第三章微分方程建模省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第三章第三章第三章第三章微分方程模微分方程模微分方程模微分方程模 型型浙江大学数学建模实践基地浙江大学数学建模实践基地第1页3.1 微分方程几个简单实例微分方程几个简单实例 在许多实际问题中，当直接导出变量之间函数关系较在许多实际问题中，当直接导出变量之间函数关系较为困难，但导出包含未知函数导数或微分关系式较为轻易为困难，但导出包含未知函数导数或微分关系式较为轻易时，可用建立微分方程模型方法来研究该问题，时，可用建立微分方程模型方法来研究该问题，本节将经过一些最简单实例来说明微分方程建模普通本节将经过一些最简单实例来说明微分方程建模普通方法。在连续变量问题研究中，微分方程是十分惯用数学方法。在连续变量问题研究中，微分方程是十分惯用数学工具之一。工具之一。第2页例例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足微分（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足微分方程，并得出理想单摆运动周期公式。方程，并得出理想单摆运动周期公式。从图从图3-1中不难看出，小球所受协力为中不难看出，小球所受协力为mgsin，依，依据据牛顿第二定律牛顿第二定律可得：可得：从而得出两阶微分方程：从而得出两阶微分方程：（3.1）这是理想单摆应这是理想单摆应满足运动方程满足运动方程 （3.13.1）是一个两阶非线性方程，不是一个两阶非线性方程，不易求解。当易求解。当很小时，很小时，sin，此时，此时，可考查（可考查（3.13.1）近似线性方程：）近似线性方程：（3.2）由此即可得出由此即可得出 （3.23.2）解为）解为:(t)=0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有MQPmg图图3-1（3.13.1）近）近似方程似方程第3页例例2 我方巡查艇发觉敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发觉了我方巡查艇发觉敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发觉了我方巡查艇，并快速下潜逃逸。设两艇间距离为我方巡查艇，并快速下潜逃逸。设两艇间距离为6060哩，潜水艇最哩，潜水艇最大航速为大航速为3030节而巡查艇最大航速为节而巡查艇最大航速为6060节，问巡查艇应怎样追赶潜节，问巡查艇应怎样追赶潜水艇。水艇。这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：敌潜艇发觉自己目标已暴露后，马上下潜，并沿着直敌潜艇发觉自己目标已暴露后，马上下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。设巡查艇在设巡查艇在A处发觉位于处发觉位于B处潜水艇，取极坐标，以处潜水艇，取极坐标，以B为为极点，极点，BA为极轴，设巡查艇追赶路径在此极坐标下方程为为极轴，设巡查艇追赶路径在此极坐标下方程为r=r()，见图，见图3-2。BAA1drdsd图3-2由题意，由题意，故，故ds=2dr图图3-2可看出，可看出，第4页故有故有:即即:（3.3）解为：解为：（3.4）先使自己到极点距离等于潜艇到极点距离先使自己到极点距离等于潜艇到极点距离,然后按然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。对数螺线航行，即可追上潜艇。追赶方法以下：追赶方法以下：第5页例例3 一个半径为一个半径为Rcm半球形容器内开始时盛满了水，半球形容器内开始时盛满了水，但因为其底部一个面积为但因为其底部一个面积为Scm2小孔在小孔在t=0时刻被打开，时刻被打开，水被不停放出。问：容器中水被放完总共需要多少时水被不停放出。问：容器中水被放完总共需要多少时间？间？解解:以容器底部以容器底部O点为点为 原点，取坐标系如图原点，取坐标系如图3.3所表示。所表示。令令h(t)为为t时刻容器中水高度，现建立时刻容器中水高度，现建立h(t)满足微分方程。满足微分方程。设水从小孔流出速度为设水从小孔流出速度为v(t)，由力学定律，在不计水内，由力学定律，在不计水内部磨擦力和表面张力假定下，有：部磨擦力和表面张力假定下，有：因体积守衡，又可得：因体积守衡，又可得：易见：易见：故有：故有：即：即：这是可分离变量一阶微分方程，得这是可分离变量一阶微分方程，得 RxySO图图3-3hr第6页例例4 一根长度为一根长度为l金属杆被水平地夹在两端垂直支架上，一端温度金属杆被水平地夹在两端垂直支架上，一端温度恒为恒为T1，另一端温度恒为，另一端温度恒为T2，（，（T1、T2为常数，为常数，T1 T2）。金属杆）。