大学期中试卷.doc

厦门大学《高等代数》课程试卷
数学科学学院 所有 系2004年级 各 专业
主考教师：林鹭、杜妮 试卷类型：（A卷）

注意：所有答案请写在答题纸上
一 选择题（7题×4分）
1．设n阶实对称矩阵A是正交矩阵，则___.
A。 A = I; B. A与I相似； C。 ； D。 A与I 合同。
2． 下列说法错误的是___。
A. A、B为n阶实对称矩阵,若存在n阶可逆方阵C，使得，则A 与 B合同;
B。 A为n阶实对称矩阵,且对任意n维向量x,都有，则A=0；
C。 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩；
D。 实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性。
3．设A为n阶实对称矩阵，则下列条件中有___个必保证A为负定。
①A的正惯性指数=0； ②A的所有顺序主子式〈0;
③A的所有特征值〈0； ④ 对任意非零向量x,都有.
A. 1 B. 2 C。 3 D。 4
4．下列叙述中错误的是___.
A。 A为可逆矩阵，则必是正定矩阵；
B。 A为正定矩阵，则存在可逆矩阵Q，使；
C。 A为正定矩阵，则A的所有对角元必大于零；
D。 A为正定矩阵,则A必正交相似于对角矩阵。
5．设n阶实对称矩阵A的特征值为，则当t___时,为正定矩阵。
A。 B。 ；
C。 ; D。 。
6．设是欧氏空间V的线性变换，则下列命题中___不能作为是正交变换的等价命题.
A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵； B. ；
C. 保积同构； D. 保持距离不变.
7．设是欧氏空间V的自伴随算子,则下列命题中正确的有___个.
①在V的某组基下表示矩阵是对角阵；
②的特征值模为1；
③的属于不同特征值的特征向量必正交;
④。
A. 1； B。 2; C. 3； D。 4。
二 填空题（7题×4分)
1．n阶实对称矩阵按合同分类，共有___类；而n阶对称正交矩阵按相似分类,共有___类.
2．设，，,是R上3阶方阵.则在B, C, D中，___与A正交相似，___与A合同。
3． 设为阶正交矩阵，且,则矩阵方程的解x = ___.
4．中，定义内积为标准内积,则向量的夹角是___，距离是___。
5．设是欧氏空间V的一组标准正交基，,其中，，则___是V1的一组标准正交基。
6．在中，与矩阵的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间W的维数为___。
7．设是n维欧氏空间V的一组基，关于这组基的度量矩阵G，V上线性变换在这组基下的矩阵为A,则的伴随算子在这组基下的矩阵是___,从而为自伴随算子的充分必要条件是___。
三 （12分）
已知二次型.
1．请写出该二次型的相伴矩阵；
2．取什么值时，f是正定的?
3．当= 1时,将二次型f化为标准型并求出相应的非退化线性替换。
四 (12分）
设A，B都是实对称矩阵,证明:存在正交矩阵T，使得的充分必要条件是A，B有相同的特征值。
五 （10分)
设A，B都是实对称矩阵,且B是正定的。若BA的特征值都大于0,证明A是正定矩阵。
六 （10分）
设是n维欧氏空间V上的正交变换,令，,则、都是V的子空间。证明：
1．，即，都有（x，y）= 0;
2．是的正交补。
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