森林管理问题答卷.doc

森林管理问题
摘 要
森林作为一种可再生资源，如何利用它的可再生性以达到最大的经济效益成为一个问题。在这里，最大经济效益包括单株树木的最大经济效益和整片森林的最大经济效益。
对第一个问题,建立单株树木模型，此模型综合考虑树木价值和贴现率，得出单株树木的价值函数。对此函数求导,得出单株树木经济效益最大值条件，由此解出最优砍伐时间t符合下列条件，其中r为贴现率。
第二问中，单株树木价值的计算是以年龄来衡量的，即单株树木价值函数其实是离散的。该离散函数与这种模型化的连续函数有一定的相似性，因此可以从模型化的函数某些性质知道该离散函数的性质。得出这种单株树木最优砍伐时间满足:
.
第三个问题,根据题目提供表格，以及第二问得到公式计算得出：
i=
其后，规划砍伐方式以及周期。
方案一：从地域上分析,将森林进行分区，每次对某一分区中的树木进行砍伐，各区轮流进行。
方案二：从树木年龄分析,获得不同年龄段的树木的砍伐量。
经研究得，方案二更加合理，具体内容如下：首先建立出森林砍伐模型(模型一）,得出砍伐方式。而后，在前一个模型的基础上，建立周期模型（模型二），求解森林的最优砍伐周期.
关键词：Logistic模型单株树木价值函数收益系数
2

一、问题重述
1.1 问题背景[1］
自然资源可以分为两大类，一类叫做消耗性资源，比如煤、铁、石油等矿产,随着人类的开采，它不断被消耗，贮存量越来越少，一直到被消耗完为止；另一部分叫做可更新资源，比如森林、渔场和各种野生动物等资源，在人们利用其中一部分以后,能够通过资源群的自我更新而得到恢复，从而达到多次利用的目的。例如一片森林，在砍伐其中一部分以后，它就能够经过自我更新再长起来，当然恢复的时间随树种和林型的不同而不同。
1.2 相关信息
现在，考虑一片年龄很长的树种（100—200年）森林，已知森林中各年龄树木的数量分布.为了维持森林的基本管理费用，森林中的树木在一定的时间周期内要有一批被砍伐出售。设v(t)表示年龄为t的树木的价值,由于该片森林是年龄很长的树种，所以在考虑树木的价值时必须同时考虑到现金的时间贴现，称为r为贴现率，即时间t的单位现金只相当于当前的e—rt，同时也需要考虑管理成本等经济问题。
1.3 需要解决的问题
问题一:若已知各年龄树木的价值,给出单株树木最优砍伐的时间。(T满足V’ (T）/V(T)=r）；
问题二:如果已知v（ti)i=1,2，…,n及r,试给出最优砍伐的时间的计算公式；
问题三：某种树木价值如下表:
年龄i
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
价值vi
00 43 143 303 497 650 805 913 1000 1075
如果贴现率r=0.1，计算该种树木的最优砍伐时间
为了使这片森利不被耗尽而且每个时间周期内都有所收获,要求：每当砍伐掉一棵树木,就在原地补种上一棵幼苗，从而使得森林中树木的总数保持不变。如果各砍伐周期相同，试确定最优砍伐周期,并给出一种方案,使得在维持每个砍伐周期都有收获的前提下，去砍伐树木，使被砍伐的树木获得最大的经济效益.
二、基本假设
1、假设树木自然生长，不考虑自然灾害如火灾、虫灾对树木价值的影响；
2、不考虑树木自身繁殖，树木数量增加仅考虑砍伐后人工植树;
3、假设树木均能正常生长，不考虑意外死亡等；
三、符号说明
树木年龄；
单株树木价值；
单株树木砍伐后收益;
W 总收益;
单株树木林间管理费；
单株树木单位时间林间管理费；
贴现率；
第i组树的棵数;
第i组砍伐的棵数；
每个周期中由i组成长为i+1的棵数占i组的比例（最后一组中为自然死亡)；
α 收益系数；
砍伐周期;
按年龄分为i组(i=1，2,3,……)；
S整个森林树木总数；
A 树木生长的最大值参数,A=ymax；
M与初始值有关的参数；
u 内禀增长率(最大生长速率)参数;
b 树木初始年龄；
h 单位树木生长量价值；
n 砍伐次数；
四、预备知识及相关名词解释
1、贴现率，即时间t的单位现金只相当于当前的e-rt
2、最优砍伐时间，即砍伐获得最大收益时间；
3、Logistic 方程是生态学中模拟种群动态的最常用的模型：
A，m，u〉0
五、模型建立与求解
5.1问题一的分析与求解
5。1。1 问题一的分析
本问题需要求解单株树木的最优砍伐时间，在已知各年龄树木价值的情况下，仅考虑贴现率对树木价值的影响，据此,建立函数求解。解题时认为该单株树木年龄即为最优砍伐时间。
5。1.2 问题一的求解
由题知，单株树木所具有的价值为v（t)
考虑时间贴现及林间管理费p（t)后，可表示为：