金属杆横截面积为横截面积为A，截面边界长度为，截面边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温，它完全暴露在空气中，空气温度为度为T3，（，（T3钍234-24天-钋234-6/5分-铀234-257亿年-钍230-8万年-镭226-16-氡222-19/5天-钋218-3分-铅214-27分-钋214-铅210-铋210-5天-钋210-138天-铅206（一个非放射性物质）注：时间均为半衰期 (2)地壳里几乎全部岩石中均含有微量铀。一方面，铀系中各种放射性物质均在不停衰减，而其次，铀又不停地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量资料，地壳中铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一般含量极微）。各地采集岩石中铀含量差异很大，但从未发现含量高于23%。第19页简化假定：简化假定：本问题建模是为了判定几幅不超出3古画，为了使模型尽可能简单，可作以下假设：(1)因为镭半衰期为16，经过3左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中镭最少还有原量90%，故能够假定，每克白铅中镭在每分钟里分解数是一个常数。(2)铅铅210210衰变为：衰变为：铅铅210T=22年年钋钋210铅铅206T=138天天若画为真品，颜料应有3左右或3以上历史，轻易证实：每克白铅中钋210分解数等于铅210分解数（相差极微，已无法区分）。可用前者代替后者，因钋半衰期较短，易于测量。第20页建模：建模：(1)记提炼白铅时刻为记提炼白铅时刻为t=0，当初每克白铅中铅，当初每克白铅中铅210分子数为分子数为y0，因为提炼前岩石中铀系是处于放射性平衡，故铀与铅单位，因为提炼前岩石中铀系是处于放射性平衡，故铀与铅单位时间分解数相同。能够推算出当初每克白铅中铅时间分解数相同。能够推算出当初每克白铅中铅210每分钟分每分钟分解数不能大于解数不能大于30000个。个。若若则则（个）这些铀约重这些铀约重 （克）即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀，含量为克铀，含量为4%4%以上确定了每克白铅中铅分解数以上确定了每克白铅中铅分解数上界，若画上铅分解数大于该值，上界，若画上铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小于不能说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。断定画一定是真品。第21页 (2)设设t时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210含量为含量为y(t)，而镭单位时间分解，而镭单位时间分解数为数为r（常数），则（常数），则y(t)满足微分方程：满足微分方程：由此解得：由此解得：故：故：画中每克白铅所含铅画中每克白铅所含铅210当前分解数当前分解数y(t)及当前镭分解数及当前镭分解数r均可用仪器测出，从而可求出均可用仪器测出，从而可求出y0近似值，并利用（近似值，并利用（1）判断这）判断这么分解数是否合理。么分解数是否合理。第22页Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大学科学家们利用上述模型对部分有疑问油大学科学家们利用上述模型对部分有疑问油画作了判定，测得数据以下（见表画作了判定，测得数据以下（见表3-13-1）。）。油画名称油画名称210210分解数（个分解数（个/分）分）镭镭226226分解数（个分解数（个/分）分）1 1、在埃牟斯门徒、在埃牟斯门徒 8.5 8.50.80.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看乐谱女人、看乐谱女人10.310.30.30.34 4、演奏曼陀琳女人、演奏曼陀琳女人8.28.20.170.175 5、花边织工、花边织工1.51.51.41.46 6、笑女、笑女5.25.26.06.0计算计算y0（个（个/分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 对对“在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒”，y y0 09805098050（个（个/每克每分钟），它必定是一幅每克每分钟），它必定是一幅伪造品。类似能够判定（伪造品。类似能够判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是赝品。而（）也是赝品。而（5 5）和（）和（6 6）都）都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于靠近平衡状态，这么平衡不不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于靠近平衡状态，这么平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪任何作品中。