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浏阳一中2021年上学期高二期末考试试卷
理 科 数 学
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：胡朝阳 审题人：罗移丰
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．复数的共轭复数是（ ）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．设集合， 集合, 则 （ ）
A． B． C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的定义域是( )．
A． B． C． D．
5．已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．某全日制高校共有同学5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，争辩生有900人．现接受分层抽样的方法调查同学利用因特网查找学习资料的状况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与争辩生这三类同学中分别抽取
A．55人，80人，45人 B．40人，100人，40人
C．60人，60人，60人 D．50人，100人，30人
7．若变量满足约束条件，则的最大值和最小值分别为 （ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象是（ ）
9． 已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B＝，b＝2，
sin C＝2sin A，则△ABC的面积为( )．
A. B. C. D.
10．学校组织同学参与社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同支配方法有（ ）
A．70种 B．140种 C．840种 D．420种
11．若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为 （ ）
A、1 B． C． D．6
12．已知函数在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“都有”的否定： ；
14． .
15．平面上三点，向量=3，=2，设P是线段AB 垂直平分线上一点，则的值为__________.
16．下列说法：
①函数的零点只有1个且属于区间；
②若关于的不等式恒成立，则；
③函数的图像与函数的图像有3个不同的交点；
④函数的最小值是1.
正确的有 .（请将你认为正确说法的序号都写上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分） 已知等差数列满足：.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
18．（本题满分12分）如图,已知四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,,是的中点．
(1)证明平面；
(2)求二面角的余弦值．
19．（本题满分12分）某同学参与语、数、外三门课程的考试,设该同学语、数、外取得优秀成果的概率分别为,m,n（m>n）,设该同学三门课程都取得优秀成果的概率为,都未取得优秀成果的概率为,且不同课程是否取得优秀成果相互独立．
（1）求m,n；
（2）设X为该同学取得优秀成果的课程门数,求EX．
20． （本题满分12分）设A是圆上的任意一点，是过点A与轴垂直的直线，D是直线与轴的交点，点M在直线上，且满足．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．
（1）求曲线的标准方程；
（2）设曲线的左右焦点分别为、，经过的直线与曲线交于P、Q两点，若，求直线的方程．
21．（本题满分12分）已知函数（为实数）．
（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；
（Ⅲ）已知，求证：．
请考生从第22、23、24三题中任选1题作答，若多做，按所做的第一个题目计分
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,
A
C
P
D
O
E
F B
（Ⅰ）求的长度．
（Ⅱ）若圆F与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线的方程为，圆的方程为．
(1) 把直线和圆的方程化为一般方程；
(2) 求圆上的点到直线距离的最大值．
24．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：复数，共轭复数为
考点：复数运算与共轭复数
2．A
【解析】
试题分析：，，则．
考点：1．一元二次不等式；2．指数不等式；3．集合的运算．
3．D
【解析】
试题分析：由于成立，的符号是不确定的，所以不能推出成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．
考点：充分必要条件的推断．
4．D
【解析】
试题分析： 要使函数有意义应满足解得
考点：函数的定义域．
5．A
【解析】
试题分析：由等差数列性质可知
考点：等差数列性质
6．D
【解析】
试题分析：专科生：本科生：争辩生，抽取的专科生人数人，
抽取的本科生人数人，抽取的争辩生人数人，故答案为D．
考点：分层抽样的应用．
7．B．
【解析】
试题解析：依题可画出其约束条件的可行域如下图所示，
1
1
x
y
O
A(1,0)
B(2,0)
l
又目标函数：即，∴ 当其表示直线经过点时，有最小值为2；当经过点时，有最大值为4，故选B
考点：二元一次不等式线性规划
8．B
【解析】
试题分析：由，得是偶函数，图象关于轴对称，因此排解A，C，当，，，因此，故答案为B．
考点：函数图象的推断．
9．B
【解析】由正弦定理，得c＝2a①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－2ac×②
由①②得：a＝1，c＝2，又sin B＝＝.所以S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝
11．D
【解析】
试题分析：由于直线，始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心则，即；则
．令，则在上单调递减，，故的最小值为6．
考点：直线与圆的位置关系、基本不等式．
【改编简介】本题改编自2021届山东省乐陵市一中高三上学期期中考试文试卷第8题，改编了①条件（给定的关系），②这是一道易错题，简洁利用基本不等式求最小值．
10．D
【解析】
试题分析：接受反面来做，首先从9名同学中任选3名参与社会调查有种，3名同学全是男生或全是女生的有种，故选出的同学中男女均有，则不同支配方法有种不同选法
考点：排列与组合
12．A
【解析】
试题分析：由已知得，，且，等价于函数在区间上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在区间的切线斜率大于1恒成立．
，即恒成立，变形为，由于，故．
考点：1、导数的几何意义；2、二次函数的最大值.
