华师大2018年八年级数学(上)总复习.doc

华师大2018年八年级数学（上）总复习
第11章 数的开方
11.1平方根与立方根
一、平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）
即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：5的平方根是
（2）零的平方根是零；例如：0的平方根是0
（3）负数没有平方根。例如：—1没有平方根
二、算术平方根
1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：
（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；例如：3的算术平方根是
（2）零的算术平方根是零；例如：0的算术平方根是0，即
（3）负数没有算术平方根；例如没意义
（4）算术平方根的非负性：≥0.（a≥0）
其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0.
三、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
四、立方根
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）
即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：
（1）一个正数的立方根为正；例如：2的立方根是
（2）一个负数的立方根为负；例如：—2的立方根是

（3）零的立方根是零。即
3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。
中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。
五、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
六、注意事项：
1取值问题
若有意义，则x取值范围是 。（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：x≥3）
若有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数）
2、。如：∵，，∴
3、几个常见的算数平方根的值：，，，，。
七、补充的部分内容
(1) （a≥0）； (2)

§11.2实数与数轴
一、无理数
1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。
2、常见的无理数：
（1）开方开不尽的数。如：，等。
（2）“”类的数。如：，，，，等。
（3）无限不循环小数。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，等
二、实数
1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。
2、与实数有关的概念：
（1）相反数：实数a的相反数为-A．若实数a、b互为相反数，则a+b=0.
（2）倒 数：非零实数a的倒数为（a≠0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1.
（3）绝对值：实数a的绝对值为：
3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。
4、实数的分类：
（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。
（2）按照定义分为： 有理数和无理数统称为实数。
5、几个“非负数”：（1）a2≥0；（2）|a|≥0；（3）≥0.
6、实数与数轴上的点是一 一对应关系。

考试题型
1、 平方根是 （ ）
A、2　 　 B、±2　 　 C、　 　 D、±
2、下列写法错误的是 （ ）
A、 B、
C、 D、＝－4
3.的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
4. 25的平方根是 （ ）
A．±5； B．-5；　　 C． 5； D．25.
5、在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
6、在0，，，这四个数中，是无理数的是（ ）
A、0 B、 C、 D、
7、下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根；其中正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
8. 计算：= 。
9.比较大小：4 （填入“＞”或“＜”号）
10、3的平方根是
11.若一个正数的平方根是2a+1和-a-4，则这个正数是 。
12. 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求。 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…

4
0.4
0.04
40
400
…
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知1.435，求下列各数的算术平方根：
① ； ② ；
（3）根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知1.260，则

第12章 整式的乘除
§12.1幂的运算
一、同底数幂的乘法
公式：底数不变，指数相加。
二、幂的乘方
公式：（m、n均为正整数）。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
三、积的乘方
公式：（n为正整数）。
积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。
四、同底数幂的除法
公式：（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
§12.2 整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。
如：=
二、单项式与多项式相乘
法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：
三、多项式与多项式相乘
法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb

(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。
如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb
§12.3 乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
（2）注意公式的本质特征：a这项前后是一样的，但是b这项前后要互为相反数。
二、完全平方公式
1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
（2）注意公式中“中间的乘积项的符号及系数”。
特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。

§12.4 整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c =-7ab2c
二、多项式除以单项式
法则：只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y
◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

§12.5 因式分解

一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）
因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。
△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；
如：8a2b-4ab+2a=
-5 a2+25 a=
(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)
三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。
1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。
2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
四、综合
1、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否含有“负号—”，若有“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解。
2、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数。

考试题型
一、填空题
1.计算的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
2. 计算的结果是（ ）
A．； B．； C．； D．。
3、下列运算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如果中不含x的项，则m、n满足 （ ）

5、计算的结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、若=1.414，=14.14 则a =（ ）
A、20 B、2000 C、200 D、20000
7、下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、计算的结果为（ ）
A、1 B、 C、 D、
9、分解因式的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、分解因式x3－x的结果是（ ）
A、x（x2－1） B、x（x－1）2 C、x（x＋1）2 D、x（x＋1）（x－1）
11、若，则的值是（ ）
A、1 B、 C、4 D、
12.下列式子正确的是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．（a﹣b）2=a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2
13、（2014•攀枝花）因式分解a2b﹣b的正确结果是（ ）
A、B（a+1）（a﹣1） B．a（b+1）（b﹣1） C．b（a2﹣1） D．b（a﹣1）2
14. 把多项式分解因式，下列结果正确的是 （ ）
A．； B． ；
C． ； D．。
15. 若且，则代数式的值等于（ ）。
A．2； B．1； C．0； D．-1.
16.如图将4个长、宽分别均为、的长方形，摆成了一个大的正方形。

