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必修四易错题高一下

必修四易错训练题

一．选择题（共6小题）
1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．﹣1
2．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．已知点D为△ABC所在平面内一点．且=3+4，若点E为直线BC上一点，且=λ，则λ的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
5．以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（　　）
A．若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得
B．对于任意非零向量，若，则
C．任意非零向量满足，则同向
D．若A，B，C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近
6．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得==…=，则n的最大值等于（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11

二．填空题（共4小题）
7．在△ABC中，CA=2CB=2，•=﹣1，O是△ABC的外心，若=x+y，则x+y=　 　．
8．已知△ABC的外心为O，且2+3+4=，则cos∠BAC的值是　 　．
9．已知函数，给出下列结论：
①f（x）的定义域为；
②f（x）的值域为[﹣1，1]；
③f（x）是周期函数，最小正周期为2π；
④f（x）的图象关于直线对称；
⑤将f（x）的图象按向量平移得到g（x）的图象，则g（x）为奇函数．
其中，正确的结论是　 　（将你认为正确的结论序号都写出）
10．若y=sinx2+2cosx在区间[，a]（a≥0）上的最小值为﹣，则a的取值范围是　 　．

三．解答题（共1小题）
11．已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数y=f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；
（1）若m=，判断f（x）=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）若m1，m2∈R且（m1，），（m2，）均为f（x）=sin2x的“可平衡”数对，当0＜x＜时，方程m1+m2=a有两个不相等的实根，求a 的取值范围．

必修四易错训练题
参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）
1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．﹣1
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算•（+）的最小值即可．
【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A（0，），B（﹣，0），C（，0），
设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），
所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（﹣y）•（﹣2y）=2x2﹣y+2y2
=2x2+2（y﹣）2﹣；
所以当x=0，y=时，取得最小值是﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是中档题．

2．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【分析】根据题意，由•（+）=2•得出P在AB的中垂线上，由得出点P在BC的中垂线上，即点P是△ABC的外心．
【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则+=2，
∵•（+）=2•，即2•=2•，
∴•（﹣）=•=0，即⊥，
∴P在AB的中垂线上，
又．
∴（+）•（﹣）=﹣2•，
∴（+）•=﹣2•，
即•（+）=2•，
∴点P也在BC的中垂线上，
∴点P是△ABC的外心．
故选：A．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，所示中档题．

3．已知点D为△ABC所在平面内一点．且=3+4，若点E为直线BC上一点，且=λ，则λ的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用平面向量基本定理以及向量共线的关系分别得到的两个表达式，根据定理得到对应向量系数相等，得到方程组解之．
【解答】解：因为点E为直线BC上一点，所以设，且=λ，
所以
=（1+λ）（）
=（1+λ）+（1+λ）x
=（1+λ）（1﹣x）+（1+λ）x
=，
由平面向量基本定理得到，解得λ=6；
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出△ABC是等腰三角形．
【解答】解：因为（﹣）•（+﹣2）=0，
即•（+）=0；
又因为﹣=，
所以（﹣）•（+）=0，
即||=||，
所以△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是综合性题目．

5．以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（　　）
A．若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得
B．对于任意非零向量，若，则
C．任意非零向量满足，则同向
D．若A，B，C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近
【分析】举例说明=时，命题A不成立；
根据平面向量的数量积运算与模长公式，判断命题B正确；
由平面向量数量积公式知方向相同或相反，判断命题C错误；
根据平面向量的线性运算法则，得出2=，判断命题D错误．
【解答】解：对于A，共线且为非零向量，若=时，
则不存在实数λ，使成立，∴A错误；
对于B，对于任意非零向量，若，
则﹣=0，即，∴B正确；
对于C，任意非零向量满足，
则它们夹角的余弦值cosθ=±1，∴同向或反向，C错误；
对于D，如图所示，

，∴+=+，
∴（﹣）=（﹣），
∴2=，
∴点A是线段BC的三等分点且离B点较近，∴D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与命题真假的判断问题，是中档题．

6．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得==…=，则n的最大值等于（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．
【解答】解：设==…==k，
则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，
作出函数f（x）和y=kx的图象，
由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，
即n的最大值为10，
故选：C．

【点评】本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

二．填空题（共4小题）
7．在△ABC中，CA=2CB=2，•=﹣1，O是△ABC的外心，若=x+y，则x+y=　　．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与数量积运算，
列方程组求出x、y的值，再计算x+y．
【解答】解：如图所示，
分别取CA，CB的中点D，E．连接OD，OE，
则OD⊥CA，OE⊥CB；
∴•=OC•AC•cos∠OCA=CD•CA=2，
同理可得：•=CE•CB=；
又•=（x+y）•=4x﹣y，
•=（x+y）•=﹣x+y，
∴，
解得x=，y=，
∴x+y=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．

