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必修四易错题高一下必修四易错训练题一选择题（共6小题）1已知ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）ABCD12设P是ABC所在平面内的一点，若且则点P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心3已知点D为ABC所在平面内一点且=3+4，若点E为直线BC上一点，且=，则的值为（）A4B5C6D74若O为ABC所在平面内任一点，且满足（）（+2）=0，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形5以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（）A若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数，使得B对于任意非零向量，若，则C任意非零向量满足，则同向D若A，B，C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近6函数f（x）=sinx在区间（0，10）上可找到n个不同数x1，x2，xn，使得=，则n的最大值等于（）A8B9C10D11二填空题（共4小题）7在ABC中，CA=2CB=2，=1，O是ABC的外心，若=x+y，则x+y= 8已知ABC的外心为O，且2+3+4=，则cosBAC的值是 9已知函数，给出下列结论：f（x）的定义域为；f（x）的值域为1，1；f（x）是周期函数，最小正周期为2；f（x）的图象关于直线对称；将f（x）的图象按向量平移得到g（x）的图象，则g（x）为奇函数其中，正确的结论是 （将你认为正确的结论序号都写出）10若y=sinx2+2cosx在区间，a（a0）上的最小值为，则a的取值范围是 三解答题（共1小题）11已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m0），使得对于定义域内的任意实数x，均有mf（x）=f（x+k）+f（xk）成立，则称函数y=f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；（1）若m=，判断f（x）=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若m1，m2R且（m1，），（m2，）均为f（x）=sin2x的“可平衡”数对，当0x时，方程m1+m2=a有两个不相等的实根，求a 的取值范围必修四易错训练题参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1已知ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）ABCD1【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算（+）的最小值即可【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，），B（，0），C（，0），设P（x，y），则=（x，y），=（x，y），=（x，y），所以（+）=x（2x）+（y）（2y）=2x2y+2y2=2x2+2（y）2；所以当x=0，y=时，取得最小值是故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是中档题2设P是ABC所在平面内的一点，若且则点P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【分析】根据题意，由（+）=2得出P在AB的中垂线上，由得出点P在BC的中垂线上，即点P是ABC的外心【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则+=2，（+）=2，即2=2，（）=0，即，P在AB的中垂线上，又（+）（）=2，（+）=2，即（+）=2，点P也在BC的中垂线上，点P是ABC的外心故选：A【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，所示中档题3已知点D为ABC所在平面内一点且=3+4，若点E为直线BC上一点，且=，则的值为（）A4B5C6D7【分析】利用平面向量基本定理以及向量共线的关系分别得到的两个表达式，根据定理得到对应向量系数相等，得到方程组解之【解答】解：因为点E为直线BC上一点，所以设，且=，所以=（1+）（）=（1+）+（1+）x=（1+）（1x）+（1+）x=，由平面向量基本定理得到，解得=6；故选：C【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4若O为ABC所在平面内任一点，且满足（）（+2）=0，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出ABC是等腰三角形【解答】解：因为（）（+2）=0，即（+）=0；又因为=，所以（）（+）=0，即|=|，所以ABC是等腰三角形故选：A【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是综合性题目5以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（）A若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数，使得B对于任意非零向量，若，则C任意非零向量满足，则同向D若A，B，C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近【分析】举例说明=时，命题A不成立；根据平面向量的数量积运算与模长公式，判断命题B正确；由平面向量数量积公式知方向相同或相反，判断命题C错误；根据平面向量的线性运算法则，得出2=，判断命题D错误【解答】解：