第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1).doc

陇东学院数学系常微分方程精品课程教案
第四讲  常系数线性微分方程组的解法（4课时）

一、 目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.
二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.
三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念.
四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程：
1 新课引入
由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组
                                                 (3.20)
其中是实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.
由线性代数知识可知，对于任一矩阵，恒存在非奇异的矩阵，使矩阵成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换
     (3.21)
其中 ,将方程组(3.20)化为
                                           (3.22)
我们知道，约当标准型的形式与矩阵A的特征方程

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵的特征根.
下面分两种情况讨论.
(一) 矩阵A的特征根均是单根的情形.
设特征根为这时

方程组(3.20)变为
          (3.23)
易见方程组(3.23)有n个解

把这n个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解

这里是矩阵第列向量，它恰好是矩阵关于特征根的特征向量，并且由线性方程组所确定. 容易看出，构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式在时为. 于是我们得到
定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根彼此互异，且分别是它们所对应的特征向量，则

是方程组(3.20)的一个基本解组.
例1 试求方程组

的通解.
解 它的系数矩阵是

特征方程是

即                   
所以矩阵的特征根为．先求对应的特征向量

满足方程

即

可得. 取一组非零解，例如令，就有. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是

故方程组的通解是

(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根
从上一讲我们已经知道，求解方程组
                （3.20）
归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理3.11，对应解是

其中是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．
 定理3.12 如果实系数线性齐次方程组

有复值解其中与都是实向量函数，则其实部和虚部

证明 因为是方程组(3.8)的解，所以

由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：
 ,
即,都是方程组(3.8)的解.证毕.
定理3.13 如果是区间上的个线性无关的向量函数，是两个不等于零的常数，则向量函数组
                    (3.24)
在区间(a, b)上仍是线性无关的.
证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在个不全为零的常数，使得对区间上的所有皆有

所以

因为线性无关，从而

从上式可知，, 因为, 故. 即所有常数都等于零，矛盾. 证毕.
由代数知识知, 实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果是特征根，则其共轭也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于的复值解形式是

这里是对应于的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根的解，记作 . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为  

由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n个解仍组成基本解组.
例2 求解方程组

 解 它的系数矩阵为

特征方程是

即

特征根为

先求对应的特征向量为

再求所对应的特征向量. 它应满足方程组

即

用2i乘上述第一个方程两端，得

显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即

求它的一个非零解.不妨令 则. 于是对应的解是

故原方程组的通解为

(三) 矩阵A的特征根有重根的情形
由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若是 的重特征根，则由齐次线性方程组

所决定的线性无关特征向量的个数, 一般将小于或等于特征根的重数. 若=,那么矩阵对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若＜，由线性代数的知识，此时也可以求出个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵的列向量，可将矩阵化成若当标准型    

其中未标出符号的部分均为零无素，而

是阶约当块， 是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.
    于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成
                           (3.25)
根据(3.25)的形式，它可以分解成为个可以求解的小方程组.
为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.
设方程组
                                                        （3.26）
中是5.5矩阵，经非奇异线性变换其中且，将方程组(3.26)化为
                                                          (3.27)
我们假定

这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组
                                                 (3.28)
                                       (3.29)
在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得

同样对(3.29)可解得

这里是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现 在(3.29)中不出现．我们依次取

可以得到方程组(3.27)的五个解如下
  ,
从而     
                           (3.31)
是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又
 ,
所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换中可得原方程组(3.26)的五个解，

,              
而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式

则显然有.
至此我们已清楚地看到，若中有一个三阶若当块，是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，
                                          (3.32)
其中每个是的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式

其中都是五维常向量.而对于中的二阶若当块，是(3.26)的二重根，它
所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式

其中也都是五维常向量.
最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若是的一个重特征根，则所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于，而且这些阶数的和恰好等于. 这样，由以上分析我们得到
    定理3.14 设是矩阵的m个不同的特征根，它们的重数分别为. 那么，对于每一个，方程组(3.20)有个形如

的线性无关解，这里向量的每一个分量为x的次数不高于的多项式. 取遍所有的就得到(3.20)的基本解组.
    上面的定理既告诉了我们当的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.
引理3.1 设n阶矩阵互不相同的特征根为，其重数分别是, , 记维常数列向量所组成的线性空间为，则
(1) 的子集合

是矩阵的维不变子空间，并且
(2) 有直和分解
;
现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.
 定理3.15 如果是(3.20)的重特征根，则方程组(3.20)有个形如
                             (3.33)
的线性无关解，其中向量由矩阵方程
             (3.34)
所确定.取遍所有的，则得到(3.20)的一个基本解组.
证明 由定理3.14知，若是（3.20）的重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有

消去，比较等式两端x的同次幂的系数（向量），有
         （3.35）
注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．
这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出，再依次利用矩阵乘法求出. 由引理3.1得知，线性空间可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的，就可以由(3.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n个解. 记这n个解构成的解矩阵为，显然，是由(3.34)最下面的方程求出的n个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵中的各列构成了n维线性空间的一组基，因此，于是是方程组(3.20)的一个基本解组.
例3 求解方程组

解 系数矩阵为

特征方程为

特征根为 其中对应的解是

下面求所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如

并且满足

由于

那么由可解出两个线性无关向量

将上述两个向量分别代入中，均得到为零向量.于是对应的两个线性无关解是

最后得到通解

例4 求解方程组

解 系数矩阵是

特征方程为 , 有三重特征根
由定理3.15，可设其解形如

满足方程组

由于
               故可分别取

再将它们依次代入上面的方程，相应地求得为

为

于是，可得原方程组三个线性无关解

 最后方程的通解可写成

    本讲要点：
 1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
2．复特征根对应实变量复值解，要掌握把复值解实值化．
3．特征根有重根时，利用待定系数法求解． 

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教案编写人:李相锋 李万军