可能发生在十九世纪和二十世纪任何作品中。判定判定结果：结果：第23页 利用放射原理，还能够对其它文物年代进行测定。比如对有机物（动、植物）遗体，考古学上当前流行测定方法是放射性碳14测定法，这种方法含有较高准确度，其基本原理是：因为大气层受到宇宙线连续照射，空气中含有微量中微子，它们和空气中氮结合，形成放射性碳14（C14）。有机物存活时，它们经过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内C14处于放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，经过对比测定，能够预计出它们生存年代。比如，1950年在巴比伦发觉一根刻有Hammurabi王朝字样木炭，经测定，其C14衰减数为4.09个/每克每分钟，而新砍伐烧成木炭中C14衰减数为6.68个/每克每分钟，C14半衰期为5568年，由此能够推算出该王朝约存在于3900-40前。第24页例例6 6 新产品推广新产品推广 经济学家和社会学家一直很关心新产品推销速度经济学家和社会学家一直很关心新产品推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战一些有用结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立电饭包销售模型。后日本家电业界建立电饭包销售模型。设需求量有一个上界，并记此上界为设需求量有一个上界，并记此上界为K，记，记t时刻已销售出电时刻已销售出电饭包数量为饭包数量为x(t)，则还未使用人数大致为，则还未使用人数大致为Kx(t)，于是由统计筹，于是由统计筹算律：算律：记百分比系数为记百分比系数为k k，则则x(t)满足：满足：此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为：还有两个奇解还有两个奇解:x=0和和x=K 对对x(t)求一阶、两阶导数：求一阶、两阶导数：第25页x(t)0，即，即x(t)单调增加。单调增加。令令x(t0)=0，有，有当当tt0时，时，x(t)单调减小。单调减小。在销出量小于最大需求量二分在销出量小于最大需求量二分之一时，销售速度是不停增大，之一时，销售速度是不停增大，销出量到达最大需求量二分之销出量到达最大需求量二分之一时，该产品最为畅销，接着一时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。销售速度将开始下降。所以早期应采取小批量生产并加所以早期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有以广告宣传；从有20%20%用户到有用户到有80%80%用户这段时期，应该大批量用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这么生产；后期则应适时转产，这么做能够取得较高经济效果。做能够取得较高经济效果。第26页3.33.3 为何要用三级火箭来发射人造卫星为何要用三级火箭来发射人造卫星结构数学模型，以说明为何不能用一级火箭而必须用多级结构数学模型，以说明为何不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为何普通都采取三级火箭系统？火箭来发射人造卫星？为何普通都采取三级火箭系统？1 1、为何不能用一级火箭发射人造卫星、为何不能用一级火箭发射人造卫星?（1 1）卫星能在轨道上运动最低速度）卫星能在轨道上运动最低速度 假设：假设：（i i）卫星轨道为过地球中心某一平面上圆，卫星卫星轨道为过地球中心某一平面上圆，卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。在此轨道上作匀速圆周运动。（iiii）地球是固定于空间中均匀球体，其它星球对卫）地球是固定于空间中均匀球体，其它星球对卫 星引力忽略不计。星引力忽略不计。分析：分析：依据牛顿第三定律，地球对卫星引力为依据牛顿第三定律，地球对卫星引力为:在地面有在地面有:得得:k=gR2 R R为地球半径，为地球半径，约为约为64006400公里公里 故引力故引力:假设(ii)第27页dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到引力也就是它作匀速圆周运动向心力卫星所受到引力也就是它作匀速圆周运动向心力故又有故又有:从而从而:设设g=9.81g=9.81米米/秒秒2 2，得，得:卫星离地面高度卫星离地面高度(公里公里)卫星速度卫星速度(公里公里/秒秒)100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推进力及速度分析）火箭推进力及速度分析 假设：假设：火箭重力及空气阻力均不计火箭重力及空气阻力均不计 分析：分析：记火箭在时刻记火箭在时刻t质量和速度分别为质量和速度分别为m(t)和和(t)有：有：记火箭喷出气体相对于火箭速度为记火箭喷出气体相对于火箭速度为u（常数），（常数），由动量守恒定理：由动量守恒定理：0 0和和m m0 0一定情况下，一定情况下，火箭速度火箭速度(t)(t)由喷发由喷发速度速度u u及质量比决定。