平面向量教案.doc

教师
阎伟清
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学科
高中数学
年级

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课题
平面向量
教学
重点
1、向量的综合应用。
2、用向量知识,实现几何与代数之间的等价转化
教学
难点
1、向量的综合应用。
2、用向量知识,实现几何与代数之间的等价转化
教学
过程

基本知识回顾:
1。向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.
2。向量的表示方法:
①用有向线段表示--———（几何表示法）；
②用字母、等表示（字母表示法);
③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标，特别地，，，。;若，,则,
3。零向量、单位向量：
①长度为0的向量叫零向量,记为；
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量。（注:就是单位向量）
4。平行向量:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定与任一向量平行.向量、、平行,记作∥∥。共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量。
性质:是唯一)
（其中 ）
5。相等向量和垂直向量:
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
②垂直向量--两向量的夹角为
性质:
（其中 ）
6。向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
平行四边形法则：
（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）
三角形法则
-—加法法则的推广: ……
即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……
②向量的减法向量加上的相反向量,叫做与的差.即:-= + （-)；
差向量的意义： = ， =， 则=-
③平面向量的坐标运算：若，，则，，。
④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ （+）
⑤常用结论：
(1）若,则D是AB的中点
(2）或G是△ABC的重心,则
7．向量的模：
1、定义：向量的大小，记为 ｜｜ 或 ｜｜
2、模的求法:
若 ，则 ||
若, 则 |｜
3、性质:
(1）； （实数与向量的转化关系）
(2），反之不然
（3）三角不等式:
(4) (当且仅当共线时取“=”）
即当同向时 ，； 即当同反向时 ，
（5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,
即
8．实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
(1)｜λ｜=｜λ｜｜｜；
（2）λ〉0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=；
（3）运算定律 λ(μ）=（λμ），(λ+μ）=λ+μ，λ（+）=λ+λ
交换律:；
分配律:
(）·=（·)=·（);
--①不满足结合律：即
②向量没有除法运算。如：,都是错误的
(4）已知两个非零向量，它们的夹角为，则
=
坐标运算：,则
(5）向量在轴上的投影为：
︱︱， （为的夹角，为的方向向量）
其投影的长为 （为的单位向量)
（6）的夹角和的关系：
（1）当时,同向;当时,反向
（2)为锐角时，则有; 为钝角时，则有
9．向量共线定理：
向量与非零向量共线（也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。
10．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2。
（1）不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2）基底不惟一，关键是不共线;
（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
（4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被，,唯一确定的数量。
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A（x，y）,则=（x,y)；当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A（x1，y1），B（x2,y2）,则=（x2-x1，y2-y1）
11。 向量和的数量积：
①·=｜ ｜·｜|cos，其中∈［0，π］为和的夹角.
②|｜cos称为在的方向上的投影。
③·的几何意义是：的长度|｜在的方向上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)，而不是向量.
④若 =（，）， =（x2，), 则
⑤运算律:a·b=b·a，（λa)·b=a·(λb)=λ（a·b）， (a+b）·c=a·c+b·c。
⑥和的夹角公式：cos=＝
⑦｜|2=x2+y2，或｜｜=⑧｜ a·b |≤｜ a ｜·| b ｜。
12。两个向量平行的充要条件:
符号语言：若∥，≠，则=λ
坐标语言为:设=(x1,y1),=（x2,y2），则∥(x1,y1）=λ（x2，y2），即,或x1y2—x2y1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ〉0；当与异向时，λ<0.
｜λ|=，λ的大小由及的大小确定.因此，当，确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
13。两个向量垂直的充要条件：
符号语言：⊥·=0
坐标语言：设=(x1,y1）, =（x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0
例题讲解
例1、已知△ABC中，A（2,-1）,B（3,2），C(—3，—1)，BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。
例2、求与向量=，—1）和=（1,）夹角相等，且模为的向量的坐标。
例3、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使｜｜∶｜｜=1∶3，｜｜∶｜｜=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。
例4、直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
例5、如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且｜|＝|｜＝1,|| ＝，若＝λ+μ（λ,μ∈R），
则λ+μ的值为。
例6、设a=(1，-2）,b=（-3，4），c=（3，2）,则（a+2b）·c=（　 ）
A.（－15,12）　　　B。0 C.－3 D。－11
例7、已知平面向量，且∥,则=（　 ）
A．(-2,—4） B。 （—3，-6） C。 (—4,—8） D。 (—5，—10）
例8、已知平面向量=（1,－3)，=(4,－2),与垂直,则是（ ）
A. －1 B。 1C。 －2D. 2
例9、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F。 若， ,则（ 　 ）