第16题
利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）
A．；
B． ；
C．；
D．。

二、填空题
1.已知a＋＝3，则a2＋的值是__________。
2. 因式分解： 。
3. 计算：= 。
4、若是一个完全平方式，则的值是
5、已知，，则
13、在横线处填上适当的数，使等式成立：
17、计算（1 + x）（x－1）（x＋1）的结果是 。
18、计算2008－4016×2007+2007的结果是 ____ _。
19、已知x2＋x－1 = 0，则代数式x3＋2x2 ＋2008的值为 。
三。计算题：
1、计算：
（1） (2)

（3） (4)

（5） （6）；

(7) （8）

(9)

2.因式分解：
（1） （2）

(3) (4)

（5） （6）

（7） （8）x2（x－y）－（x－y）

（9）3a － 6a + 3 （10） --2a+1

3.先化简，再求值：，其中。

4.先化简，再求值：（x+5）（x－1）+（x－2）2，其中x=－。

5、先化简，再求值：，其中。

6、若，求的值。

7、先化简再求值－，其中。

第13章全等三角形

1、五种基本尺规作图
2、等腰三角形的判定： ①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也相等；
注意：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
3、角平分线：
①性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
②判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上

4、垂直平分线： ①性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
②判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5、。全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 表示方法： ABC ≌ DEF
全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等
6、 三角形全等的判定：
No。1 边边边 (SAS) ：三边对应相等的两个三角形全等。
No。2 角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
No。3 角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。
No。4 角角边（AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。
No。5 斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

第14章 勾股定理
§14.1勾股定理
A
C
B
c
a
b
一、直角三角形三边的关系
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，
∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c
则有：a2+b2=c2.
2、注意事项：假设两条直角边为a、b，斜边为c
⑴已知两边，利用勾股定理可求第三边，常常使用变形公式
①已知两条直角边a、b求斜边c：则
②已知一条直角边a和斜边c求另一条直角边b，则
③已知一条直角边b和斜边c求另一条直角边a，则
⑵勾股定理必须在Rt△使用，若遇到非Rt△，则可引垂线段“造”Rt△。
⑶注意Rt△中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。
二、Rt△的判定
1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。
2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则∠C=90o。
☆“勾股数”：指三个满足a2+b2=c2的正整数，我们称为勾股数。
☆注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt△。
三、反证法的步骤：
先假 结论的反面 是正确的，然后通过 推理证明 ，推出与基本事实， 定理， 定义 ，或 已知条件相矛盾，说明 假设不成立，从而得到 原结论正确 。

§14.2勾股定理的应用
常见问题：
1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。
2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。
3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。
4、阴影面积问题。
5、作图中的作，，，等问题。

§15 数据的收集与表示
生活中的数据无处不在，当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些数据，从而为我们的决策提供依据
频数： 个体出现的次数 总数：样本各个体出现的次数总和

调查和借助统计图表是收集数据的基本方法。做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段
1. 常见的统计图有：(1) 条形统计图 (2) 扇形统计图 (3) 折线统计图
扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比，
条形图能准确地表示出每个项目的具体数目，
折线图能清楚地反映事物的变化趋势
2.扇形统计图及其特点：
(1)扇形统计图是利用圆和扇形来表示 和部分的比例关系，即用圆表示 。
用扇形表示 ，扇形的大小反映
(2) 扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占
3扇形中心角计算方法：
(1) 扇形的中心角=3600 。
(2) 若已知扇形统计图，用量角器量出每个扇形 的读数。
(3) 部分占总体的百分比=。
4. 画扇形统计图的步骤
(1) ；
(2) ；
(3)

第十一章：数的开方
知识点
内容
备注

平方根
概念：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
算术平方根：正数a的正的平方根。记作：
性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根
考点：
（a的取值范围a）
②()
③(a的取值范围为任意实数)
④=
例：=（）=5
⑤=a(a为任意实数)
例：=2， =—2

立方根
概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根
性质：任何实数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0
(1)（a≥0，b≥0）；
（a≥0）；

实数
1. 包括有理数和无理数
2. 实数与数轴上的点一一对应
常见的无理数（无限不循环小数）有：①π②开方开不尽的数，如，等③有规律且无限不循环的小数。
考点：判断下列的数哪些是无理数？
有理数：分数和整数的统称
如：，， 0都是有理数

知识点
内容
备注

幂
的
运
算

同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
逆用：
=
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
逆用：
例：

积的乘法
积的乘方，把积的每一个因式分别相乘，再把所得的幂相乘
=
=
逆用：
=1
同底数幂的除法
同底数幂相处，底数不变，指数相减
逆用：
例：若=2，则的值是？
整
式
的
乘
法

单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同的字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式
例：·
=[3·2]·(·x)·(y·)
=
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加
例：(-2
=(-2+(-2)
=-6+10
多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
例：（X+2）（X—3）
=
=