及质量比决定。故：故：由此解得：由此解得：(3.11)第28页（2 2）火箭推进力及速度分析）火箭推进力及速度分析 现将火箭现将火箭卫星系统质量分成三部分：卫星系统质量分成三部分：（i）mP（有效负载，如卫星）（有效负载，如卫星）（ii）mF（燃料质量）（燃料质量）（iii）mS（结构质量（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）。如外壳、燃料容器及推进器）。最终质量为最终质量为mP+mS，初始速度为，初始速度为0，所以末速度：所以末速度：依据当前技术条件和燃料性能，依据当前技术条件和燃料性能，u只能到达只能到达3公里公里/秒，即使发射秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超出空壳火箭，其末速度也不超出6.6公里公里/秒。秒。当前根本不可能当前根本不可能用一级火箭发射人造卫星用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。假如将结构质实际效益越来越低。假如将结构质量在燃料燃烧过程中量在燃料燃烧过程中不停降低，那不停降低，那么末速度能到达要求吗？么末速度能到达要求吗？第29页2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假设：假设：记结构质量记结构质量mS在在mS+mF中占百分比为中占百分比为，假设火，假设火箭能随时抛弃无用结构，结构质量与燃料质量以箭能随时抛弃无用结构，结构质量与燃料质量以与与（1-）百分比同时降低。）百分比同时降低。建模建模:由由 得到：得到：解得：解得：理想火箭与一级火箭最大区分在于，当火箭燃料耗理想火箭与一级火箭最大区分在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐步抛尽，它最终质量为尽时，结构质量也逐步抛尽，它最终质量为mP，所以最终速度为：所以最终速度为：只要只要m0足够大，我们能够足够大，我们能够使卫星到达我们希望它含使卫星到达我们希望它含有任意速度。有任意速度。考虑到空气阻力和重力等原因，预考虑到空气阻力和重力等原因，预计（按百分比粗略预计）发射卫星计（按百分比粗略预计）发射卫星要使要使=10.5公里公里/秒才行，则可推秒才行，则可推算出算出m0/mp约为约为51,即发射一吨重即发射一吨重卫星大约需要卫星大约需要50吨重理想火箭吨重理想火箭 第30页3 3、理想过程实际迫近、理想过程实际迫近多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n，当第，当第i级火箭燃料烧尽时，第级火箭燃料烧尽时，第i+1级火箭级火箭马上自动点火，并抛弃已经无用第马上自动点火，并抛弃已经无用第i级火箭。用级火箭。用mi表示第表示第i级级火箭质量，火箭质量，mP表示有效负载。表示有效负载。先作以下假设：先作以下假设：（i）设各级火箭含有相同）设各级火箭含有相同,即即i级火箭中级火箭中mi为结构质为结构质量，（量，（1-）mi为燃料质量。为燃料质量。（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为并记比值为k k。考虑二级火箭：考虑二级火箭：由由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：该假设有点强加该假设有点强加味道，先权作讨味道，先权作讨论方便吧论方便吧第31页又由假设（又由假设（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍设仍设u=3公里公里/秒，且为了计算方便，近似取秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可，则可得：得：要使要使2=10.5公里公里/秒，则应使秒，则应使:即即k11.2，而，而:类似地，能够推算出三级火箭：类似地，能够推算出三级火箭：在一样假设下在一样假设下:要使要使3=10.5公里公里/秒，则秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+m2+m3+mP）/mP77。三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节约了二分之一几乎节约了二分之一 是否三级火箭就是最省呢是否三级火箭就是最省呢？