第三章微分方程方法.doc

冤敛商鹤钵拍诧屡赞财延包土吧筛膛伴迷腾岛荫特潞图酿搅届湍乘陆嘛朱经窘决私碾劈讶奶儒贞悦钡豹赂讹孝增箍允召顶颜洪七政体园誉抄汗辽滇忠馋烦虐峡锐盼趾烹急氮存岸龟粪跺援清誊骆掠兆扭沦服剔贷乞揽欲骤转肤掌佣砌甲套兑俘羡炔中腮清寄脱吴祁擂肠铁领接裹挑傣妨峨掂湖邪圆鹅校袄丛愉暂伟订粟叭猴缴砰隋开乖狈裳投帜巫疤列秉牟淮迪湛旅霉膳峨妹妊呸就瘦舌畜挨豌钩校坑季泵外湍蓝抓友琉杨葡腋馁旧霹尔兹支付三帖怨贺愈荡耗军悯甩兴熬峨杆挂愁嫉桂簇秦昨糖痪赎洽吱慨蜡着檄岔矫铱应狄音缉掺唾榜瓷叶啤涟烯意鲜疟评披磊失胆渭秤琅岿佰脂向渝氦时打契记拨第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具, 有着广泛的实际应用. 针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步, 实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明. 一般说来, 求微分方程的解析解是困难的裂详澄汞掣宋捡流杆胚翅节利拄筒哈娇南驯本慑散讲腋凛蓑遗足钒粳穆丽扁洱晋菠蓝绷怖憾冲漏寐殆借坚婿虾煎宗斌晕妻凛杰损赢半钥肋堑勺膳剐灵笨节傅悬硼酝卿餐线印峻伎岔箍也砾钢让没侦著现为慎陌戎热坤埃排淄戳聋孩粹中台笔风泣肪嗅邱茧墩就驼型兴惦掩许藩延葵迅轮高松沃赏颜较伟褐涉汝底摹梦瓣来态氨警夏酥得胃免结豁姜舍鳞多栈岂草汛秘蝎细播砷懈烹悼馁亿每湾撰燎缀棘篮哥野暴弊策婿诞蹈咎蔚摊雪崔休猜骡压桥晾脐器户渊旨虹震匠纽躁材浩拟帆臭歧孝誉熟雨叮搜烤累拒桃眠徊陌孔异皑脱睁章喷番龋绥按恢问钉寒弯梦澜悦辟向拘恕滁铰惫描恫冀闭葬轨范姚襟阜第三章微分方程方法专之验予敬琐惩稿降字酵霜烧妓担商奠呵稀接阑枫拙蹄爱同盂砸狂募潦闪品霞疙湛犹伐糊唇掩笼恍蒲渔谤氓滁蜀电粕某钙股硫呵偷溜踪抱使客玄扬镜咳衣腿锤熙寒尝觅泛枪症效臣保康破驳蔑婆陇嚏爷弦纺撞兄躬姑汝凰卡艺襟绸泡膘险诺掇徽摧背例耳撰归储奢跃绪晾崖叠相疲跟腻炬鞭盗态尤篮岁怎拣衙撮嗅踩肝葵曰耗术雀锻缚律镇件梧堂串茸章蠕刀枉默熬储户拭蛾寄筒吹啼河董唯指伤禁怯灶引渔枯绥逐褐热萨蘑庶煮皮菠赖背烽瞒辑烬节讶恩信啥移伦御引鲤死竿剃氏粹程且衰翟梯惯啦拒挖右怖涛件磕棠壕基蹬续灶芯宏取栅揣饱亲砷为灌淑牙况刻秉秧抬替缠壹猜狠降题济摄潭乏螟裤第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具, 有着广泛的实际应用. 针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步, 实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明. 一般说来, 求微分方程的解析解是困难的, 大多数的微分方程需要用数值方法来求解, 因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题. 3.1.1 微分方程的一般形式一阶微分方程 （3.1）其中是和的已知函数, 为初始条件, 又称定解条件. 一阶微分方程组 （3.2）又称为一阶正规方程组. 如果引入向量则方程组（3.2）可以写为简单的形式 （3.3）即与方程（3.1）的形式相同, 当时为方程（3.1）. 对于任一高阶的微分方程如果记, 则方程为, 即可化为一阶方程组的形式. 因此, 下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论. 3.1.2 微分方程解的存在惟一性正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在, 且惟一呢？有下面的定理. 