整
式
的
除
法

单项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
例：24
=（24）（）（）
=8

多项式除以单项式
多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
例： (9)(3x)
=9
=3

乘
法
公
式
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差
例：(a+b)(a-b)=
逆用：=(a+b)(a-b)
两数和的平方公式
两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍
例：
逆用
两数差的平方公式
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍
例：
逆用

因式分解
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
因式分解的方法：
①提公因式法
②运用乘法公式法
③十字相乘法
=(a+b)(a-b)

常考点：
①两种因式分解法一起运用
（先提公因式，然后再运用公式法）
例：
=
②“1”常常要变成“”
例：

第十三章：全等三角形

全
等
三
角
形
性质：全等三角形的对应边和对应角相等
全等三角形的判定：
1. （边边边）S。S。S。：如果两个三角形的三条边都对应地相等，那么这两个三角形全等。
2.（边、角、边）S。A．S。：如果两个三角形的其中两条边都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等，那么这两个三角形全等。
3.（角、边、角）A．S。A．：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，那么这两个三角形全等。
4.（角、角、边）A．A．S。：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且对应相等的角所对应的边对应相等，那么这两个三角形全等。
5.（斜边、直角边）H。L。：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么这两个三角形全等。
常考点：
①公共边
②公共角
③两直线平行（两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补）
④对顶角（对顶角相等）

需要注意：
判定两直角三角形全等：
五个判定都可用，
特殊：斜边直角边

等
腰
三
角
形
等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两底角相等
③等腰三角形“三线合一”（顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合）
④等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴
⑤等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
考点：
①若则说明
②等腰三角形“三线合一”

1. 若
AD
则BD=BC，
∠BAD=∠CAD
2.自己补充完整
判定
①定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
线
段
的
垂
直
平
分
线
线段垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
∵EF ，AC=BC，点D是直线EF上任意一点
∴DA=DB
考点：

若直线EF是线段AB的垂直平分线，
则：
① DA=DB
②是等腰三角形，因此具有等腰三角形的一切性质
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
∵DA=DB
∴点D在线段AB的垂直平分线上

角
平
分
线
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等
∵OP平分∠AOB，且PD，PE，
∴PE=PD

角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
∵PD，PE且PE=PD
∴OP平分∠AOB
互逆命题与互逆定理
第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
每一个命题都有逆命题，但不是每个定理都有逆定理。
考点：判断一个命题或定理的逆命题为真为假

尺规
作图
五个基本的作图方法：
作一条线段等于已知线段
②作一个角等于已知角
③作已知角的平分线
④过一点作已知线段的垂线
⑤作已知线段的垂直平分线

考点：综合考察，例如用尺规作图画直角三角形，等腰三角形等等

等边三角形
性质：①是特殊的等腰三角形，因此具有等腰三角形的一切性质。（等腰三角形包括等边三角形，等腰大于等边）
②等边三角形的三条边相等
③等边三角形的三个角相等，都为60
判定：定义：三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形

第十四章：勾股定理
知识点
内容
备注

勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

a
c
b

勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角

反证法
步骤：
①假设结论的反面是正确的
②然后得出推理或定理与已知条件相矛盾
③从而说明假设不成立，原结论正确
拓展：
如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形不是直角三角形，且边c所对的角不为直角
勾股定理的应用
（把实际问题转化为数学问题）
①常见的勾股数：3、4、5或5、12、13或6、8、10、
②路程最短问题：展开圆柱或者正方体，长方体的面积
③航行问题 已知直角三角形的两条边，求第三条边

第十五章：数据的收集与处理
知识点
内容
备注

频数、频率、总次数
频数：每个对象出现的次数
频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）
公式：
频率=， 总次数=
频率=
频数=总次数频率
考点拓展：
①频数之和等于总次数
②频率之和为1
③频率P取值范围（0P1）
④ 频率可以表示为小数，分数，或者百分数（必须统一）
⑤弄清频数、频率、总次数
三者之间的关系，只其二必可算出第三个

数据的表示
扇形统计图

考查各部分占总体大小的百分比
①各部分的百分比之和等于或者等于1
②各部分的百分比不等于1，不能用扇形统计图表示
条形统计图
考查各部分具体数据
各部分的具体数据为频数
折线统计图
考查总体的变化趋势
常运用于股市与气温的统计

综合考查
①扇形统计图与条形统计图一起考，条形统计图的具体数据为频数，扇形统计图的百分比为频率，从而可以根据公式计算出总次数
②根据统计表，会制作条形统计图（单位值，间隔值要相等）
③根据统计表，会制作扇形统计图（计算百分比和百分数）
④扇形圆心角的度数=百分比
⑤扇形的面积之比=各部分所占百分数之比=各部分圆心角之比