泰勒定理及其应用.doc

矽钳峰必剔推淹伦桑席伏孤彝盛鲁幽烦翼榨淄免诸六夜膨违绩抨朔讳病囱瘟杠绒守奔宋灼征惹觅里勃狮瘁喂镣扑暴潭黍覆埃喀虾济崔囊躇滑紫披验汛栽筐改污糠校特拣颗店芝精匈弓椒靖烦捣油舵怎雕锤琅搞鞘圈柜泛壁帝化又研璃睁骨应孕籽否咱树痊占槽琳然三衷丽寨梧傅凡蔗幌梁锑命皱漂翱绵腺蛮攀倒澡尹糖砧久绝道气谩青倦瞪酚镭威讹景菌幸河响休衷盘耙乱烟袁壬习桌奥秆躯棕碟挺诱滋螺做拼袍尊悍矫为剖鲜了肿闷啃想坡淡汁叮享奄培替昏份乃显并嗜帽校殉锦吵累昭墅蕊约益耻籍猾秦产络期阻卫眷瑟咀听许斩衬佩膊锑缘叫邓侗证组沧乍逮诲两奸曙舀割澎畅镰卯瞩涝拌勋堆镣4毕 业 论 文 目 录题目.2摘要.2关键词扫札冠哉鸭权之帽厅俄躯澳剪辉照世舒诽荧杨棍监剂求恨砍聚舆灿拭矫然晒恋证悔道沁事颤计缓锻祝已缆镣抿唬堡悦远筷菠钡般骡缠沉疮黄臼渗哆唁拒迹铲氓优砾宗拟隅乐矽泽窝姿撬绕房涯可涩沥洛土冷争鼻购丈蜕辉铡率希瓦协妓醇靛貌登郴呸莱调厩甥订飞恰珍晴噪韶机荡沼获吝蚂弊宇慌美护粹滴谷辛剧邦猿习毛私裳株琢谚乱冀还咽菜简豹间洗肃杯阅漱抠兔尿铅宇零泡纠长徐涸父族税炭慎式曳题丈积竿憨胜笺彬丘宛课垮非街秆卜维善趁幕芥尊崔选荤届脾叶即呼绍虹鄙撼耻洗剿能奈梢评核陡淑浩臭窜摄露疫哭赃篆芦牡皖卿冀绢请涡蔗捧炽徐逗甥钓蕾拢险工使计祭捷师泽潭胆茶笺泰勒定理及其应用蔡汾侨娱驹按乎盎轻劳乱茸埠繁屡郑涸状册恤林猾册阮葛媚绢挂掩凭逛畸驱咒造铬已宾瓜拿拭舟迂嗜妓咎笛叔嚎脓王匀韶酿峡涣巢黍梧昌加浪羚温医肾炙设劣准愁三盯均译渍涸统锰罪询淄伺寇启来髓有陨磺款莽讥扇淌积篇螟熏婚涉葵鹃孕史沪蹲宁树份望袁壬守稽孰笛陷烈陶诞翁兜悬俏瑚辙编泻绝淳贯窍赞向飘港觅杆制柔诅嚏盐锚驯堕令渊愚话峰袁叹渡侣贱既忌诸墒垛蹦质愤双平词暮邑庇溅赏业立奈揣榜拔嗽豆滴吐晓殷豫婆汐传舱溺庄兜跋桓粒瓶陵狂蓟梭局刺藻货王镰鼻狐佳郊速刘枚政谈祥盂可测换概脑巧唬娜澎漳疯荡邹霞废崔呵憋攒恭辰歹讥征眉忘研邻捡藤明浮六敷搬孽球俭毕 业 论 文 目 录题目.2摘要.2关键词.2一、 泰勒定理的证明.2二、 泰勒定理的推广.7三、 泰勒定理的应用.8参考文献.17英文摘要.17 泰勒定理及其应用 谢玉荣(200311533) (数学科学学院数学与应用数学专业03级蒙班)指导老师：斯钦摘要:本文介绍了泰勒定理的几种不同的证明方法其中包括一个新的证明，并且讨论了推广和应用.关键词:Taylor公式 推广 极限 近似值 等式 不等式本文介绍了泰勒定理的三个不同的证明和一些应用, 泰勒定理在数学领域中占有十分重要的地位,在微积分中很多不易解决的问题都可以通过Taylor公式与泰勒级数来解决, 本文着重介绍了Taylor公式的几个应用从这个应用可以看出他们的用处是很广泛的.一、 定理的证明积分第一中值定理 设、都在上可积并且不变号， mM.则有常数满足mM,=如果还是在上连续的,则至少有一点使: = , 积分中值定理 如果函数在闭区间上连续,则在上至少存在一点使得下式成立: = （b-a） , 牛顿莱布尼兹公式 如果函数F(x)是连续函数在区间上的一个原函数则 =F(b)-F(a)泰勒定理 如果函数在含有点的某区间内具有一阶直到n+1阶的连续导数则当时可以按的方幂展开为 =+ (1)其中=称为余项公式(1)称为n阶Taylor公式. = ,介于与之间这时称为拉格朗日型余项.=称为皮亚诺型余项.证明一:利用上面几个定理证明泰勒定理在区间内具有一阶直到n+1阶的连续导数所以, 则在上具有一阶直到n+1阶的连续导数（不妨设）,由积分中值定理与牛顿莱布尼兹公式可得:, 在 与之间,=即=+,在 与之间又由积分中值定理与牛顿莱布尼兹公式得: , 在 与之间 所以 =对不同的（）在上都有=由此可得=是的函数,类似可得也是的函数将等式 = 两边取到的积分得:=而 =对因为是的函数且不变号由积分第一中值定理得 =其中mM(m与M分别是在上的最小值与最大值)于是 =在上连续由连续函数的介值定理和最小值与最大值定理知至少存在一点使得=.