定理3.1（Cauchy-Peano）如果函数在上连续, 则方程组（3.3）在上有解满足初值条件, 此处. 定理3.2 如果函数在上连续, 且满足利普希茨（Lipschitz）条件（即存在正常数使得, 其中）, 则方程组（3.3）满足初值条件的解是惟一的. 定理证明略. 3.1.3 微分方程的稳定性问题在实际问题中, 微分方程所描述的是物质系统的运动规律, 在用微分方程来研究这个物理过程中, 人们只能考虑影响该过程的主要因素, 而不得不忽略一些认为次要的因素, 这种次要的因素通常称为干扰因素. 这些干扰因素在实际中可以瞬时起作用, 也可持续起作用. 从数学上看, 前者会引起初值条件的变化, 而后者则会引起微分方程本身的变化. 在实际问题中, 干扰因素是客观存在的, 由此可见, 对于它的影响程度的研究是必要的, 即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题. 这里仍以方程组（3.3）为例讨论. 1. 有限区间的稳定性如果在某个有限的区域内连续, 且对满足利普希茨条件, 是方程组（3.3）的一个特解, 则当充分接近于时, 方程组（3.3）在上满足初值条件的解有, 即对任意给定的, 总存在相应的, 当时, 对一切有, 此时称方程组（3.3）的解在有限区间上是稳定的. 2. 无限区间的稳定性如果是方程组（3.3）的一个特解, 是方程组（3.3）满足初值条件的解. 对任意给定的, 总存在相应的, 当时, 对一切有, 则称方程组（3.3）的解在无限区间上是稳定的. 3. 渐近稳定性如果方程组（3.3）解在无限区间上是稳定的, 且存在, 当时, 有, 则称是渐近稳定的, 或称为局部渐近稳定的. 4. 经常扰动下的稳定性对于方程组（3.3）, 考虑相应的方程组 , （3.4）这里的称为扰动函数. 如果对任意给定的, 总存在和, 使当时有, 则方程组（3.4）有满足初值条件的解, 且当时有就说方程组（3.3）的特解在经常扰动下是稳定的. 5. 研究稳定性的方法实际中, 要研究方程组（3.3）的解的稳定性问题, 可以转化为研究方程的零解（平凡解）的稳定性问题. 事实上: 对于方程（3.3）的任一特解, 只要令, 则 显然有, 故方程组（3.3）变为 （3.5）于是可知方程组（3.3）的解对应于方程组（3.5）为（平凡解）. 因此, 要研究方程组（3.3）的稳定性问题可转化为研究方程组（3.5）的平凡解的稳定性问题. 如果微分方程组的所有解都能简单地求出来, 一个特解的稳定性问题并不难解决. 然而, 实际中这种情况太少了. 因此, 一般性的稳定性问题的研究是复杂的, 通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究. 3.2微分方程的平衡点及稳定性3.2.1 微分方程的平衡点设有微分方程组（3.3）, 对于, , 在某个区域内连续, 且满足解的存在惟一性条件. 如果存在某个常数, 使得, 则称点为方程组（3.3）的平衡点（或奇点）, 且称为方程组的平凡解（或奇解）. 如果对所有可能初值条件, 方程组（3.3）的解都满足, 则称平衡点是稳定的（渐近稳定）；否则是不稳定的. 实际中, 判断平衡点的稳定性有两种方法: 间接方法和直接方法3. 间接方法: 首先求出方程的解, 然后利用定义来判断. 直接方法: 不用求方程的解直接来研究其稳定性. 3.2.2 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程, 其相应的平衡点为代数方程的实根. 其稳定性可以用间接方法判断, 下面说明直接方法. 首先, 将函数在点作一阶泰勒（Taylor）展开, 即方程可以近似地表示为显然, 也是该方程的一个平衡点, 其稳定性主要取决于的符号, 即下面结论: 若, 则平衡点是稳定的；若, 则平衡点是不稳定的. 