1、中考数学经典大题1. 已知在ABC中,ABC=90,AB=6,BC=8。点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P。(1)当点P在线段AB上时,求证:APQACB;(2)当PQB是等腰三角形时,求AP的长。2. 如图,对称轴为x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于A、B两点,其中点A的坐标为(3,0).(1)求点B的坐标;(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点。若点P是抛物线上第三象限内的点,是否存在点P,使得SPOC=4SBOC,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。设点Q是线段AC上的动点,作QDx轴交抛物
2、线于点D,求线段QD长度的最大值。若M是x轴上方抛物线上的点,过点M作MNx轴于点N,若MNO与OBC相似,求M点的坐标。3. 如图,已知在ABP中,C是BP边上一点,PAC=PBA,O是ABC的外接圆,AD是O的直径,且交BP于点E。(1)求证:PA是O的切线;(2)过点C作CFAD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AGAB=12,求AC的长;(3)在满足(2)的条件下,若AF:FD=1:2,GF=1,求O的半径.4. 如图,已知函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点,顶点为C。(1)求BAD的面积;(2)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使SABP=12SABC?若存
3、在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在轴上是否存在一点Q,使得DOQ与ABC相似,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由。5. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的M的内接四边形,点A、B在x轴上,MBC是边长为2的等边三角形。过点M作直线与x轴垂直,交M于点E,垂足为点M,且点D平分AC。(1)求过A、B、E三点的抛物线的解析式;(2)求证:四边形AMCD是菱形;(3)请问在抛物线上是否存在一点P,使得ABP的面积等于定值5?若存在,请求出所有的点P的坐标;若不存在,请说明理由。6. 如图1,直角ABC中,ABC=90,AB是O的直径,O交AC于点D
4、,取CB的中点E,DE的延长线与AB的延长线交于点P。(1)求证:PD是O的切线;(2)若OB=BP,AD=6,求BC的长;(3)如图2,连接OD,AE相交于点F,若tanC=2,求AFFE的值。7. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,2),B(0,1)和点C(-1,-23).(1)求抛物线的解析式;(2)如图,若抛物线的顶点为P,点A关于对称轴的对称点为M,过M的直线交抛物线于另一点N(N在对称轴右边),交对称轴于F,若SPFN=4SPFM,求点F的坐标;(3)在(2)的条件下,在轴上是否存在点G,使BMA与MBG相似?若存在,求点G的坐标;若不存在,请说明理由.8. 如图,PB切
5、O于B点,直线PO交O于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交O于点A,延长AO交O于点C,连结BC,AF。(1)直线PA是否为O的切线,并证明你的结论;(2)若BC=16,O的半径的长为17,求tanAFD的值;(3)若OD:DP=1:3,且OA=3,则图中阴影部分的面积为?9. 将抛物线C1:y=x2平移后的抛物线C2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)与y轴负半轴交于C点,已知A(1,0),tanCAB=3.(1)求抛物线C2的解析式;(2)若点P是抛物线C2上的一点,连接PB,PC。求SBPC=34SCAB时点P的坐标;(3)D为抛物线C2的顶点,Q是线段BD上一动点,连
6、接CQ,点B,D到直线CQ的距离记为d 1,d2,试求出d1+d2的最大值,并求出此时Q点坐标.10. 如图1,AB为O的直径,TA为O的切线,BT交O于点D,TO交O于点C、E.(1)若BD=TD,求证:AB=AT;(2)在(1)的条件下,求tanBDE的值;(3)如图2,若BDTD=43,且O的半径r=7,则图中阴影部分的面积为?11. 如图,过A(1,0),B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4-x于C、D两点。抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点。(1)求抛物线的表达式;(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M
7、、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P为抛物线上的一点,连接PD,PC。 求SPCD=13SCDB时点P的坐标.(4)若AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上,且不与点D重合),在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值。12. 如图,点C在以AB为直径的O上,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,AD交O于点E.(1)求证:AC平分DAB;(2)连接BE交AC于点F,若cosCAD=45,求AFFC的值.13. 如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并
8、延长交CD于F点。(1)求证:四边形AECF为平行四边形;(2)若AEP是等边三角形,连结BP,求证:APBEPC;(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求CPF的面积。14. 如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC。(1)直接写出点A的坐标,并求出直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若ACE的面积的最大值为54,求a的值;(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线
9、上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由。 15. 如图,已知AB为O的直径,PA与O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC.(1)求证:PABC=ABCD.(2)若PA=10,sinP=35,求PE的长.16. 已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.(1)当点P与点O重合时如图1,求证:OE=OF;(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当OFE=30时.若转到如图2的位置,线段CF、AE、
10、OE之间有一个不变的相等关系式,请写出这个关系式。(不用证明)若转到图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请予以证明.17. 已知如图,在平面直角坐标系xoy中,点A、B、C分别为坐标轴上的三个点,且OA=1,OB=2,OC=4.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当PMAM|为最大值时,点M的坐标,并直接写出|PM-AM的最大值。18. 如图,在RtABC中,C=90,BD
11、平分ABC,DEBD交AB于E,O是BDE的外接圆,交BC于点F。(1)求证:AC是O的切线;(2)连接EF,若BC=9,CA=12,求EFAC的值。19. 如图,在正方形ABCD中,AB=5,P是BC边上任意一点,E是BC延长线上一点,连接AP,作PFAP,使PF=PA,连接CF、AF,AF交CD边于点G,连接PG.(1)求证:GCF=FCE;(2)判断线段PG,PB与DG之间的数量关系,并证明你的结论;(3)若BP=2,在直线AB上是否存在一点M,使四边形DMPF是平行四边形,若存在,求出BM的长度,若不存在,请说明理由。20. 已知抛物线y=-12x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两
12、个交点分别为A(-4,0),B(1,0)。(1)求抛物线的解析式;(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;(3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.21. 如图1,直角ABC中,ABC=90,AB是O的直径,O交AC于点D,取CB的中点E,DE的延长线与AB的延长线交于点P。(1)求证:PD是O的切线;(2)如图2,连接OD,AE相交于点F,若tanC=2,求AFFE的值。22. 已知四边形ABCD是菱形,AB=4,ABC=60,EAF的两
13、边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且EAF=60.(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且EAB=15时,求点F到BC的距离.23. 如图,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)。与y轴交于点C,顶点为D。(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示);(2)若ACD的面积为3。求抛物线的解析式;将抛物线向右平移,使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P,且PAB=DAC,求平移后抛物线的解析式。