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生产计划问题优化

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问题的提出
文档介绍：生产计划问题优化
摘要
某厂用一套设备生产若干种产品。工厂靠银行贷款筹集资金,现在为工厂制订合理、易行的生产计划,使得生产成本、准备费用以及储存费用之和尽可能小。
(1) 为了很好的解决稳定的、周期性生产计划问题,我们建立了非线性规划的模型。利用题中的条件找出各个约束条件,并且得出的费用最小的目标函数为:

(2)考虑到n种产品时,只是在一个周期中轮换更替生产不同的产品,从而满足每天对n中产品的需求,求解方法与思想与第一问相同。我们先在网上查找优化一组数据进行验证。当n=2时,运用LINGO软件求出最优计划如下:
生产周期为7天,甲连续生产4天,每天生产525件;乙连续生产3天,每天生产467件。每个周期需要贷款的最少资金为182126.0。
关键词:非线性规划约束条件目标函数 LINGO

生产计划问题优化
问题重述:
某厂用一套设备生产若干种产品。工厂靠银行贷款筹集资金,根据市场需求安排生产,现考虑以下的简化情形: 
1) 设生产甲乙两种产品, 市场对它们的需求分别为d1,d2 (件/天),该设备生产它们的最大能力分别为U1,U2 (件/天),生产成本分别为c1,c2 (元/件)。当改变产品时因更换零部件等引起的生产甲乙前的准备费用分别为 s1,s2(元)。生产出的产品因超过当天的需求而导致的贮存费用,按生产成本的月利率r引起的积压资金的k倍计算(每月按30天计)。
设每种产品的生产率都可以从零到最大能力之间连续调节,每种产品当前的需求均需满足。请您为工厂制订合理、易行的生产计划,使上面考虑到的费用之和尽可能小。
2)考虑有n种产品的情形,自行给出一组数据进行计算,讨论模型有解的条件。
模型假设
在生产中,对甲、乙两种产品考虑稳定的、周期性的计划,不必考虑初始情况。
生产过程中,机器不考虑出现故障等影响产量的各种因素。
假设在生产过程中甲乙每天的生产能力一定。
在生产过程中,为了尽量减少调换资金,尽量连续几天生产一种产品。
符号说明
符号
代表的含义

市场每天对产品甲的需求量

市场每天对产品乙的需求量

生产一件甲产品的生产成本

生产一件乙产品的生产成本

改变产品时因更换零部件等引起的生产甲前的准备费

改变产品时因更换零部件等引起的生产乙前的准备费

一套设备每天生产甲的最大能力

一套设备每天生产乙的最大能力

生产成本的月利率

常用系数

每天对甲产品的生产量

每天对乙产品的生产量

一个周期内单独连续生产甲的天数

一个周期内单独连续生产乙的天数
问题分析
生产甲乙两种产品时,只需要考虑稳定的、周期性的变化,故在安排计划时可以把甲乙分别看作在这些周期中间的一个周期。要为该厂制订合理、易行的生产计划,使题中考虑到的各种费用之和尽可能小,需要考虑以下几个方面:
4.1 首先是成本费用问题,由于每种产品的生产率都可以从零到最大能力之间连续调节,为了简化模型,可让甲乙每天的生产能力一定,故只要保证每天满足需求即可。
4.2 其次是考虑到在改变产品时要更换零部件,由此引起的生产甲乙前的准备费用,为了节省准备费,可以在一个周期里连续几天生产甲或乙。
4.3 最后是由产品过多引起的储存资金。为了减少费用,我们考虑在一个周期内单独生产甲时,既能满足生产时间内的需求,又能使生产剩余的的产品刚好满足单独生产乙时每天对甲的需求量,也就是说在单独生产乙时期末,剩余量刚好为0。同理,在单独生产乙时,剩余量也刚好能满足单独生产甲时每天对乙的需求量。
(2)当生产n种产品时,我们可以根据第一问得出的结果进行分析,只是变量多的问题,同样需要建立非线性方程。为了简便的给出最优计划,让n=2时,在网上查找一组数据,并且进行优化,再用LINGO软件解最优解。
模型建立与求解
5.1.1 
1)总生产成本:
由题意可知,在一个周期内,单独生产甲时的总生产成本为

在一个周期内,单独生产乙时的总生产成本为

2)准备费用:
在每个周期内恰好更换零部件各一次,所需是准备资金为:

3)储存费用:
在一个周期内单独生产甲时,
第一天的储存费用为:
第二天的储存费用为:
第三天的储存费用为:
…………
第天的储存费用为：
开始单独生产乙时,甲的储存费用:
第的储存费用为：
第的储存费用为：
…………
第的储存费用为：

由上述式子可知,在一个周期内,储存费先以等差数列递增,达到最大后,又以递减到0,故对于甲的总储存费用为:

同样在一个周期内,对于乙的总储存费用为: 

4)目标函数:
有上述分析得出最小费用为:

5.1.2 约束条件
1)甲、乙每天的生产能力:

生产周期:
要储存费用也要尽量少,所以生产周期也不能太长,故我们令周期小于30天,即

3)储存费用:
由4.3分析可知,为节约资金,假设在一个周期内生产与需求刚好满足,即:

由上述式子可知,对于乙的总储存费用为:
4) 附加约束: 

并且均取整数
5.2 对于n种产品的情形,赋予一组n=2时,经网上查找并近似得到数据如下:

300

200

40

60

600

1000

800

500

1.3%
2.0

以上数据在软件LINGO验证得到的最优生产计划:
Local optimal solution found.
Objective value: 182126.0
Objective bound: 182126.0
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 5
Total solver iterations: 67
Variable Value Reduced Cost
X1 525.0000 176.6400
在给出己知数据下，由以上结果分析可知，生产周期为7天，甲连续生产4天，每天生产525件;乙连续生产3天，每天生产467件。每个周期需要贷款的最少资金为182126.0。
6.模型评价
6.1优缺点:
  优点:该模型简化了生产问题，使得能合理安排生产计划，尽量减少借贷资金。假设每天生产能力一定，使得问题难度降低，建立一个非线性规划模型,这种方法有严格的理论基础，并且更具普遍性。再运用LINGO求最优解，既方便，又准确。
  缺点:在建立模型时，把一些条件简单化，这样可能会使模型对所有情况都适合。同时题目中数据太少，也同样减少了计算精度。
6.2模型改进:
  由于题目没有给出具体数据，可能会造成很多不同的结论。同时对模型进行-些适当改动，便可推广到更为普遍的问题，模拟生活中的普遍现象。

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