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中考数学经典大题
1. 已知在△ABC中,∠ABC=90°，AB=6，BC=8。点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P。
（1）当点P在线段AB上时,求证:△APQ~△ACB;
（2）当△PQB是等腰三角形时，求AP的长。
2. 如图，对称轴为x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(—3，0）.
（1)求点B的坐标;
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点。
①若点P是抛物线上第三象限内的点,是否存在点P，使得S△POC=4S△BOC，若存在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由。
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
③若M是x轴上方抛物线上的点，过点M作MN⊥x轴于点N,若△MNO与△OBC相似，求M点的坐标。
3. 如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E。
(1)求证：PA是⊙O的切线；
（2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB=12，求AC的长;
（3)在满足（2）的条件下，若AF：FD=1:2，GF=1,求⊙O的半径.
4. 如图，已知函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C。
(1）求△BAD的面积；
（2）点P是抛物线上一动点,是否存在点P，使S△ABP=12S△ABC？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；
（3)在轴上是否存在一点Q，使得△DOQ与△ABC相似，如果存在，求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由。
5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形,点A、B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形。过点M作直线ι与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分AC。
(1）求过A、B、E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3)请问在抛物线上是否存在一点P,使得△ABP的面积等于定值5?若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
6. 如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D,取CB的中点E,DE的延长线与AB的延长线交于点P。
（1)求证：PD是⊙O的切线；
（2)若OB=BP，AD=6,求BC的长；
（3)如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan∠C=2，求AFFE的值。
7. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，2），B(0，1)和点C（-1，-23）.
(1）求抛物线的解析式；
(2）如图，若抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于另一点N（N在对称轴右边），交对称轴于F,若S△PFN=4S△PFM，求点F的坐标；
(3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点G，使△BMA与△MBG相似？若存在,求点G的坐标；若不存在,请说明理由.
8. 如图,PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E、F,过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC,AF。
（1）直线PA是否为⊙O的切线,并证明你的结论；
（2）若BC=16，⊙O的半径的长为17，求tan∠AFD的值；
（3）若OD：DP=1:3，且OA=3，则图中阴影部分的面积为?
9. 将抛物线C1:y=x2平移后的抛物线C2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边）与y轴负半轴交于C点，已知A(—1，0），tan∠CAB=3.
（1）求抛物线C2的解析式;
（2)若点P是抛物线C2上的一点，连接PB,PC。求S△BPC=34S△CAB时点P的坐标;
(3)D为抛物线C2的顶点，Q是线段BD上一动点，连接CQ，点B,D到直线CQ的距离记为d 1，d2，试求出d1+d2的最大值，并求出此时Q点坐标.
10. 如图1，AB为⊙O的直径,TA为⊙O的切线,BT交⊙O于点D，TO交⊙O于点C、E.
（1）若BD=TD,求证:AB=AT;
（2）在(1)的条件下，求tan∠BDE的值；
（3)如图2,若BDTD=43，且⊙O的半径r=7，则图中阴影部分的面积为？
11. 如图，过A（1，0），B（3,0）作x轴的垂线,分别交直线y=4-x于C、D两点。抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点。
（1）求抛物线的表达式；
(2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由;
（3）若点P为抛物线上的一点，连接PD,PC。 求S△PCD=13S△CDB时点P的坐标.
（4）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中
△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值。
12. 如图，点C在以AB为直径的⊙O上,AD与过点C的切线垂直，垂足为点D,AD交⊙O于点E.
（1)求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F,若cos∠CAD=45，求AFFC的值.
13. 如图，在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处，折痕为EC,连结AP并延长交CD于F点。
(1）求证:四边形AECF为平行四边形；
（2)若△AEP是等边三角形，连结BP,求证:△APB≅△EPC；
（3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4，求△CPF的面积。
14. 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a<0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC。
（1）直接写出点A的坐标，并求出直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示）;
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值;
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。
15. 如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC.
（1）求证:PA·BC=AB·CD.
（2）若PA=10，sinP=35,求PE的长.
16. 已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合）,分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.
（1)当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF；
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时.
①若转到如图2的位置，线段CF、AE、OE之间有一个不变的相等关系式，请写出这个关系式。(不用证明)
②若转到图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请予以证明.
17. 已知如图，在平面直角坐标系xoy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1,OB=2，OC=4.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2）在平面直角坐标系xoy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由;
（3）若点M为该抛物线上一动点,在（2）的条件下，请求出当｜PM—AM|为最大值时,点M的坐标,并直接写出|PM-AM｜的最大值。
18. 如图，在Rt△ABC中,∠C=90°，BD平分∠ABC,DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆,交BC于点F。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2)连接EF，若BC=9,CA=12，求EFAC的值。
19. 如图，在正方形ABCD中,AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA,连接CF、AF,AF交CD边于点G，连接PG.
(1）求证:∠GCF=∠FCE；
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系,并证明你的结论;
（3)若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在,请说明理由。
20. 已知抛物线y=-12x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（-4，0），B（1，0)。
(1)求抛物线的解析式；
（2)已知点P在抛物线上,连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标；
（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上,是否存在以A,C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在,请说明理由.
21. 如图1,直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径,⊙O交AC于点D,取CB的中点E,DE的延长线与AB的延长线交于点P。
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）如图2,连接OD，AE相交于点F，若tan∠C=2，求AFFE的值。
22. 已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E，F,且∠EAF=60°.
（1)如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
(2）如图2,当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合）,求证:BE=CF；
(3)如图3，当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离.
23. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,与x轴交于点A(-3,0）和点B（1，0）。与y轴交于点C，顶点为D。
（1）求顶点D的坐标(用含a的代数式表示）;
（2)若△ACD的面积为3。
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移,使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC,求平移后抛物线的解析式。