A．B。C。 D.
例10、已知向量 ，函数
（1）求的最小正周期; （2）当时, 若求的值．
例11、已知向量＝（cosx，sinx），＝(）,且x∈［0，]．
(1)求
(2)设函数+，求函数的最值及相应的的值。
提高练习一
一、选择题
1下列命题中正确的是（ ）
AB
CD
2设点，,若点在直线上，且,则点的坐标为（ )
A BC或 D无数多个
3若平面向量与向量的夹角是,且,则（ )
A B C D
4向量，，若与平行，则等于A B C D
5设，，且,则锐角为（ ）
A B C D
二、填空题
1若，且，则向量与的夹角为
2已知向量，，,若用和表示，则=____
3若，，与的夹角为，若,则的值为
4若菱形的边长为，则__________
5若=,=，则在上的投影为________________
三、 解答题
已知，，其中（1)求证：与互相垂直;
(2) 若与的长度相等,求的值（为非零的常数）
提
一、
1 1．设点P（3，—6），Q（—5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为（）。　
A、-9B、—6 C、9 D、6
2．已知=（2，3)， b=(—4,7），则在b上的投影为（)。
A、B、C、D、
3．设点A（1,2)，B(3,5)，将向量按向量=（—1，—1）平移后得向量为（）.
A、（2，3）　　 B、（1，2）　　 C、（3，4)　　 D、（4,7）
4．若（a+b+c）（b+c-a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么ΔABC是（）。
A、直角三角形　B、等边三角形　　C、等腰三角形　　 D、等腰直角三角形
5．已知||=4， |b｜=3， 与b的夹角为60°，则｜+b｜等于（).
A、B、C、D、
6． 已知向量=， 求向量b，使｜b｜=2|｜，并且与b的夹角为。
课后作业
一、选择题
1．在△ABC中，一定成立的是（ ）
A．asinA=bsinBB．acosA=bcosBC．asinB=bsinAD．acosB=bcosA
2．△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形
3．在△ABC中，较短的两边为,且A=45°，则角C的大小是（ ）
A．15°B．75C．120°D．60°
4．在△ABC中，已知，则·等于（ ）
A．－2B．2C．±2D．±4
5．设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥3B．a＞－1C．－1＜a≤3D．a＞0
6．在△ABC中，三边长AB=7,BC=5，AC=6，则·等于( )
A．19B．－14C．－18D．－19
7．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的什么条件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
8．若△ABC的3条边的长分别为3,4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是( ）
A．1∶1B．1∶2C．1∶4D．3∶4
9．已知向量，，若与垂直，则实数=（ ）
A．1B．－1C．0D．2
10．已知向量a=，向量b=，则|2a－b｜的最大值是（ ）
A．4B．－4C．2D．－2
11．已知a、b是非零向量，则｜a｜=｜b｜是(a+b）与(a－b）垂直的( ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长
( ）
A．1公里B．sin10°公里C．cos10°公里D．cos20°公里
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题
13．在△ABC中，BC=3,AB=2,且,A=。
14．在△ABC中，已知AB=l,∠C=50°,当∠B=时，BC的长取得最大值.
15．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且｜a｜=2，|b｜=4,则a与b夹角的余弦值等于 。
16．已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且｜a｜=1，|b｜=2，|c|=3,则（a+2b－c）２＝。
三、解答题
17．设e1、e2是两个互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=－3e1+4e2，求a·b。
18．已知△ABC中,A（2，－1），B（3,2），C(－3，－1），BC边上的高为AD，
求及D点坐标。

签字

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