(1）
（2）
其中，为简便起见，林间管理费在此问题中不予考虑.
为求解w最大值，确定t最优，对w求导，有

（3）
由(3）式，求函数最大值，即令，则：
（4）
又 v'（T）－v（T）r=0
故最优时间为，使
时的取值。
（r已知，v（t)函数已知。）
5.2 问题二的分析与求解
5.2。1 问题二的分析
问题二需要求解已知v（ti）i=1,2，…，n及r情况下，最优砍伐的时间的计算公式。依据题意,我们采用生物生长模型研究中较为成熟的理论生长方程罗杰斯蒂克(Logistic）方程对树木年龄分布进行模拟，从而得到树木价值随年龄变化曲线,求解最优砍伐时间。
5.2。2 问题二的求解
运用罗杰斯蒂克(Logistic）方程对树木年龄分布进行模拟
A，m,u〉0（5)
假设树木价值w（t)与树木年龄成正比,即：
(6）
由罗杰斯蒂克方程有：
贴现率曲线如图:
考虑贴现率时，有曲线：
从树木种下时刻起，至最优砍伐时间i满足：
(7)
整理得：
（8）
由上式可知，t为当前树木年龄
则，最优砍伐时间为:
（9）
5。3 问题三的分析与求解
5。3。1问题三的分析
1。要求计算出题目所给树木的最优砍伐时间。
2。要求给出一种方案，使得在维持每个砍伐周期都有收获的前提下，去砍伐树木,使被砍伐的树木获得最大的经济效益.
5。3。2问题三的求解
1、根据第二问所得结论:

经求解得：
年龄
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Vi+1
0
43
143
303
497
650
805
913
1000
1075
Vi
0
0
43
143
303
497
650
805
913
1000
Vi+1/Vi