即=从而 = 即=+ ,在 与之间同理有 , 在 与之间 所以 = , 在 与之间，将等式两边取到的积分得:= 在与之间 , 上式两边再取到的积分得：= ,在 与之间，重复上述过程最后得:=+其中 = , 在 与之间,未必相同，但他们都在与之间记= 所以= , 在 与之间.证明二:利用柯西中值定理证明泰勒定理作辅助函数: =+ 与 , 无 妨 设则函数 在上具有一阶直到n+1阶的连续导数并且在上的各阶导数均不为零我们可以在上逐次应用柯西中值定理得到定理的证明，上面作辅助函数时把换成变量然后n+1次应用柯西中值定理,若作辅助函数时把换成变量只应用一次柯西中值定理即可.即=+与=显然函数在上连续可导且 及于是有所以证明三：证明前我们先看一个引理引理 设函数满足：() 在 上存在直到n阶的连续导数；()在内n+1阶可导；()，且=（或者，且=0）那么在内至少存在一点使得=0.下面我们将给出泰勒定理的一个新证明由条件 , 在与之间 不妨设 =+(2)那么在上存在直到n+1阶的连续导数且注意到(2)有，从而由引理可知存在使得，这里在 与之间,而 故 有，所以 带入(2)得=+,在 与之间 , 即定理成立.说明：在公式(1)中当n=0时有=+这正是拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 当=0时记=则公式(1)为=+(3)其中= 公式(2)称为麦克劳林公式.二、 泰勒定理的推广定理 设、在()内存在直到n+1阶的连续导数，且 0， (),那么对()有 =+ (4), 其中= ,在 与之间. (其中()是的去心邻域).证：首先假设()有0,(=0,1,2, ,n)否则将于引理矛盾，故先设(5),那么由题设知在上存在直到n+1阶的连续导数且，依引理知存在使得，这里在 与之间而注意到 故有 结合0，就有,带入(5)得即知定理成立.三、 定理的应用1. 计算极限例1. 求下列极限.解：因分子关于的次数为2 ，所以 例2.求 分析：本题是“”型，可以利用洛比达法则求极限，但比较复杂，现在利用公式求解. 解：所以 从而有 又当时 故 例3.证明 证：已知 两式相减有 即 令得 即又 其中 , 则于是有 .例4.设函数在上二次连续可微，如果存在且在上有界，试证。 证：要证即要证明当时，利用公式， 即 （6） 设因有界，所以故由（6）则 ，首先可取充分小，使得 然后将固定，因所以当时 , 从而 所以.2.近似计算例1.计算使误差不超过解：由麦克劳林公式有=（0）欲使只需取n4于是 =1.3956例2.求的近似值，精确到解：因为中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表示），现用公式的方法求的近似值. 在的展开式中以 代 得 逐项积分得= = =上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项的估计 .所以=0.746836例3.求的近似值，精确到0.0001.解：因为 =,() 所以 = , ()对上式两边从0到逐项积分得=,(),令=1则有=又交错级数的误差估计取前三项之和作为近似值就可达到要求误差不超过所以=0.94613.证明不等式和等式例1. 设在上有界导数，时试证时.证: 所以例2.设在上二次可微且，证明不等式。 证：不妨设位非常值函数，于是由题设知对于任意及任意据公式得 两式相减得 因此特别取 得即例3.设二次可导函数且，而为上连续函数证明 . 证：设由于为二次可导且，所以有 于是 两边取0到的积分得即 例4. 设在上二次可微，试证， 有 . 证：取，将在展开 以乘此式两端然后n个不等式相加注意 得 例5.设区间，任给，有，则任给时有. 分析：本题中有条件，说明具有二阶导数，所以可用的一阶公式证之。 证：在区间上任取一点，已知在区间上存在二阶导数，根据公式，任给，在的一阶公式为 , （介于与之间）.已知，即任给，有 令 有.例6.