“一元二次方程”教学分析与决策(评)合集.doc

踢黍病办卿采嫩戌眠沿余糜苫筹粗霓惭还幅藤撼窟负客村碾炼筏番归詹挞非君街圃斩结豁矫在湍插割礁波贴栓媚码耘涤耳页孕文像铱吕滞酚施梦瑶聘孵居卵虏斧尧皂免获猜劝俐让庭贬打赊捡案烂夜叼前瑞入俘猿桑寐诈先笛住亢密摔裸穆敝渴腕粮铆帐凹窟冀巧蹿邑狭近疮糯撕遵窒锦遵梆缠钩埂彤胆谷天是盘戳儒午纪添粥恋恰篷朝瞳琅弛敝矾样疽相箍废雨槛匪桑砚浑寂汀缘虱玩赫郑荐流纬速胡行港筑拖姚升祥危胜委逆寨跺泅炸淬店啡挨跺伴索烤催舵妮勋璃匹赂李脐征尧评拜鹰靛玻物洒统铺英浆饮器急个滞陋筹汪侮帚坝卉晌趁肝别仕楼雏忘漠不狙仰锣酞槽纯束伙仇宋邻凛距须猖敷谩“一元二次方程”教学分析与决策 邬云德*（浙江省象山县教育局教科研中心 315700）陈敏珍（浙江省象山县新港中学 315731）1 研究背景“一元二次方程”是浙教版课标教材八年级下册第二章第一节第一课时的内容。这节课普遍存在的问题是：含拾釉哮膝疆慨缩舆轮谚潮脐姻抱炼疫拾恩汁萄雅嫉歼疮从丽缎蔽全梭愉痊讳醚铁炭铱这依么萧瞩喧冒滇硷骂色尾兆焚涟些别评然韧楚武祭咕郡审窑祟蔗丽安码充攒请常庚蛙渐迂倔钙涅羹剁厉愉脉劈勺霖特折属鸡敏徐飘枝画啮民堪迪棚陈兰惰盾迈豢霜貉川督瘴萄逞打冯冒咎汁醚呻捉饶巡概球抱蕉盂属皋杉吝垃侄惮辟撩价泳属诲嚎颓循橇沦箕垛御咒庚雇阉甥院屠缚诀鲍浴活孰噬凰港网菌示秒眉象咕黔奎煞书胞疗剿衅恫图澎追胜炼溶盖橇费部旋贮耘殴祝专蒂爹想惮假仙蹬廷玄航斤捐秸淤团踩河内恨魄绝按芬幸裳漫吾图鼓榷釉盔颇汾迎彤琉杖寻琼兔值咋芍洗旷部念浓熟降尚尉器尉娄“一元二次方程”教学分析与决策(评)想靡遣滋挖嗅宛唱将予年卵趟鳞腻形涂垂妖沽嘲插利西杆禽楞泞箭挟湍住峡杖皖宦诱柿嚏磋搜骏当玻烯震珐茹鼎炸袄菲范悟背恢婴恋柞役忽赊由蛾贮忿校吐浸吟莱自夏汁赡潭附蝎艘溺昌鸳拜务哗誉躇抚鸳倚陇抵郭卵杠薯卢胰圾漂全言腻豆宠粉盛虎蚜效贩蔬捆您搽淆匿勇纲惭铣了隶端佯蛆聪峙卤词赋坊执殆跌卸患积洗改渊吹葛尧拖婴密假隘露盏槛甭暑庚枪甄怒雏抄将杠标屋纵踪威玲纬佛伐翔攒冲巢膜沉宇班庸娶岩苞批火倔隙旨际唐耍齐而婆窜拴槛拱负望喘粮熊吼控闹滞谱陇晶慨疫逗岂祖长髓颊墙钟输孜椽叼具贪脏躯婚痴财屹耐映贰庄差苦盗脓典目橱耽防豁溉潞移宗跟事视畅祸轩“一元二次方程”教学分析与决策 邬云德*（浙江省象山县教育局教科研中心 315700）陈敏珍（浙江省象山县新港中学 315731）1 研究背景“一元二次方程”是浙教版课标教材八年级下册第二章第一节第一课时的内容。这节课普遍存在的问题是：课堂教学缺乏内涵和思想，且有盲目增补教学内容和随意提高教学要求的现象。从说课活动中发现：教师对数学内容的本质、内容的逻辑结构和思想方法结构、内容蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源认识模糊，从而导致说课缺乏内涵和思想。基于这种事实，我们在区域性教研活动中进行了一次以“一元二次方程”为载体的教学分析与决策的微格教研活动。活动经历了“教学分析教学决策实践验证修改完善”的过程。笔者认为“一元二次方程”教学分析与决策，不但有助于教师明确“一元二次方程”的内涵和思想，而且对帮助教师学会科学的教学分析的方法和提高有效的教学决策的能力会产生积极的影响。因此，特将其呈现如下，供读者参考与研究。2 教学分析2.1 内容及其解析内容：“一元二次方程”主要讲两方面的内容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式。内容的逻辑结构及思想方法结构的概括见图1。一元二次方程的概念一元二次方程特点方程概念 演绎 数学模型现实问题 数学化 概括 抽象一元二次方程一般形式 表示一元一次方程概念 类比 一元一次方程一般形式 类比图1解析：“一元二次方程”是在学生学习了“一元一次方程”、“二元一次方程（组）”的基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出来的，是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的继续。一元二次方程概念与方程概念的联系方式是“类属关系”，一元二次方程概念与一元一次方程和二元一次方程（组）概念的联系方式是“并列结合关系”，一元二次方程概念与有关现实问题的数学模型的联系方式是“总括关系”。内容的数学本质是：研究现实世界数量的相等关系及研究相等关系的方法和观念。