高二导数与函数极值与最值.doc

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：
学员姓名：张欣蕾 辅导科目：数学 学科教师：李欣
授课
类型
T导数与函数极值与最值
C
T
授课日期时段

教学内容

【课前测试】
1、已知函数，讨论的单调性.

2、设为非负实数，函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数的零点个数，并求出零点．

一、知识点梳理
利用导数研究函数的极值
1 极大值： 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数 的一个极大值，记作， 是极大值点
2 极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极小值，记作，是极小值点
3 判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点， 是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
5 函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

二、例题解析
例1、下图是函数的图象，则极大值点是 ，极小值点是 ．

（第1题） （变式1题）

变式:上图是导函数的图象，函数y=f(x)的极大值点是_ 　 _,极小值点是 　 ．

例2、已知函数，求函数f（x）的单调区间和极值。

变式：1、求函数的极值． 如果，则y=的极值又是什么呢？

2、若在处有极值10，求a、b的值．

3、已知函数有极大值和极小值，求a的取值范围。

例3、设函数，已知和为的极值点．（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；（Ⅲ）设，试比较与的大小．

变式：1、求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。

2、已知=，当[－1，2]时，恒成立，则实数的取值范围是____ __.

3、已知函数,曲线在点x=1处的切线为，若时，有极值。（1）求的值；（2）求在［-3，1］上的最大值和最小值.

例4、已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。

变式: 1、设在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则（ ）
A．a=2,b=29 B．a=2,b=3 C．a=3,b=2 D．a=－2,b=－3

2、已知f(x)＝ax3－2ax2＋b(a≠0)，是否存在正实数a，b使得f(x)在区间[－2,1]上的最大值是5，最小值是－11？若存在，求出a，b的值及相应函数f(x)；若不存在，请说明理由．

3、已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；
（2）若在[1,e]上的最小值为，求a的值；

含参数问题
例5、设函数．（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

变式：1、已知是函数的一个极值点，（1）求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）求直线与函数的图象有个交点，求实数的取值范围．

2、设函数且（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。

3、已知：． （Ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）若方程恰好有一个根属于，求的取值范围．

总结：
1、 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数(2)求方程的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则在这个根处无极值
2、利用导数求函数的最值步骤:
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

三、课后作业
1．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[，2]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．21，－　　　　　B．1，－ C．21,0 D．0，－
2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
3．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1 C．0 D．由a确定

4.已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3

5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有(　　)
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)

6.f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的(　　)

7．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.
9. 已知函数
（1）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
（2）若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．

10. 已知二次函数（）的导函数的图象如图所示：
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）令，求在上的最大值．

11.已知是函数的一个极值点. ①求； ②求函数的单调区间；
③若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

12.已知函数 ，．
（1）当时，求曲线在点（3,）处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（3）当函数在上有唯一的零点时，求实数的取值范围．