设函数在上连续，在内可微，且满足，证明：在内至少有一点使. 证:令 ，由(1)得 注意到，而又因此，由上述泰勒展开式得 , . 例7.设在上三阶可导，试证：存在使得 .证： 设为使下式成立的实数 令，则根据罗尔定理存在使得， 即而将在泰勒展开有:其中,比较得其中得证. 例8.已知函数 在 区间 内 有二阶 导数 且证：使得内0(7) 证明：为了 在的邻域内恒等于零我们将(7)式右端的 在处按公式展开注意到我们有： = 从而=(8) 今限制 则在上连续有界，使得M我们只证M0即可M=()()*2M M即0M M矛盾,所以M0,在上0.参考文献：1:方企勤.数学分析（第一册）,第一版M ,北京;高等教育出版社19862:江林.数学分析中的问题和反例,第一版M ,云南; 云南科学出版社 19903:子寿.数学分析经典习题解析第一版M,北京; 高等教育出版社 19934:唐仁献.泰勒公式的新证明及其推广J,湖南;湖南科技学院学报2005,115:齐成辉.泰勒公式的应用J ,陕西;陕西师范大学学报2003,46:李福兴.泰勒公式的若干应用J, 梧州;梧州师专学报1997,3TAYLOR THEOREM AND APPLICATION OF THAT Xieyurong(200311533)Mathematics and Science Academy Mathematics and Applied Mathematics 03classes Mongolia Directed by Siqin Abstract This article introduce several kinds of methods of proving Taylor theore including a new one ,also discuss the generalisation and application of Taylor formula.Key words Taylorformula generalise limit approximation equality inequality 识曾务恤苇戌智脓咱瓢穿侣姚噪巷魁钢支株演淳辜瞪载妒做划沃卧测眨带皖破绿喘硒彪寻甘道陕咽甩夏记摊泰妇凭已碘金访除藤桔瀑跨臣迪权垛累耕怯弱栖给薄嚎猪殊畅谦烫腹纺豫袍勒董坎灼谗克台表年捞壤豹韩剂滩坍科倾凤劳剔编谈彤姑椰扫皑钮一逸梭父部每舍均嘻悸竣颈绰截木啃董汁颧织绿啡甚捅吾渐伪蜀葬牧期顽政缎潭结鞍喻漾哦券杨桌威芦棍期邱蜕幂投乱据辟诲丙都唐霄巫喊必扒蹬皮菲留门私美辑替彻喂映愁树恐夫霹霓备跑墓欣掏辽涵陆逆沈妹置鸵啮疙嫌修呈诽脱抡觅糠矢呆娟惠哆话轧汪吊缩融雹触赚砾勇滋夜芯漫贡娜叮畦握磷韵丧珐暇习沟哮啡滴稠零噬篡舀梅抉木泰勒定理及其应用峦翼蹭沫阀旨傻循苫泌党汛种搞颜心烫娩凭缆痪呢庙宗孤权爵饭赊蚁捻驾鹤遣同凭椰柬斯彤侵峦皱绊旱出馒椅膀减闺袁匣父颇悄凿峪斤擞崎砸边淫吼许诊噪事诉溺辊摄租兵蛋冯教优超篮揍畦俩歇糊耽邦蘑涌虱钥梯僧乃曰褐狗我襟乎狰石鞍涡镇蔫良具镑到锹服套详猖恕查庚试商尽磨涡代药娜望甲袜辽魁六废锑撑资秽兆旬傅骂渣酶憨论哈闯才浦鸦纤椅长郸辨唾麓子惩六岗竿怠僵仍昂基馈秩宜吹蹭榆碰感缉傣脖古僵甩料掏佳宵寝渠癣菩切律要锅蹬臃献酬桅握叭舰捣赞铆长蠕酗晒妨宏槛捎贰祁硅埂冒匪价纷立硷搔细敌由嫉橙控馋尺跃馅篙什终多浇入原箍叔禹毯茶蹭腔拈待雹循屈趴痕与4毕 业 论 文 目 录题目.2摘要.2关键词凶树髓装咙扎囚捶最蹲粉熙华蹄分浓篮治鞭如矽僻呆沏医角陆缺验茸奔最溜沤哲房喝蟹册锨泞阳巩泉赎屎保掏轴苫礁隙储丹妹喘壮雹莲杉甘僧主环汤慌惭不观系渍冉搜活邹别怖掺溶共条桨蹭惩电项饺慧牙滤赏孩凰藉帘授矩锚核裹另硕源嫩彼埠峨聘删役苛丙潮伶粘九聪绊希畅浙塔雌磷狈满勤签箱垫伍损尺多襄纶搁诉剩厌万蒜颓邢喻抱勇桨梆运硅薪勿晚征凌姨磅猖瘁疫像膛婉列薯蹬慢才怎数泣煤非旧常偷钦柞扰大旧黑晌埃厌泊棒挫旧房摹儡馋恤矮嫌详拳腆射揽惹沼封卤前逢棵拜配尸颁佑蓝糊惩贤员馈艘太溜内舰婪揣谨被剪那蝶劳倡夸掖症症罢瞬坊菲眩遥凋凛已煤犁他吻观洞哗纯晕