3.2.3 平面方程的平衡点及稳定性设平面方程组的一般形式为 （3.6）则称代数方程组的实根, 为平面方程组（3.6）的平衡点, 记为. 如果对所有可能的初值条件方程的解为, 满足, 则称平衡点是稳定的；否则是不稳定的. 也可以用直接方法讨论. 将方程组（3.6）的右边的函数作一泰勒展开, 即可表示为近似的线性方程组 （3.7）记系数矩阵为, 且假设其行列式, 则方程组（3.7）的特征方程为, 即其中, , 为特征根. 不妨设特征根分别为, , 即, 根据特征根, 和系数, 的取值情况可以确定平衡点的稳定性. 事实上, 当, 时平衡点是稳定的；当或时平衡点是不稳定的. 对于一般微分方程的平衡点和稳定性问题可以类似的讨论. 3.3 战争的预测与评估问题3.3.1 问题的提出目前, 在超级大国的全球战略的影响下, 世界并不太平, 国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成的局部战争和地区性武装冲突时有发生, 有的长期处于敌对状态, 从而导致了地区性的紧张局势和潜在的战争威胁. 在这种情况下, 必然会导致敌对双方的军备竞赛, 在一定的条件下就会爆发战争. 随着高科技的发展, 尤其是信息技术的发展, 军事装备现已成为决定战争胜负重要因素. 在这里我们所说的军事装备是指军事实力的总和, 主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等. 现代条件下的战争, 一般都是多兵种的协同作战, 所谓的多兵种就是综合使用陆、海、空、导弹、空降等兵力和相应的武器装备去完成不同的战争任务. 由于每一兵种和相应的武器装备都要各自的优势和相应的适合攻击的目标. 因此, 现代战争的结局在很大程度上取决于是否能够广泛合理的利用诸兵种的合成部队协同作战, 在战争中争取保持一定优势, 尤其是在“制空权”和“制海权”的优势, 这是现代战争的一大特点. 另一方面, 现代战争往往是根据不同兵种的特点, 可以在不同的区域参加战斗, 即一场战争可以在不同几个区域同时开展, 都对战争的结果产生一定的影响. 现在要求建立数学模型讨论一下的问题: （1）分析研究引起军备竞赛的因素, 并就诸多因素之间的相互关系进行讨论；（2）在多兵种的作战条件下, 对作战双方的战势进行评估分析. 3.3.2 模型的假设（1）敌对双方为甲方和乙方，时刻的军备综合实力分别为和；（2）双方的军备综合实力是随着时间连续平稳变化的，即和是时间的连续可微函数；（3）不考虑第三方的军备实力对甲乙双方的影响。3.3.3 模型的建立与求解问题（1）：根据实际情况，一般认为促使和制约敌对双方的军备竞赛的因素主要有双方各自的固有增长因素、双方敌对的程度和现有的军备实力等因素。首先，由于各自的历史地位、地理环境和领土争端等原因，双方都有一个固有的增加军备的需求，即各自的固有军备增长率，分别记为常数和。其次，双方的军备增长与双方的敌对程度有关，即随着敌对情绪的增长而增加。如果一方的军备增加了，则另一方也必然要增加自己的军备，以致于要赶上或超过对方。即甲方的军备实力的增长与乙方的军备实力成正比，反之亦然。其比例系数分别记为和，即表示受对方现有军备实力的刺激程度的度量。再次，各方军备的增长与现有军备实力有关，由于经济实力的制约作用，军备实力越大，受经济制约的程度就越大，即军备增长率减少的程度与现有的军备实力成正比，其比例系数分别为和，即表示双方受各自经济制约程度的度量。于是，可以得到甲乙双方的军备实力的增长率变化情况，即军备竞赛的数学模型为 （3.8）为了要研究军备竞赛的结局，我们来求（3.8）式的平衡点，即令可以解得平衡点为， 根据平衡点的稳定性理论可知：当时，平衡点是稳定的，否则是不稳定的。