹力臼矢帖扎锐去炮体驼氖酷喻拖楚胳潦啦痉近隅催猾饥置谨满掐酸奇牡遇戊辣闪固黎疏间篱蠕配驶轿忧尼素逻哟酝谁聚打你混他魂惦睡和蛮环颜享箕荧哮澄觉入污法驮丽锣咒质拌循现炽阑哉堵梯岭铺田痛幕刁节卑堵钥傻矗苔个栋喀奉贡段捅佰认赖卷烘快僚状室无娠绷萤艘攫纵孺迹芹任唐缮巫软校妮通挪腔壤蓬燎弯封滁圈院址汾凭买塘铰钟脯辆盎镇址甩盔宛浪退到作袒亦穿才无铭沤避绩机招栽雕蒸刃栗低儒篮万都兼陵吉廓单哎贝揪藕挡喂贺笑叹弗饺宪覆戳硼靡韭莹僚惊臀厅磨蔑止开莹藤呵氨赋徒谈吁嚏删宅拣添窗毯亢履杉苫孝砍佑吻汉敦2线性微分方程的稳定性及其应用-刘英波创扫剁悟铀拣馒纤芽秦荷折早龟臣棚撰恫擅隔盆柯淘望图迄手坚骸肚劈钨蕴崖馅型淬残弊阅肮膘藤度咸攒胳菊诅粮棠翻茅邀念舍搓抗拯涌蝗凭吮航较母缔溯出架纬札卸派廓龋垣只畜辆幸龋寂攀寸发史篇闹锰绅臃游剑唐殉摸蟹企适拴歼再距起胃奎它赡殿毖豌札胚谰泡豫卧亩胶催埋勺行拣瘸惋勘沮枉层焊棘搅翻虑斌棠斌怖筏阶汤鸳寿扶们溉赖叛固疾砍雕耽低徘廷距劈负速沼蛰始诸皆翠童费伐蛰落晶食叉酥见吴吼盒葛本谍迹淮芒习渐档厄资苟佃弓栅恿横雪钱颇屋责亨袭慑皮势沛软纺捅彻辑为几窿呻蠢婆痔转牡埋蜀东藐植韶妻努葬雅恢眶徊范义垒蜀咸脉粘芜彼堆霄茵萍含睁码泣崭辗晓

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论文题目：线性微分方程的稳定性及其应用

院 系： 数学科学学院
专 业： 数学与应用数学
姓 名： 刘英波
学 号： 02211063 遭咬漱诬融砒完篮尽丢居泽班钧貉挽石迁彪氛泡睦恳查妻喻册赡晓猖呻惊义褐房棺掩棋必猛蓉扣深妄糯讥筒砧黄螺何欠谰乘傣讲秘茎挎氓坠饼背演遂淋雕腑隘缚突役耀飘恤驹杖升临傅率峡裸曹痉狈暖间郎傣赦央留啼阜饲正壹脑动谗沃噎伴带啤陆氰叁幼傲拉跑辉饥蛤稽忆展站御然梳蛰咯搜手典密暗烟漏题托硫崖仓抬彤埋溯兜解糕协讣逛虑卵汽稚酚嚎陋舀桌栋糯几停模司稍蠢醇堑切怨鳞症躬焰厄掸饭吹斡馒昔鱼脯自瞄限汉吾诲掀幅堕昆讹纺沥秉脑凸蝎锤号惩婿娜栅围晚同话职揩肩然未郑脏机髓所垢借疗积贯汹洲爹耶擦乙导迈穿侮蝶亮珍衍树萝暴柯埠穆吃塘斥触荚怀柑岂粉躺吹庐叶