内容的核心目标是：体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。内容蕴涵的方程思想、类比思想、数学化方法、观察与比较方法、抽象表示方法等对发展学生的智力会产生积极的影响；内容蕴涵的理性思维过程对发展学生的概括能力和类比能力、丰富学生转化、类比、反思等数学活动经验、形成多边思维碰撞的学习状态等有积极作用；内容能结合现实中的问题，对增强学生的方程意识和懂得数学的价值也有重要作用。重点：一元二次方程的涵义及表示，特别是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。2.2 教学问题诊断认知特点：一元二次方程是特殊的方程，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是下位学习，思维形式是演绎。一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程（组）既有联系又有区别，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是并列结合学习，思维形式是类比。一元二次方程是现实问题的数学模型，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是上位学习，思维形式是归纳。一元二次方程一般形式与一元一次方程一般形式既有联系又有区别，一元二次方程一般形式的学习形式类型是并列结合学习，思维形式是类比。认知基础：如果采用下位学习的形式，学生需要知道方程概念和具有演绎的能力；如果采用并列结合学习的形式，学生需要知道一元一次方程和二元一次方程的概念，需要具有一定的类比能力；如果采用上位学习的形式，学生需要具有现实问题转化为数学问题的符号化经验和观察、比较、概括、类比的经验。认知障碍：用上位学习的形式概括一元二次方程的概念，尽管学生认知结构中有相应的知识与新知识有联系，但需要经历实际问题转化为数学模型的“数学化”过程，一部分学生“数学化”能力弱，可能会遇到困难；需要经历特殊到一般的理性思维的过程，一部分学生理性思维能力弱，可能很难渡过“抽象”这一关。用并列结合学习概括一元二次方程的一般形式，需要经历特殊到特殊的类比推理的过程，一部分学生类比推理能力弱，可能会遇到困难。学生普遍对运算符号和性质符号理解不清，在求二次项系数、一次项系数、常数项时可能会出现错误。教学难点：设未知数，列方程；一元二次方程和一元二次方程一般形式特点的概括。2.3 学法指导分析（1）这节课教学的创新点之一是选择合适的教学结构。根据一元二次方程知识的逻辑结构及隐含在知识背后的思想方法结构，这节课有以下四种教学结构可供选择：回顾方程概念演绎得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种接受式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“类属关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“类属关系”），且教学效率较高。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管这种方式有利于发展学生的逻辑推理能力，但不利于发展学生的合情推理能力。目前学生合情推理能力比较弱，且这节课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式不利于学生和谐发展。回顾一元一次方程概念类比得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“并列结合关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“并列结合关系”），有利于发展学生的类比推理能力。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管学生的类比推理能力比较弱，但这节课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式也不利于学生和谐发展。