最简单方法就是对四级、？最简单方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。五级等火箭进行讨论。第32页考虑考虑n n级火箭：级火箭：记记n级火箭总质量（包含有效负载级火箭总质量（包含有效负载mP）为）为m0，在相，在相同假设下能够计算出对应同假设下能够计算出对应m0/mP值，见表值，见表3-2n（级数）（级数）1 2 3 4 5 （理想）（理想）火箭质量（吨）火箭质量（吨）/149 77 65 60 50表3-2因为工艺复杂性及每节火箭都因为工艺复杂性及每节火箭都需配置一个推进器，所以使用需配置一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算，四级或四级以上火箭是不合算，三级火箭提供了一个最好方案。三级火箭提供了一个最好方案。当然若燃料价钱很廉价而当然若燃料价钱很廉价而推进器价钱很贵切且制作推进器价钱很贵切且制作工艺非常复杂话，也可选工艺非常复杂话，也可选择二级火箭。择二级火箭。第33页4 4、火箭结构优化设计、火箭结构优化设计 3 3中已经能说过假设中已经能说过假设(ii)(ii)有点强加味道；现去掉该假有点强加味道；现去掉该假设，在各级火箭含有相同设，在各级火箭含有相同粗糙假设下，来讨论火箭结构粗糙假设下，来讨论火箭结构最优设计。最优设计。W1=m1+mn+mP W2=m2+mn+mPWn=mn+mPWn+1=mP记记应用（应用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度：记记则则又又问题化为，在问题化为，在n一定条件下，求使一定条件下，求使k1 k2kn最小最小 解条件极值问题：解条件极值问题：或等价地求解无约束极值问题：或等价地求解无约束极值问题：能够解出最优结构设计应满足：能够解出最优结构设计应满足：火箭结构优化设计讨论中火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（我们得到与假设（ii）相）相符结果，这说明前面讨论符结果，这说明前面讨论都是有效！都是有效！第34页3.43.4 药品在体内分布药品在体内分布 何为房室系统？何为房室系统？在用微分方程研究实际问题时，人们经常采取一个在用微分方程研究实际问题时，人们经常采取一个叫叫“房室系统房室系统”观点来考查问题。依据研究对象特征或观点来考查问题。依据研究对象特征或研究不一样精度要求，我们把研究对象看成一个整体研究不一样精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联络部分（多房室系统）。络部分（多房室系统）。房室含有以下特征：它由考查对象均匀分布而成，房室含有以下特征：它由考查对象均匀分布而成，房室中考查对象数量或浓度（密度）改变率与外部环境房室中考查对象数量或浓度（密度）改变率与外部环境相关，这种关系被称为相关，这种关系被称为“交换交换”且交换满足着总量守衡。且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统方法来研究药品在体内分在本节中，我们将用房室系统方法来研究药品在体内分布。在下一节中，我们将用多房室系统方法来研究另一布。在下一节中，我们将用多房室系统方法来研究另一问题。问题。交换环境内部单房室系统均匀分布第35页 药品分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药品当前浓度药品分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药品当前浓度成正比，即：成正比，即：药品分布单房室模型药品分布单房室模型 单房室模型是最简单模型，它假设：体内药品在任一时刻都单房室模型是最简单模型，它假设：体内药品在任一时刻都是均匀分布，设是均匀分布，设t时刻体内药品总量为时刻体内药品总量为x(t)；系统处于一个动态平；系统处于一个动态平衡中，即成立着关系式：衡中，即成立着关系式：药品输入规律与给药方式相关。药品输入规律与给药方式相关。下面，我们来研究一下在几个常见给下面，我们来研究一下在几个常见给药方式下体内药体改变规律。药方式下体内药体改变规律。机体环境药品总量图3-8 假设药品均匀分布第36页情况情况1 1 快速静脉注射快速静脉注射机体环境只输出不输入房室其解为：其解为：药品浓度：药品浓度：与放射性物质类似，医学上将血浆药品浓度衰减二分之一与放射性物质类似，医学上将血浆药品浓度衰减二分之一所需时间称为药品血浆半衰期：所需时间称为药品血浆半衰期：负增加率Malthus模型 在快速静脉注射时，总量为在快速静脉注射时，总量为D药品在瞬间被注入体内。设药品在瞬间被注入体内。