3.325581
2。118881
1。640264
1。307847
1.238462
1。134161
1.09529
1.075
最优砍伐时间为树龄在50岁区间
2．1为保证森林可持续发展,并得出最有砍伐方式，建立
模型一:
将森林中的树木根据表格按年龄分组，分别编号为i=1，2，3,4，5，6,7，8,9,10，11，12,13，14,15，16，17，18，19，20。第i组的树木数量为，按周期T砍伐,每次砍伐第i组总数目的棵,树木总量为定值S，有:
（10）
在一个生长期(即两次砍伐之间)，假设树木至多只能生长一个年龄组,那么第i组中的树木可能进入更高的组,也可能因为某种原因停留在原来的组，并假设每一棵幼苗都可以生长至被收获,不考虑死亡的可能性。假设在每一个生长期内，第i组树木进入第i+1组的比例为,于是留在原级的比例为.
设，
那么，表示经过一个周期后树木年龄的分布。又因为是第k个周期砍伐的数量,而每次收获砍伐总数为；而补种的棵数等于砍伐的总数。这样，得到
=
因而有，
每次砍伐的总收益为
W=
于是得到下列规划问题:
Max W=
s。t。
经求解,最优解必定是让树木生长至价值最大对应的年龄时将其砍伐，根据前面所求解得最优时间，综合考虑，可得最优砍伐方式，
即:
每次砍伐时都将所有年龄大于等于50的树木全部砍伐。
2．2现建立周期模型，令最优砍伐周期为T,T求解方法如下:
模型二:
第一次砍伐,均为将所有年龄大于等于50的树木砍伐，不论周期如何，收益相同,因此不考虑第一次收益，从第一次砍伐完成后开始计算，且假设每年从4组长至5组的比例不变.
①当T＜1O时，
；
（n为砍伐次数)
②当10T＜20 时，
③当20T＜30时。
依次类推,可得在T属于不同时间段时W的计算公式.
假设森林经营时间为50年，则讨论在50年内,以何周期砍伐得到最大收益。
由于各式中均含项，而与均待定,故暂不考虑，
且将等用表达，将剩余部分合为收益系数α。
①当T＜1O时，
；
②当10T＜20 时，
③当20T＜30时，
……
由上述公式得出收益系数—周期表,如下：
收益系数—周期表
周期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
收益系数
9。4443
8。9724
8。5043
8.066
7。6555
7。2382
6。3856
6.474
6.0976
5.7806
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
6.4642
6。9389
7.1019
7.2428
7。2658
7.1999
6。8736
6。7284
6。5417
6。3247
5。9492
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
5。5879
5。2419
4。9116
4。5972
4.0016
3.7632
3.5339
3。3142
3。1043
2.9469
2。7333
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
2。5337
2.3473
2。1735
2。0115
1。8606
1.7202
1。5897
1。4685
1.3504
1。2415
1.1411
44
45
46
47
48
49
50

1。0486
0。9633
0.8848
0。8125
0.7459
0。6847
0。6283

将其绘制为图形曲线:
通过图形得出，当砍伐周期T等于1年的时候,收益系数最大，即总收益最大。
则，最优砍伐周期为：
综上,最优砍伐方案为:以一年为砍伐周期，每次将森林中年龄大于等于50的树木砍伐.
六、模型进一步分析与评价
6.1 模型的进一步分析
6.1.1误差分析
1．由自然环境因素造成的误差
由于森林自身环境情况有着不确定性以及不可预知性，有自然环境因素造成的误差不可避免，但可通过人为干预、管理，尽可能的将之减小、消除。
2．树木价值、贴现率随时间变化造成的误差
由于现有树木价值、贴现率不可能准确表示出未来树木价值的走向，随着市场经济的发展变化，其价值结构必然会与预期的产生一定的差异，可以通过定期的市场调查，对模型数据等加以改进,尽可能的减小误差。
6。1。2准确度分析
一个好的模型不能由于初始数据的误差而导致结果的较大改变。此模型对于初始数据的独立性高，因此稳定性比较好,具有可操作性和可行性。
6。2 模型的评价
6。2。1模型的优点
1。模型建立基于严格的数学推导,模型可靠性高。
2。模型的理论计算与程序调试符合的很好,模型正确性高。
3。模型结果与实际情况较为符合。
4。模型的通用性强。
6。2。2模型的不足之处和改进方向
1。模型中简化了一些因素，与实际有一定的误差，建议将自然灾害如火灾、虫灾对树木的影响，以及树木的自然繁衍、死亡等因素考虑到模型当中。
2。第二问模型中，对于罗杰斯蒂克方程的经验系数没有加以验证，建议可通过实际调查采样加以确认。
6。2。3模型的应用
本模型具有一定的普遍性和适用性，兼顾了可持续发展和最大利益获得.所阐述的对于树木最优砍伐年龄以及最优森林砍伐方案，对于森林的管理、经营，均有借鉴作用。同时，其思路亦可应用、推广于畜牧业、水产养殖、果树种植、园林规划等诸多方向。
参考文献
［1]阮晓青,周义仓，《数学建模引论》，2005年7月.
［2］李炳杰,刘卫江，《数学建模》，2010年7月.
[3］隋轶，《森林资源的可持续发展》,2002年.
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