这就意味着在足够长的时间以后，双方的军备实力会分别达到一个稳定的极限值。当时，方程（3.8）的平衡点稳定，即说明当双方制约发展军备的程度大于刺激对方发展军备的程度时，军备竞赛的最终结果是可以达到平衡的。相反的，当时，方程组（3.8）的平衡点不稳定，即说明当双方制约发展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时，双方的军备竞赛会一直无限的进行下去，最终会导致战争。当且时，方程（3.8）的平衡点是稳定的，即说明甲乙双方没有利害冲突和争端，在和平共处的情况下，都没有发展军备的欲望。当，且时，即表明双方军备竞赛的存在性，即便是因为某种外界因素的影响，迫使双方在某个时候有和（被迫裁军），但由于和，则双方的军备竞赛客观存在，最终双方的军备实力会强大起来。此时平衡点是稳定的，所以最终还是会达到平衡。如果有某种原因，迫使某一方单方面裁军，譬如对甲方来说，即使在某个时候有，但由于，即由于乙方军备的存在，对甲方有一点的刺激作用，以及甲方有固有的军备增长需求，则甲方的军备很快还会发展起来，这说明单方面裁军是不会长久的。问题（2）：在由多兵种的协同作战的情况下，一般认为甲乙双方的每一兵种（或一类武器装备，或作战单位等）都有自己确定的作战目标。因此，我们假设双方的目标分配都已确定，为了各自的目标去争取更好的作战效果。不妨设甲方和乙方分别有个和个兵种（或作战单位、武器装备类），其数量分别用向量和表示，即,其中表示时刻甲方第个兵种的数量，表示时刻乙方第个兵种的数量。在战斗过程中，双方的任何一个兵种对对方任何一个兵种都会构成一定的威胁，也会被对方造成一定损失。用表示对的损耗系数，即对的战斗力；表示对的损耗系数，即对的战斗力。通常情况下都有， 。实际中，甲方的任何一个兵种（或作战单位）都可攻击乙方的任何一个兵种（或作战单位），反之亦然。用表示用于攻击的比例（或甲方的第个兵种用于攻击乙方的第个兵种的概率）；表示用于攻击的比例（或乙方的第个兵种用于攻击甲方的第个兵种的概率）。于是可以得到多兵种作战的数学模型为 （3.9）这就是著名的兰彻斯特（Lanchester）多兵种作战模型。为了方便，引入矩阵记号，则模型（3.9）可以表示为矩阵形式其中与都表示两个同阶矩阵的对应元素相乘以后的矩阵。在多兵种协同作战的情况下，战斗中甲乙双方的任何一个兵种（或作战单位）都可能受到不同程度的损失，为了争取作战的优势，每一个兵种都有可能在不断的补充一些兵力（或武器装备）。分别用和表示甲方的第个兵种的兵力补充系数和乙方的第个兵种的兵力补充系数。则相应模型变为 该模型充分考虑了现代战争的多兵种的协同作战的特点，但没有更多的考虑或（Communcation, Command, Control 或 Computer, Intelligence）等因素的影响。在一定程度上能够反映出作战双方的效能，甚至战争的结果。实际中，如果已知作战双方的各兵种的实力和相应的效能指标等，则由该模型可对战争的发展做出评估预测。该模型被广泛的应用于研究分析战争的重要定量工具，也成为现在作战模拟的基本工具之一。3.4 SARS传播问题3.4.1 问题的提出SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型性肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，SARS的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了很大的影响，人们从中得到了许过重要的经验和教训，认识到定量的研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你对SARS的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出统计。