设机体体积为机体体积为V，则我们能够近似地将系统看成初始总量为，则我们能够近似地将系统看成初始总量为D，浓度为浓度为D/V，只输出不输入房室，即系统可看成近似地满足微，只输出不输入房室，即系统可看成近似地满足微分方程：分方程：（3.12）第37页情况情况2 2 恒速静脉点滴恒速静脉点滴 机体环境恒定速率输入房室药品似恒速点滴方式进入体内，即药品似恒速点滴方式进入体内，即:则体内药品总量满足：则体内药品总量满足：（x(0)=0）（3.13）这是一个一阶常系数线性方程，其解为：这是一个一阶常系数线性方程，其解为：或或易见易见：称为稳态血药浓度 对于屡次点滴，设点滴时间为对于屡次点滴，设点滴时间为T1，两次点滴之间间隔时间，两次点滴之间间隔时间设为设为T2，则在第一次点滴结束时病人体内药品浓度可由上式得则在第一次点滴结束时病人体内药品浓度可由上式得出。其后出。其后T2时间内为情况时间内为情况1 1。故：。故：（第一次）0tT1 T1tT1+T2 类似可讨论以后各次点滴时类似可讨论以后各次点滴时情况，区分只在初值上不一情况，区分只在初值上不一样。第二次点滴起，患者样。第二次点滴起，患者 体内初始药品浓度不为零。体内初始药品浓度不为零。第38页情况情况3 3 口服药或肌注口服药或肌注 y(t)x(t)K1yK1x环境机体外部药品 口服药或肌肉注射时，药品吸收方式与点滴时不一样，药口服药或肌肉注射时，药品吸收方式与点滴时不一样，药品即使瞬间进入了体内，但它普通都集中与身体某一部位，靠品即使瞬间进入了体内，但它普通都集中与身体某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药品被吸收速率与存量药其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药品被吸收速率与存量药品数量成正比，记百分比系数为品数量成正比，记百分比系数为K1，即若记，即若记t时刻残留药品量为时刻残留药品量为y(t)，则，则y满足：满足：D为口服或肌注药品总量 因而：因而：所以：所以：解得：解得：从而药品浓度：从而药品浓度：第39页 图图3-93-9给出了上述三种情况下体内血药浓度改变曲线。轻给出了上述三种情况下体内血药浓度改变曲线。轻易看出，快速静脉注射能使血药浓度马上到达峰值，惯用于抢易看出，快速静脉注射能使血药浓度马上到达峰值，惯用于抢救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定差异，主要表现在救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定差异，主要表现在血药浓度峰值出现在不一样时刻，血药有效浓度保持时间也不血药浓度峰值出现在不一样时刻，血药有效浓度保持时间也不尽相同。尽相同。图3-9 我们已求得三种常见给药方式下血药浓度我们已求得三种常见给药方式下血药浓度C C(t t)，当然也轻，当然也轻易求得血药浓度峰值及出现峰值时间，因而，也不难依据不一易求得血药浓度峰值及出现峰值时间，因而，也不难依据不一样疾病治疗要求找出最正确治疗方案。样疾病治疗要求找出最正确治疗方案。第40页 新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间基础研究、小量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一个新药品、新疫苗研制出来后，研究人员必须用大量试验搞清它是否真有用，怎样使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在试验中研究人员要测定模型中各种参数，搞清血药浓度改变规律，依据疾病特点找出最正确治疗方案（包含给药方式、最正确剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究与试验据预计最少也需要多年时间。在春夏之交SARS（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一个能治疗SARS良药或预防SARS有效疫苗来，但这只能是一个空想。SARS突如其来，形成了“外行不懂、内行陌生”情况。国内权威机构一度曾认为这是“衣原体”引发肺炎，能够用抗生素控制和治疗。但实际上，抗生素类药品对SARS控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首广东省教授并不迷信权威，坚持认为SARS是病毒感染引发肺炎，两个月后（4月16日），世界卫生组织正式确认SARS是冠状病毒一个变种引发非经典性肺炎（注：这种确认并非是由权威机构定义，而是经对猩猩屡次试验证实）。发觉病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防方法当然就更困难了，企图几个月处理问题注定只能是一个不切实际幻想。第41页 上述研究是将机体看成一个均匀分布同质单元，故被上述研究是将机体看成一个均匀分布同质单元，故被称单房室模型，但机体实际上并不是这么。药品进入血液，称单房室模型，但机体实际上并不是这么。