大学期中试卷.doc

厦门大学高等代数课程试卷数学科学学院 所有 系2004年级 各 专业主考教师：林鹭、杜妮 试卷类型：（A卷）注意：所有答案请写在答题纸上一 选择题（7题4分）1设n阶实对称矩阵A是正交矩阵，则_.A。 A = I;B. A与I相似；C。 ；D。 A与I 合同。2 下列说法错误的是_。A. A、B为n阶实对称矩阵,若存在n阶可逆方阵C，使得，则A 与 B合同;B。 A为n阶实对称矩阵,且对任意n维向量x,都有，则A=0；C。 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩；D。 实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性。3设A为n阶实对称矩阵，则下列条件中有_个必保证A为负定。A的正惯性指数=0；A的所有顺序主子式0;A的所有特征值0； 对任意非零向量x,都有.A. 1B. 2C。 3D。 44下列叙述中错误的是_.A。 A为可逆矩阵，则必是正定矩阵；B。 A为正定矩阵，则存在可逆矩阵Q，使；C。 A为正定矩阵，则A的所有对角元必大于零；D。 A为正定矩阵,则A必正交相似于对角矩阵。5设n阶实对称矩阵A的特征值为，则当t_时,为正定矩阵。A。 B。 ；C。 ;D。 。6设是欧氏空间V的线性变换，则下列命题中_不能作为是正交变换的等价命题.A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵； B. ；C. 保积同构；D. 保持距离不变.7设是欧氏空间V的自伴随算子,则下列命题中正确的有_个.在V的某组基下表示矩阵是对角阵；的特征值模为1；的属于不同特征值的特征向量必正交;。A. 1；B。 2; C. 3；D。 4。二 填空题（7题4分)1n阶实对称矩阵按合同分类，共有_类；而n阶对称正交矩阵按相似分类,共有_类.2设，,是R上3阶方阵.则在B, C, D中，_与A正交相似，_与A合同。3 设为阶正交矩阵，且,则矩阵方程的解x = _.4中，定义内积为标准内积,则向量的夹角是_，距离是_。5设是欧氏空间V的一组标准正交基，,其中，则_是V1的一组标准正交基。6在中，与矩阵的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间W的维数为_。7设是n维欧氏空间V的一组基，关于这组基的度量矩阵G，V上线性变换在这组基下的矩阵为A,则的伴随算子在这组基下的矩阵是_,从而为自伴随算子的充分必要条件是_。三 （12分） 已知二次型.1请写出该二次型的相伴矩阵；2取什么值时，f是正定的?3当= 1时,将二次型f化为标准型并求出相应的非退化线性替换。四 (12分）设A，B都是实对称矩阵,证明:存在正交矩阵T，使得的充分必要条件是A，B有相同的特征值。五 （10分)设A，B都是实对称矩阵,且B是正定的。若BA的特征值都大于0,证明A是正定矩阵。六 （10分）设是n维欧氏空间V上的正交变换,令，,则、都是V的子空间。证明：1，即，都有（x，y）= 0;2是的正交补。2