8．已知△ABC的外心为O，且2+3+4=，则cos∠BAC的值是　　．
【分析】利用向量的运算得出4||2=9||2+16||2+24，再利用外接圆得出4R2=25R2+24R2cos∠BOC，cos∠BOC=﹣，
最后利用圆的几何性质，二倍角公式求解即可．
【解答】解：∵△ABC的外心为O，且2+3+4=，半径为R
∴﹣2=3+4，
平方得出：4||2=9||2+16||2+24
∴4R2=25R2+24R2cos∠BOC
cos∠BOC=﹣，
∵根据圆的几何性质得出：∠BOC=2∠BAC，
﹣=2cos2∠BAC﹣1，
∴cos∠BAC=
故答案为：

【点评】本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题

9．已知函数，给出下列结论：
①f（x）的定义域为；
②f（x）的值域为[﹣1，1]；
③f（x）是周期函数，最小正周期为2π；
④f（x）的图象关于直线对称；
⑤将f（x）的图象按向量平移得到g（x）的图象，则g（x）为奇函数．
其中，正确的结论是　③④　（将你认为正确的结论序号都写出）
【分析】①sinx+cosx=sin（x+）≠0⇒x+≠kπ⇒x≠kπ﹣，①显然错；
②由==±1，可判断②；
③由==±1，f（x+2π）=f（x）可判断f（x）是周期函数，
又f（x）=可判断最小正周期为2π；
由f（x）的图象可判断 ④的正误；
⑤将函数的图象按向量平移，g（x）=≠g（﹣x），其正误可判．
【解答】解：∵sinx+cosx=sin（x+）≠0，
∴x+≠kπ即x≠kπ﹣，故①错误；
∵==±1，
∴f（x）的值域为{﹣1，1}，故②错误；
∵f（x+2π）===f（x），
∴f（x）是周期函数，
又f（x）=，
∴其最小正周期为2π；故③正确；
由f（x）=的图象可知…x=﹣，x=，x=，…均为其对称轴，故④正确；
将函数的图象按向量平移得g（x）=，
g（﹣x）==≠，故⑤错误．
综上所述：③④正确．
故答案为：③④．
【点评】本题考查正余弦函数的定义域和值域，向量的平移及三角函数的周期性及其求法，着重考查学生综合分析与应用的能力，注重了分类讨论，转化，数形结合思想的考查，属于难题．

10．若y=sinx2+2cosx在区间[，a]（a≥0）上的最小值为﹣，则a的取值范围是　[0，]　．
【分析】利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用二次函数的单调性即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，
令t=cosx，得到：y=﹣（t﹣1）2+2，
当x=时，t=cos（）=﹣，
当t=时，y=﹣，
当t=1时，y=2，
又由x∈[，a]，
可知cosx∈[﹣，1]，可使函数的值域为[﹣，2]，
∴有a≥0，且a≤，从而可得a的取值范围是：0≤a≤．
故答案为：[0，]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大．

三．解答题（共1小题）
11．已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数y=f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；
（1）若m=，判断f（x）=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）若m1，m2∈R且（m1，），（m2，）均为f（x）=sin2x的“可平衡”数对，当0＜x＜时，方程m1+m2=a有两个不相等的实根，求a 的取值范围．
【分析】（1）假设f（x）=sinx是“可平衡”函数，由题意sinx=sin（x+k）+sin（x﹣k），由此求出m、k的值；
（2）由题意求出m1、m2的值，利用m1+m2=a，结合三角函数的图象与性质求出a 的取值范围．
【解答】解：（1）假设f（x）=sinx是“可平衡”函数，则由题意应有：
sinx=sin（x+k）+sin（x﹣k）
=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk﹣cosxsink
=2sinxcosk；
∴cosk=，解得 k=2tπ±，t∈Z；
∴存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，
均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立；
∴f（x）=sinx是“可平衡”函数，
且 ；
（2）由题意m1sin2x=sin2（x+）+sin2（x﹣）=2cos2x，
∴m1=；
m2sin2x=sin2（x+）+sin2 （x﹣）=sin2（x+）+cos2（x+）=1，
解得m2=；
∴m1+m2===a，
解得cos2x=，
∵0＜x＜，∴0＜2x＜，
∴﹣＜cos2x＜1，且y=cos2x是单调递减，
∴方程m1+m2=a不会有两个不相等的实根，即a的取值范围为∅．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是综合题．