药品进入血液，经过血液循环药品被带到身体各个部位，又经过交换进入经过血液循环药品被带到身体各个部位，又经过交换进入各个器官。所以，要建立更靠近实际情况数学模型就必须各个器官。所以，要建立更靠近实际情况数学模型就必须正视机体部位之间差异及相互之间关联关系，这就需要多正视机体部位之间差异及相互之间关联关系，这就需要多房室系统模型。房室系统模型。IIIk12k21两房室系统图3-10 图图3-103-10表示是一个常见两房室模型，其表示是一个常见两房室模型，其间间k k1212表示由室表示由室I I渗透到室渗透到室IIII改变率前系数，而改变率前系数，而k k2121则表示由室则表示由室IIII返回室返回室I I改变率前系数，它们改变率前系数，它们刻划了两室间内在联络，其值应该用试验测刻划了两室间内在联络，其值应该用试验测定，使之尽可能地靠近实际情况。定，使之尽可能地靠近实际情况。当差异较大部分较多时，当差异较大部分较多时，能够类似建立多房室系能够类似建立多房室系统，即统，即N N房室系统房室系统第42页hy3.53.5 传染病模型传染病模型 传染病是人类大敌，经过疾病传输过程中若干主要原因传染病是人类大敌，经过疾病传输过程中若干主要原因之间联络建立微分方程加以讨论，研究传染病流行规律并找之间联络建立微分方程加以讨论，研究传染病流行规律并找出控制疾病流行方法显然是一件十分有意义工作。在本节中，出控制疾病流行方法显然是一件十分有意义工作。在本节中，我们将主要用多房室系统观点来对待传染病流行，并建立起我们将主要用多房室系统观点来对待传染病流行，并建立起对应多房室模型。对应多房室模型。医生们发觉，在一个民族或地域，当某种传染病流传时，医生们发觉，在一个民族或地域，当某种传染病流传时，涉及到总人数大致上保持为一个常数。即既非全部些人都会涉及到总人数大致上保持为一个常数。即既非全部些人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）涉及人数不会相得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）涉及人数不会相差太大。怎样解释这一现象呢？试用建模方法来加以证实。差太大。怎样解释这一现象呢？试用建模方法来加以证实。问题提出：问题提出：第43页 设某地域共有设某地域共有n+1人，最初时刻共有人，最初时刻共有i人得病，人得病，t时刻已时刻已感染（感染（infective）病人数为）病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传输给时间内将疾病传输给k个人（个人（k称为该疾病传染强度），且设称为该疾病传染强度），且设此疾病既不造成死亡也不会康复此疾病既不造成死亡也不会康复模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大致上反应了传染病流行早期模型，它大致上反应了传染病流行早期病人增加情况，在医学上有一定参考价值，但伴随时间推移，病人增加情况，在医学上有一定参考价值，但伴随时间推移，将越来越偏离实际情况。将越来越偏离实际情况。已感染者与还未感染者之间存在着显著区分，有必要将人已感染者与还未感染者之间存在着显著区分，有必要将人群划分成已感染者与还未感染易感染，对每一类中个体则不加群划分成已感染者与还未感染易感染，对每一类中个体则不加任何区分，来建立两房室系统。任何区分，来建立两房室系统。则可导出：则可导出：故可得：故可得：（3.15）第44页模型模型2 记记t时刻病人数与易感染人数时刻病人数与易感染人数（susceptible）分别为分别为i(t)与与s(t)，初始时刻病人数为，初始时刻病人数为 i。依据病人不死也不会康复假设。依据病人不死也不会康复假设及（竞争项）统计筹算律，及（竞争项）统计筹算律，其中：其中：解得：解得：（3.17）可得：可得：（3.16）统计结果显示，统计结果显示，(3.17)(3.17)预报结果比预报结果比(3.15)(3.15)更靠近实际情况。医学上称曲线更靠近实际情况。医学上称曲线 为传染病为传染病曲线，并称曲线，并称 最大值时刻最大值时刻t1为此传染病流行高为此传染病流行高峰。峰。令：令：得：得：此值与传染病实际高峰期非常靠近，可用作医学上预报公式。模型模型2 2仍有不足之处，它仍有不足之处，它无法解释医生们发觉现象，无法解释医生们发觉现象，且当初间趋与无穷时，模且当初间趋与无穷时，模型预测最终全部些人都得型预测最终全部些人都得病，与实际情况不符。病，与实际情况不符。为了使模型更准为了使模型更准确，有必要再将确，有必要再将人群细分，建立人群细分，建立多房室系统多房室系统第45页infectiverecoveredsusceptiblekl（3.18）l 称为传染病恢复系数 求解过程以下：求解过程以下：对（对（3）式求导，由（）式求导，由（1）、（）、（2）得：）得：解得：解得：记：记：则：则：将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（者和已恢复者（recovered）。