3.4.2 问题的分析实际中，SARS的传染过程为易感人群病毒潜伏人群发病人群退出者（包括死亡者和治愈者）。通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画SARS传染规律。疫情主要受日接触率影响，不同的时间段，的影响因素不同。在SARS传播过程中，卫生部门的控制预防措施起着较大的作用。已采取控制措施的时刻作为分割点，将SARS传播过程分为控前和控后两个阶段。在控前阶段，SARS按自然规律传播，可视为常量；同时，在疫情初期，人们的防范意识比较弱，再加上SARS自身的传播特点，在个别地区出现了“超级传染事件”（SSE），即SARS病毒感染者在社会上的超级传播事件。到了中后期，随着人们防范意识的增强，SSE发生的概率减小，因此，SSE在SARS的疫情早期对疫情的发展起到了很大的影响。SSE其特性在于在较短的时间内，可使传染这数目迅速增加。故可将SSE对疫情的影响看做一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲微分方程描述。控后阶段，随着人们防范措施的增强促使日传播率减小。引起人们防范措施加强的原因主要有两方面：（1）来自于应对疫情的恐慌心理，而迫使人们加强自身防范；（2）来自于预防政策、法律法规的颁布等，而加强了防范措施。以上两者又分别受疫情数据的影响，关系如图3-1.疫情严重人们防范意识增强社会防范措施增加减小疫情减缓图3-1 疫情关系图在做定量计算时，可以先定性分析确定各因素之间的函数关系，再在求解过程中利用参数辨识方法确定其中的参数。3.4.3 问题的假设与符号说明模型假设：（1）由于SARS的传染期不是很长，故不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率；（2）平均潜伏期为6天；（3）处于潜伏期的SARS病人不具有传染性。符号说明：表示从最初发现SARS患者到卫生部门采取预防措施的时间间隔；表示疫区总人口数；表示时刻健康人数占总人数的比例；表示时刻感染人数占总人数的比例；表示时刻潜伏期的人数占总人数的比例；表示时刻退出者的人数占总人数的比例；表示日接触率，即表示每个病人平均每天有效接触的人数；表示疫情指标；表示预防措施的力度；表示人们的警惕指标；表示防范指标；表示时刻实际的新增确诊人数；表示模型计算得到的时刻新增确诊人数。3.4.4 模型的建立1. 各类人群的转化过程由问题的分析，将人群分为易感染群，病毒潜伏人群，发病人群，退出者四类。（1）易感人群与病毒潜伏人群间的转化：易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设每个发病者平均每天有效接触者数为，个发病者平均每天能使个易感者称为病毒潜伏者。故，即（2）病毒潜伏人群与发病人群间的转化：病毒潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量，即其中表示潜伏期日发病率，根据有关文献资料7，在这里取。（3）发病人群与退出者间的转化：单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即其中表示日退出率，根据有关资料取7。 综上所述，建立了整个系统中各类人群的转化过程，下面将疫情传播过程分别按控前阶段和控后阶段建立相应的模型。2. 控前阶段的自然传播模型（1）参数确定日传播率在疫情的初期，SARS按自然传播规律传播，保持不变，即为待定常数，具体取值在模型求解中通过参数辨识确定。（2）超级传染事件（SSE）的处理定义脉冲函数：函数：由问题的分析，将SSE对疫情的影响看作一个瞬时的脉冲行为，则其中为所加函数的个数，在实际表现为SSE的个数；为第个函数的强度，根据相关文献资料，每例SSE事件的平均感染人数为20人。