13．使得
【解析】
试题分析：特称命题的否定式全称命题，否定时将结论加以否定，的否定为，所以命题的否定为使得
考点：全称命题与特称命题
14．.
【解析】
试题分析：.
考点：定积分的计算.
【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查同学的运算求解力气，属于简洁题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.
15．
【解析】
试题解析：取为中点，
考点：向量的数量积运算
16．①④
【解析】
试题分析：①函数在上是增函数,且, .所以①正确.
②当时原不等式变形为,恒成立;当时,要使关于的不等式恒成立,则,综上可得关于的不等式恒成立时.故②不正确.
③由函数图像可知函数的图像与函数的图像只有一个交点,故③不正确.
④,时, ,所以此函数在上单调递增.所以.故④正确.
考点：函数的性质;
17．解析：（Ⅰ）设的首项为，公差为，则由得，解得所以；
（Ⅱ）由得.]
.
18．解法一：(1)连结，设与交于点，连结.
∵底面ABCD是正方形，∴为的中点，又为的中点，
∴， ∵平面，平面，∴平面.
解法二：(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则.
∴,设是平面的一个法向量,
则由
∵，∴, ，∴
(2) 由(1)知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，由题意可知.
∴.
19. 试题解析：（1）设该同学语、数、外取得优秀成果分别为大事A、B、C,∴P（A）=, P（B）=m ,P（C）=n ,
由已知条件可知：P（ABC）=,P（）=,∴,
又m>n,则m= ,n=．6分
（2）∵X=0,1,2,3,P（X=0）=,P（X=1）=P（A+B+C）=,P（X=2）=P（AB+AC+BC）=,
P（X=3）=,∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴EX=0+1+2+3=． 12分
考点：随机变量的概率、分布列、期望．
20．（1）；（2）5.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础学问，考查同学的分析问题解决问题的力气、转化力气、计算力气.第一问，设出点斜式的直线的方程，再结合椭圆的离心率解出a，b，c，从而写出椭圆的方程；其次问，分直线的斜率是否存在两种状况争辩，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k与m的关系，再计算，利用基本不等式求最值.
试题解析：（1）由于直线的倾斜角为，，所以，直线的方程为，
由已知得，所以.又，所以，,
椭圆的方程 . 4分
（2））当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，
由在椭圆上，则，而，则
知=. 5分
当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得
，即，由题意，即.
. 7分
，,
化为，，
即.
则，满足, 9分
由前知，，
.
11分
，当且仅当，即时等号成立，
故.
综上可知的最大值为. 12分
考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.
21．（1）；（2） 或；（3）证明略.
【解析】
试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，依据函数在区间上不存在极值，得到的取值范围，再利用二次函数的对称轴与开口方向求得最值，得到关于的不等式，再进行求解；（3）先判定函数的单调性，再合理进行赋值放缩进行证明.
试题解析：（Ⅰ）当时，，
，
则，
函数的图象在点的切线方程为：，
即 3分
（Ⅱ），由
由于函数在区间上不存在极值，所以或 4分
由于存在满足，所以 5分
对于函数，对称轴
①当或，即或时，，
由，结合或可得：或
②当，即时，，
由，结合可知：不存在；
③当，即时，；
由，结合可知：
综上可知： 或 8分
（Ⅲ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在处取得最大值
即，∴， 10分
令，则，即，
∴
．
故． 12分
考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.函数的极值；4.放缩法.
22．（Ⅰ）．
（Ⅱ）
【解析】
试题分析：第一问依据圆的性质，得出相应的相等角，从而得出相像三角形，从而得出线段成比例，进而求得结果，其次问依据割线定理求得结果．
A
C
P
D
O
E
F B
试题解析：（Ⅰ）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长等于弧长可得,
又,,
从而,故∽,
∴, 4分
由割线定理知,故． 6分
（Ⅱ）若圆F与圆内切，设圆的半径为，由于即
所以是圆的直径，且过点圆的切线为
则，即 10分
考点：圆的性质，相像三角形，各线定理．
23．（1）；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）先消去参数，得到圆的一般方程，再利用化成极坐标方程；（2）联立两曲线的极坐标方程，求出曲线的交点，再求两点间的距离．
解题思路:曲线的一般方程、参数方程、极坐标方程间的相互转化，消去参数方程中的参数得到一般方程，利用实现极坐标方程与一般方程的互化．
试题解析：圆的一般方程为，又，所以圆的极坐标方程为；
设为点的极坐标，则有，解得；
设为点的极坐标，则有，解得；
，,即线段 长为2．
考点：1．曲线的参数方程、一般方程、极坐标方程的互化；2．曲线的交点；3．两点的距离公式．
24．
【解析】
试题分析：直接利用柯西不等式即可解决
试题解析：由柯西不等式，， 4分
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为． 10分
考点：柯西不等式
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