分别记）。分别记t时刻三类人数为时刻三类人数为s(t)、i(t)和和r(t)，则可建立下面三房室模型：，则可建立下面三房室模型：模型模型3第46页infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得：从而解得：从而解得：积分得：积分得：（3.19）不难验证，当t+时，r(t)趋向于一个常数，从而能够解释医生们发觉现象。为揭示产生上述现象原因（为揭示产生上述现象原因（3.183.18）中第）中第（1 1）式改写成：）式改写成：其中其中 通常是一个与疾病种类相关通常是一个与疾病种类相关较大常数。较大常数。下面对下面对 进行讨论，请参见右图进行讨论，请参见右图假如假如 ，则有则有 ，此疾病在该地域根本流行不起，此疾病在该地域根本流行不起来。来。假如假如 ，则开始时，则开始时 ，i(t)单增。但在单增。但在i(t)增加同时，增加同时，伴随地有伴随地有s(t)单减。当单减。当s(t)降低到小于等于降低到小于等于 时，时，i(t)开始减开始减小，直至此疾病在该地域消失。小，直至此疾病在该地域消失。鉴于在本模型中作用，鉴于在本模型中作用，被医被医生们称为此疾病在该地域阀生们称为此疾病在该地域阀值。值。引入解释了为何此疾病引入解释了为何此疾病没有涉及到该地域全部些人。没有涉及到该地域全部些人。图3-14 第47页总而言之，模型总而言之，模型3 3指出了传染病以下特征：指出了传染病以下特征：（1 1）当当人人群群中中有有些些人人得得了了某某种种传传染染病病时时，此此疾疾病病并并不不一一定定流传，仅当易受感染人数与超出阀值时，疾病才会流传起来。流传，仅当易受感染人数与超出阀值时，疾病才会流传起来。（2 2）疾疾病病并并非非因因缺缺乏乏易易感感染染者者而而停停顿顿传传输输，相相反反，是是因因为为缺乏传输者才停顿传输，不然将造成全部些人得病。缺乏传输者才停顿传输，不然将造成全部些人得病。（3 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。）种群不可能因为某种传染病而绝灭。模型检验：模型检验：医疗机构普通依据医疗机构普通依据r(t)来统计疾病涉及人数来统计疾病涉及人数，从广义上了，从广义上了解，解，r(t)为为t时刻已就医而被隔离人数，是康复还是死亡对模型时刻已就医而被隔离人数，是康复还是死亡对模型并无影响。并无影响。及：及：注意到：注意到：可得可得：（3.20）第48页 通常情况下，传染病涉及人数占总人数百分比不会太大，通常情况下，传染病涉及人数占总人数百分比不会太大，故故 普通是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：普通是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：积分得：积分得：其中：其中：这里双曲正切函数这里双曲正切函数 ：而：而：对对r(t)求导求导：（3.21）第49页曲线曲线 在医学上被称为疾病传染曲线。在医学上被称为疾病传染曲线。图图3-14给出了（给出了（3.21）式曲线图形，可用医疗单位天天实际式曲线图形，可用医疗单位天天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。登录数进行比较拟合得最优曲线。图3-14（a）第50页3.63.6 糖尿病诊疗糖尿病诊疗 糖尿病是一个新陈代谢疾病，它是由胰岛素缺乏引发新陈代糖尿病是一个新陈代谢疾病，它是由胰岛素缺乏引发新陈代谢紊乱造成。糖尿病诊疗是经过葡萄糖容量测试（谢紊乱造成。糖尿病诊疗是经过葡萄糖容量测试（GTTGTT）来检）来检验，较严重糖尿病医生不难发觉，较为困难是轻微糖尿病诊验，较严重糖尿病医生不难发觉，较为困难是轻微糖尿病诊疗。轻微糖尿病诊疗时主要困难在于医生们对葡萄糖允许剂疗。轻微糖尿病诊疗时主要困难在于医生们对葡萄糖允许剂量标准看法不一。比如，美国罗得岛一位内科医生看了一份量标准看法不一。比如，美国罗得岛一位内科医生看了一份GTTGTT测试汇报后认为病人患有糖尿病，而另一位医生则认为此测试汇报后认为病人患有糖尿病，而另一位医生则认为此人测试结果应属正常。为深入诊疗，这份检测汇报被送到波人测试结果应属正常。为深入诊疗，这份检测汇报被送到波士顿，当地教授看了汇报后则认为此人患有垂体肿瘤。士顿，当地教授看了汇报后则认为此人患有垂体肿瘤。二十世纪二十世纪6060年代中期，北爱尔兰马由医院医生年代中期，北爱尔兰马由医院医生RosevearRosevear和和MolnarMolnar以及美国明尼苏达大学以及美国明尼苏达大学AckemanAckeman和和GatewoodGatewood博士研究了博士研究了血糖循环系统，建立了一个简单数学模型，为轻微糖尿病诊血糖循环系统，建立了一个简单数学模型，为轻微糖尿病诊疗提供了较为可靠依据。疗提供了较为可靠依据。模型假设模型