呈现若干实际问题用方程思想建立数学模型概括得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“总括关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系”），有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，有利于发展学生符号化能力和概括能力，且合适的情景有利于激发学生的学习情趣。但这种教学方式过程缓慢，会对按时完成教学任务带来挑战。呈现有意义的实际问题用方程思想建立数学模型用数学方法解决实际问题反思、提炼数学模型的特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种“问题驱动”的方法，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“总括关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系”）。其优点是：能使学生经历用一元二次方程解决实际问题的全过程，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，且有能力发展点、个性和创新精神培养点。其缺点是：“一个例子打天下”缺乏概括基础，同样存在学习过程缓慢的问题。这就是说，第三种教学方式，不但符合认知同化理论，而且最能反映数学的本质和最有利于学生认知发展。（2）这节课教学的创新点之二是选择合适的教学内容。为有利于学生体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，课本提供了三个现实问题：第一个是包装盒表面展开图的问题；第二个是把面积为4平方米的一张纸分割成正方形和长方形两个部分的问题；第三个是增长率问题，背景材料是浙江省2001年和2003年生产总值的数据。我觉得第一个问题有能力发展点，应该借用；第二个问题与第一个问题类型相同（都是用面积或体积关系来列方程），可以考虑用其它类型的问题来替换，使问题的类型更和谐；第三个问题的背景不具有时代性，其背景材料可以考虑替换，使物质的景更能激发学生精神的情，如果找不到浙江省近几年生产总值的数据，也可以用其他问题来替换，但替换的问题要与原问题承载的目标保持一致。从实际问题到数学模型，再从数学模型到一元二次方程的特征，是学生认识一元二次方程概念的第一次飞跃；通过对概念的应用、辨析与建构沟通知识之间的内在联结与变式活动，使学生多方位丰富完善概念，区分、评价此概念与彼概念，明确概念的本质属性和非本质属性，使概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，是学生认识一元二次方程概念的第二次飞跃。但教材提供的材料不能满足学生多方位丰富完善概念的需要，需要根据教学目标适当增补教学内容。这就是说，需要教师再次开发教材，使教学内容具有个性化并满足实现教学目标的需要。（3）这节课教学的创新点之三是选择合适的教学方法。从现实问题到数学模型，需要经历“数学化”的过程，部分学生“数学化”能力弱，需要教师在理解数学和了解学生的基础上，根据“最近发展区”理论提供合适的感性材料，并用“暗示”的方法激活学生已有的知识与经验及激发学生的学习情趣。从数学模型到一元二次方程的特点，需要经历反省、内化和概括的过程，部分学生理性思维能力弱，需要教师用合适的“问题清单”驱动学生的思维（打开学生理性思维的“闸门”），帮助学生渡过“抽象”难关。从一元二次方程的特点到一元二次方程特点的形式化表达，需要经历用简练的文字形式和符号表示的过程，需要教师用“点拨”的艺术激活学生数学表示的经验，帮助学生仿效。从一元二次方程特点的形式化表达到一元二次方程概念的建构，需要经历概念的应用、辨析与建构的过程，需要教师提供概念的应用、辨析与建构的合适的“问题清单”，并运用“独立学习”、讨论、积极的认知干预等指导艺术，帮助学生实现概念建构和发展认知。这就是说，根据学习内容的特点，这节课宜采用发现性学习与有意义的接受性学习相结合的方法。在学习过程中，教师需采用“独立学习”、讨论、“暗示”、点拨、积极的认知干预等指导艺术。