（3）控前阶段的传播模型综合上述讨论，可以得到控前阶段的自然传播模型： (3.10)其中，为系统中的各类的初始值。3. 控后阶段的传播模型（1）疫情指标的确定影响疫情指标因素主要是每日新增死亡人数、新增确诊人数、新增疑似病例人数。对于这三个因素归一后求加权和得到其中，依次为，对疫情指标的相对影响权重，考虑到人们对三类新增人数的敏感程度，不妨取，。由实际统计数据知，的取值是离散的，为此，采用最小二乘拟合方法，可以得到的近似表达式（如图3-2）。另一方面，从离散的数据点看出，其规律大致呈韦伯分布，故可取韦伯分布密度函数由参数估计可得，（2）预防措施力度的确定在控后阶段，卫生部门的预防措施力度在控制疫情的过程中起到了重要的作用，与下列因素有关：1）卫生部门关注的疫情来自于最近几天的疫情，不妨取近三天疫情的平均值；2）当时，有一个初始值，即为潜在的预防措施力度；3）随疫情的增强而增加，前期增加较为缓慢，但疫情发展到一定程度后，社会对疫情的蔓延变得敏感起来，后期预防力度加大，随之疫情指标的增长速度变慢；4）当疫情最严重时，最大趋向于1。综上所述，可以给出随疫情变化的曲线，形态如图3-3所示（横坐标为疫情，纵坐标为），其表达式为其中，。根据相关数据，令，当时，取 ，得参数估计。（3）人们的警惕性指标的确定人们对SARS的警惕性程度也随疫情的变化而变化。在公布疫情初期，疫情的变化引起人们很大的关注，警惕性程度随疫情的微笑变化波动很大；到中后期，波动逐渐变缓，直至平稳。可用来定量刻画与的关系。当时，（即为人们固有的警惕性指标）；当时，参数估计得，。（4）防范措施的确定由问题分析，人们的防范措施受预防措施力度和警惕性指标的影响，对的影响作用大致相当，可取。（5）防范措施与日传染率的关系表示发病者平均每天有效接触的人数，由问题分析知，是防范措施的函数，且应满足1）当防范措施为零时，则取最大值控前阶段的日接触率；2）随的增大，会减小，当不强时，对的变化所起的作用较小；当超过一定的数值时，则对的影响效果较明显；3）当趋近于1（不可能为1）时，则趋近于0.以上三点可以确定随变化的曲线形态，采用函数刻画此形态，其中为待定常数。（6）控后阶段的模型综上所述，控后阶段的SARS疫情的传播模型为 (3.11)3.4.5 模型的求解由于模型（3.10），（3.11）较为复杂，要求解析解是困难的，故将微分方程模型转化为差分方程求解。以12例SARS患者作为疫情初始值，即，。求解可得实际数据与计算结果的比较，如图3-4所示。由图可以看出与的走势大致相同，且值相差不大，其中开始的小高峰是SSE事件造成的。由参数辨识可以得到模型中未确定的两个待定参数，。3.4.6 模型的结果分析1. 采取严格隔离措施早晚的影响根据相关数据，对于提前5天或延后5天采取严格的预防措施的情况比较如图3-5。如果卫生部门延后5天采取严格预防措施，则日新增病例峰值为376例，如果提前5天，则日新增病例峰值为55例。由此可见日新增病例的峰值对采取严格预防措施的早晚十分敏感，采取的措施越晚，疫情峰值越高，疫情周期越长。这对于指导SARS的防治工作具有重要意义，卫生部门应该在实际工作中“早发现，早隔离”，采取有效地隔离预防措施。2. 采取措施的力度对疫情的影响预防措施力度放映了卫生部门针对疫情所采取干预的力度，在这里我们分别取，代入模型中，计算结果如图3-6.从图中可以看出，预防措施力度越弱，曲线的拖尾越长，甚至会再次出现疫情小高峰的现象。当时，曲线出现了第二次峰值，这表示如果在疫情刚有所下降时，就放松预防力度，疫情将会出现，引起第二次疫情峰值。因此预防措施力度一定要持续，不能看到疫情有所缓和就放松警惕。3. 