对于A，共线且为非零向量，若=时，则不存在实数，使成立，A错误；对于B，对于任意非零向量，若，则=0，即，B正确；对于C，任意非零向量满足，则它们夹角的余弦值cos=1，同向或反向，C错误；对于D，如图所示，+=+，（）=（），2=，点A是线段BC的三等分点且离B点较近，D错误故选：B【点评】本题考查了平面向量的基本概念与命题真假的判断问题，是中档题6函数f（x）=sinx在区间（0，10）上可找到n个不同数x1，x2，xn，使得=，则n的最大值等于（）A8B9C10D11【分析】作出函数f（x）的图象，设=k，则由数形结合即可得到结论【解答】解：设=k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C【点评】本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键二填空题（共4小题）7在ABC中，CA=2CB=2，=1，O是ABC的外心，若=x+y，则x+y=【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与数量积运算，列方程组求出x、y的值，再计算x+y【解答】解：如图所示，分别取CA，CB的中点D，E连接OD，OE，则ODCA，OECB；=OCACcosOCA=CDCA=2，同理可得：=CECB=；又=（x+y）=4xy，=（x+y）=x+y，解得x=，y=，x+y=故答案为：【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题8已知ABC的外心为O，且2+3+4=，则cosBAC的值是【分析】利用向量的运算得出4|2=9|2+16|2+24，再利用外接圆得出4R2=25R2+24R2cosBOC，cosBOC=，最后利用圆的几何性质，二倍角公式求解即可【解答】解：ABC的外心为O，且2+3+4=，半径为R2=3+4，平方得出：4|2=9|2+16|2+244R2=25R2+24R2cosBOCcosBOC=，根据圆的几何性质得出：BOC=2BAC，=2cos2BAC1，cosBAC=故答案为：【点评】本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于基础题9已知函数，给出下列结论：f（x）的定义域为；f（x）的值域为1，1；f（x）是周期函数，最小正周期为2；f（x）的图象关于直线对称；将f（x）的图象按向量平移得到g（x）的图象，则g（x）为奇函数其中，正确的结论是（将你认为正确的结论序号都写出）【分析】sinx+cosx=sin（x+）0x+kxk，显然错；由=1，可判断；由=1，f（x+2）=f（x）可判断f（x）是周期函数，又f（x）=可判断最小正周期为2；由f（x）的图象可判断 的正误；将函数的图象按向量平移，g（x）=g（x），其正误可判【解答】解：sinx+cosx=sin（x+）0，x+k即xk，故错误；=1，f（x）的值域为1，1，故错误；f（x+2）=f（x），f（x）是周期函数，又f（x）=，其最小正周期为2；故正确；由f（x）=的图象可知x=，x=，x=，均为其对称轴，故正确；将函数的图象按向量平移得g（x）=，g（x）=，故错误综上所述：正确故答案为：【点评】本题考查正余弦函数的定义域和值域，向量的平移及三角函数的周期性及其求法，着重考查学生综合分析与应用的能力，注重了分类讨论，转化，数形结合思想的考查，属于难题10若y=sinx2+2cosx在区间，a（a0）上的最小值为，则a的取值范围是0，【分析】利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用二次函数的单调性即可得到a的取值范围【解答】解：y=sin2x+2cosx=1cos2x+2cosx=（cosx1）2+2，令t=cosx，得到：y=（t1）2+2，当x=时，t=cos（）=，当t=时，y=，当t=1时，y=2，又由x，a，可知cosx，1，可使函数的值域为，2，有a0，且a，从而可得a的取值范围是：0a故答案为：0，【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大三解答题（共1小题）11已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m0），使得对于定义域内的任意实数x，均有mf（x）=f（x+k）+f（xk）成立，则称函数y=f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；（1）若m=，判断f（x）=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若m1，m2R且（m1，），（m2，）均为f（x）=sin2x的“可平衡”数对，当0x时，方程m1+m2=a有两个不相等的实根，求a 的取值范围【分析】（1）假设f（x）=sinx是“可平衡”函数，由题意sinx=sin（x+k）+sin（xk），由此求出m、k的值；（2）由题意求出m1、m2的值，利用m1+m2=a，结合三角函数的图象与性质求出a 的取值范围【解答】解：（1）假设f（x）=sinx是“可平衡”函数，则由题意应有：sinx=sin（x+k）+sin（xk）=sinxcosk+cosxsink+sinxcoskcosxsink=2sinxcosk；cosk=，解得 k=2t，tZ；存在实数m、k（m0），使得对于定义域内的任意实数x，均有mf（x）=f（x+k）+f（xk）成立；f（x）=sinx是“可平衡”函数，且 ；（2）由题意m1sin2x=sin2（x+）+sin2（x）=2cos2x，m1=；m2sin2x=sin2（x+）+sin2 （x）=sin2（x+）+cos2（x+）=1，解得m2=；m1+m2=a，解得cos2x=，0x，02x，cos2x1，且y=cos2x是单调递减，方程m1+m2=a不会有两个不相等的实根，即a的取值范围为【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是综合题