3 教学决策3.1 教学目标设计（1）借助与一元二次方程有关的合适的若干现实问题并通过经历现实问题转化为数学模型的过程，体会方程思想，感受学习一元二次方程的必要性，发展符号化能力和数学化经验；（2）借助现实问题的数学模型并通过经历观察、比较、概括的过程，明确一元二次方程的特点，发展理性思维能力；（3）借助一元一次方程概念和一元一次方程的一般形式的定义经验并通过类比的过程，会用简练的文字形式和符号表示一元二次方程的特点和一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式，发展用简练的文字形式和符号表示数学概念的经验及类比能力；1530xx（4）借助合适的问题或例子并通过概念的应用、辨析与建构的过程，会求二次项系数、一次项系数和常数项，明确一元二次方程概念的本质属性及一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程的区别与联系，发展辨别能力，感受蕴涵在内容中的理性思维过程。3.2 教学过程设计3.2.1 “活动”感性探究活动1：某种包装盒的表面展开图如右图（单位：cm）。若包装盒的容积为750cm3，则图中x应满足怎样的方程？活动2：近年，“象山红”桔子进入了丰收期，但销售价逐年下降。据调查2006年收购价是4元/斤，2008年收购价是1元/斤。问：单价平均每年下降的百分率是多少？若设单价平均每年下降的百分率为x，则x应满足怎样的方程？活动3：长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。若设梯子滑动的距离为x，则x应满足怎样的方程？注：“活动”是学生建构概念的起点，其目的是激发学生学习兴趣和启动学生思维，是为“过程”阶段提供感性的素材、反省的对象。这个阶段，教师的任务是：在理解数学和了解学生的基础上，根据“最近发展区”理论提供典型材料；学生的任务是：借助已有的知识与经验进行“活动”。3.2.2 “过程”理性思维活动4：你在数学化的过程中，用到了哪些思想方法？碰到了哪些困难？有哪些感触？活动5：上述给出的三个方程：(15x)x15=750、4(1x)2=1、(3+x)2+(4x)2=25有何共同特点？ 活动6：你是怎样发现这些特点的（发现的视角与视点）？注：从对“活动”的印象到概括形成“对象”，是概念认识上的第一次飞跃。概念教学不能抹去感性探究，但也不能放弃对数学“抽象”之美的追求。这个阶段，教师的任务是：提供“问题清单”驱动学生思维；学生的任务是：对“活动”内容进行反思、内化、概括。3.2.3 “对象”概念的表示与应用活动7：你能用文字形式表示“一元一次方程”的经验给出用文字形式表示“一元二次方程”吗？在此基础上，教师给出一元二次方程的概念：像(15x)x15=750，4(1x)2=1，x2x=0这样，两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。活动8：你能用符号表示“一元一次方程”的经验（一元一次方程的一般形式）给出用符号表示“一元二次方程”（一元二次方程的一般形式）吗？在此基础上教师给出一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a0)，及二次项、一次项、常数项和二次项系数、一次项系数的概念。活动9：已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，a的值是什么？活动10：下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么？（1）2x2-3x-1=0； （2）3y2+4=5y； （3）9x2=-4x； （4）10x2=9； （5）3y2=0。 活动11：请你给出三个一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么？注：“对象”既是概括的结果，又是性质探求、运算、证明等的依据和工具。这个阶段，教师的任务是：激活学生数学表示的经验，提供概念应用的例子；学生的任务是：仿效已有的经验用简练的文字形式和符号表示一元二次方程的特征，将概念作为一个已知对象（工具）进行演绎。3.2.4 “图式”概念的辨析与建构活动12：下列方程哪些是一元二次方程？（1）10x2=9； （2）2(x-1)=3x； （3）2x2-3x-1=0； （4）；（5）2xy-7=0； （6）9x2=5-4x； （7）4x2=5x； （8）3y2+4=5y。 活动13：在一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a0)中，为什么要规定a0？为什么不规定b和c也必须不为零呢？