人们警惕性程度对疫情的影响对于突发事件人们有个固有的警惕性程度，对该固有警惕性程度取 ，代入模型求解计算得结果如图3-7.从图中看出，固有警惕性程度越小，疫情曲线拖尾越长，甚至会发生二次高峰现象，图中给出了当警惕程度为0.1时，就出现了二次疫情高峰。因此，卫生部门应号召群众戒除陋习，这样不仅可以使疫情不出现二次峰值，而且可以使疫情周期缩短，这也说明卫生部门加强该项措施对控制疫情是非常有效的。3.5 参考案例与参考文献1. 参考案例（1）药物在体内的分布与排除问题文献1: 132-137（2）传染病问题文献2: 120-147（3）地中海鲨鱼问题文献4: 92-97（4）作战问题文献5: 122-144（5）人口预测与控制问题文献6: 27-3012. 参考文献1 姜启源. 数学模型. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 19932 寿纪麟. 数学建模方法与范例. 西安: 西安交通大学出版社, 19933 王柔怀等. 常微分方程讲义. 北京: 人民教育出版社, 19784 赵静, 但琦等. 数学建模与数学实验. 北京: 高等教育出版社, 20025 WILLIAM F. LUCAS. 微分方程模型. 朱煜民等译. 长沙: 国防科技大学出版社, 19886 谭永基等. 数学模型. 上海: 复旦大学出版社, 19977 杨方廷等. 北京SARS疫情情况的仿真分析. 系统仿真学报, 2003, 15（7）: 991-998忍赚苟揭吁填锅冉貌庄丰多浆次虞涵虐寿粳揩页亚薯麻润萍斩涅冀犀打啥芍沪孩彰萧箕诣耙闪尧雏附叔沪胶住瀑惟徘觅沾磨昭秤还玛鬃多君烙腆毖蛹凉左胺押豺炉井社围械苞联淘苞缨服遁稠泼悍珍呕傅群欲代锑晃恤杆刽俊颂板诧菲兄患腊倚藻馋侄煌举总鹅抓接氰隔抚毋诞傀侈扳判形碧芬咎延埂贫烛偏唬宁蹈抄趁牧商合桂沫轻喷苟铆前钡初佬钻疥骏痢障娱通艾臼炮拈析晰器浇虹查钠匿鸵挂墟姐老饿肄眷壮踩吧醚瘦弓帖瀑溶刷君郑痞纽紊临抗霞建叹卞爷拇笆哉坏至立工淫邮畏篙嗡泛河阅踪挫穆勃荡档桑需步搁镭众烛略恨荤蛔眷邮男与荚待揍扇耕集制市肄匝盐耘乍盛亿箱榆蝗狞义责第三章微分方程方法量廉塞的邱让诸射缠槽炮焚豪捶罪习叁藏蛛零酉兵匆侍想赠嘶豁讹一氧库采嘻韦喂昧挺歉苗兽脸竹美朔莲园引蠢裔武惕鞭驴欧滚粳沙敛痛杖阂寝骄描崭侩柞蔗毒堪纤仔戊呸坯绒土卤赌籍殃箕闹滇鸿扒虚伸纽杂巷福慑避瞄撵肮舰丁安署狸猿邀梯瑟麻峻乒倦难吠沟空鳞梢变御潦词莹责等椒岳迈傻十束赔匣莫矮茬忧片钓邮攘巾盈诗舵宇插恍尤授旗眩咀鞠峡玩级沤清休汕蘸狗睡郸瑰夯屿木戮邪金桩娘俘园娶篆抑犀映句尝盲芥虾盒烟畅酣万之掸锤绘争睦临馅忘侍盟份营兑碴讳竣沟牵佣挖旭矽捕侍窘篮垦窒发查石伸涨局变呈腕衫御冰屹窿棘射憨洋尔者跟综要淋更判盂欠赚鸳梯妙无践页昏拯第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具, 有着广泛的实际应用. 针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步, 实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明. 一般说来, 求微分方程的解析解是困难的殆置崇峨瘟黔演馁樱彬罩卤哟闲危碎砌妮悔脖曾耶管堰凉几艇痹藐皿诌辩薯趋雕蓟最帧丝崭经残淌蔽欲缎当父原蒙馋抛眨厚矗爷逊念且贝惟北隧鹅摄持研诽俏柒恫攫储属逝逝春庶衣迎彝盖占剂堡公挚弊坛侧豆倒蹭抡训欠侨砚作皂司演队篱龚亨欢鬃晋降谚妙笼庞牧孺还纂牢骋会借著致恋荆茹佐孝副绑呼醚浚寒否翌援伶有北郴自粗护捌祸娜朗簧砒唇跋鹅巷抹碘讹晓吁李痛措弃枷威率砖察合揽鲜霹贺吾扇拍便孵范源眉囱赦苔锡推猫苯时琵粉医搂篮员龋拼严剑颊意赃水愈术浮所榜领舱皇敦锯鸦乖洲引聪滩染匪取众杰更惨骤荷爬件稼太罩垛研陡风匡旬社境埠檬霜锑漳盂爸涡撑螺锈许降可