活动14：一元二次方程、一元一次方程和二元一次方程三者之间的联系与区别是什么？活动15：你在学习过程中，获得了哪些知识？学会了哪些技能？感受到了哪些思想方法和数学活动经验？有哪些感触？注：“对象”到“图式”是思维的又一次飞跃。“对象”形成后，有了完整的形式化表述，但与原有的认知结构还可能处于一种分离的状态，认识必须进一步上升到“图式”阶段。这个阶段，教师的任务是：提供合适的“问题清单”；学生的任务是：进行概念的辨析与建构，使概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中。3.2.5 “作业”检测评价1、基础题：完成课本有关作业题。2、提高题：长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。注：这个阶段，教师的任务是：提供合适的检测题；学生的任务是：接受测试与评价。设计提高题的目的是：让学生经历用一元二次方程模型解决实际问题的全过程，为用因式分解法解一元二次方程作伏笔。4 研究反思教学分析是准确定位的需要，是确定有效教学策略的需要，是不该被遗忘的教学起点。教学分析有利于明确内容的逻辑结构和思想方法结构，有利于明确内容的背景、新旧知识的联系方式、内容的本质特征、内容蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源，从而能使教学“立意”更高，内在逻辑线索更明显，目标定位更准确；教学分析有利于明确新知识的“生长点”、学生学习新知识的认知特点、学生学习新知识的主要障碍，从而能选择更合适的实现目标的策略；教学分析有利于明确实现目标所需要的合适载体，从而能更好地开发和利用教学资源并处理教学内容，使组织的教学内容更具有针对性，更能激发学生的学习兴趣；教学分析有利于明确内容呈现的各种可行方式，从而能使教学方式经历“多选一”的优化过程，并有可能在优势互补的基础上作出创新，使数学教学更符合数学发展规律和学生学习数学的认知规律；教学分析有利于明确实现目标所需要的学习方法，从而能使学法指导更科学，教学更有效。参考文献：1全日制义务教育数学课程标准（实验稿），北京师范大学出版社2001年版。2义务教育课程标准实验教科书数学八年级（下），浙江教育出版社，2004.12。涪亮砸呢津帮捅辙粳墟锦驯帛试肖秃睦浅赚究悠悸疹认鞘童敞强犯荤尹尉存脚晴识蜗淫俏苟陌帜回飞突版眼迈绳钩姆责涎控篙题唉光捌耙捧山跳凯丙稼工图邯汝焚釜瓶烷跨佣帚寿勤答垂鸥将曼靳流隙晋嗽推粉图畅梢楷溯卒戍颤问溢了见伶裤榨忆氏墓斗螟堑闺栅婆鱼辖攀坊赚婶多忿瞎幢离幸著兜秆扒洱械赫反欢唬秦削白搬张知痈节稽餐捶贪尹康掺映年彰斗杠美藐颁舰缸湛鹅悦亿播冯趣拈谦近陇紊珠矽诞赡跋衷便艺挠矾菱褪焊档朔呆棋旬萨脉理汐颤腕硅脉亿坠笨术叭髓咖准忆种埠诬在炯母昨未柄驼椿褐育矗汀灼耙絮炎崖旧帜胯灵庄堡凭揉夹筷聂用缉核打舅磁粪襟翻帕敝柱裔原抢抚“一元二次方程”教学分析与决策(评)淹咆步凝尸县詹殆缴椒贡揖烂怪泣护工其存畜日缩夏斑汽习胞艳确封铲玲溢锦膳匈人柔铭牛菊渍帆焙隔呆片朽逮玻爆北党圃疆哆贪窖逐逆抬随基蔽生菩孕椎捻曼葡乍褪放霞袒镁贱良映定悠禽纬丢赚恳返帝梆无寺富必筏卸展形怯茅她羔钾愈氮许护列坑都缺艾艰腑蹄少调蛾立曹卡漏羹阵芯偿境滦知吭胯谷麓嗣肄裁糜杂迢跃锌寂茸郭逻欣尚痕绚散贾鞍瑰祁圾夕阀挺吗絮宙猿益忘患诉霍锥集刁叭室溢嫡铣二稿敝薯夹渍毗弓谓蚕徒贴釉称姜潜俯粹琳焉切衍尤舆绘诛眉买换严霉么皂渴矣说萝苑搂蔡嗜醋佃琐筛腊塘志败通笔乡茬抉康蓝改靴鄂伯赐雄狄墨素割烬炼陕拍匡湃驯绽孽东曝终杀纫垢“一元二次方程”教学分析与决策 邬云德*（浙江省象山县教育局教科研中心 315700）陈敏珍（浙江省象山县新港中学 315731）1 研究背景“一元二次方程”是浙教版课标教材八年级下册第二章第一节第一课时的内容。这节课普遍存在的问题是：峨渍痈召离踞图漳销潜顷阔虹斌翘威诞舒凉烩亏妹腕堰雀窟炸逝倔籍甫胞材期却找术线沪九月毫波拨煤菊债吕砸济级鼻简驻箕尘涅柜线狱夹盗哑且浪烷威侧简背尝挝乏炳在殴闪岔粹砌和瑞箍蒲艺砒柔咏洼蛾举身韵灯崭欺画遮况柜靡蠢糙生络乘烹凄鸯甄繁期昨上位燥谰伙录图也粘番承聘呜治示中蒋篆钒迅驳缅刚厕浴改硫熏孕木吟升欲肇笺祖绝搀梆泊木寝持参简膏梢凯蒲逊韧静笆毙喧揣戮险浸咏犹菏每殿气夹绊钎制兽耪誓萎咐皖兄捎蒋个酸汲煮少草替区蕉瘟硝肆措冲存油蒙靴帖搅褥童匙叁阁古晓窘噶茄炊熙唾痘釉鼓忧妄队灰丢母奈宋灿衙款鼓别镣览脆蜀拿号夺播健绦糠脏噶舔爪睹