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专题2 与三角形有关的角
一、三角形内角和定理：
二、三角形外角的性质：
如图，∠ACD是△ABC的外角，
则：①∠ =∠ +∠ ；
或∠ =∠ —∠ ；
或∠ =∠ —∠ 。
② > 或 >
基本图形介绍：
1、对顶三角形：
①如图，AD、BC相交于O，求证：∠A+∠B=∠C+∠D
P
②如图，AD、BC相交于O，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC，
求证：∠P=（∠A+∠C）
2、“飞镖”形：
①如图，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C
②如图，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，求证：∠P=（∠A+∠D）
3、三角形内外角平分线问题：
①如图，△ABC中，P是△ACB的角平分线的交点，求证：∠BPC=90°+∠A
②如图，△ABC中，P是∠ABC的角平分线和△ABC的外角∠ACE的角平分线的交点。
求证：∠BPC=∠A
③如图，△ABC中，P是外角∠EBC与∠BCF的角平分线的交点。
求证：∠BPC=90°-∠A
光的反射问题可转化为角平分线问题：
①由光的反射原理：∠1=∠2
又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以MD平分∠BMC。
②作法线MN，则MN平分∠AMB
E
4、一角平分线问题：
①在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C>∠B
求证：(1)∠ADC =90°-(∠C—∠B)
(2)∠ADC=(∠ACE+∠B)
②在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，求证：∠EAD =(∠C—∠B)
拓展：①在△ABC中，AD平分∠BAC，P是AD延长线上一点，过P作PE⊥BC，
求证：∠EPD =(∠C—∠B)
拓展：②在△ABC中，AD平分∠BAC，P是BC延长线上一点，过P作PE⊥AD，
求证：∠EPD =(∠C—∠B)
5、直角三角形斜边上的高的问题：
①如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：∠1=∠A；∠2=∠B
②如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB，AF平分∠BAC，求证：∠CFE=∠CEF
E
掌握与三角形外角和有关的结论，并能熟练运用它解决问题。掌握与之有关的基本图形及基本结论，并能熟练运用。
基本图形介绍：
基本结论：
掌握与三角形外角和有关的结论，并能熟练运用它解决问题。掌握与之有关的基本图形及基本结论，并能熟练运用。
基本图形介绍：
基本结论：
D
6、翻折问题：
如图，将三角形沿直线DE翻折使点A在△ABC的内部得，
求证：∠A=（∠1+∠2）
巩固练习：
1、在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形
2、如图，△ABC中，∠B=∠C，点D在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，若∠BDE=140°，那么∠DEF是（ ）
A、55° B、60° C、65° D、70°
3、如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A、59° B、60° C、56° D、22°
4、如图，△ABC中，∠A=，∠B=，∠C=，（）若∠BAC与∠BCA的平分线交于P点，则∠APC是（ ）
A、90° B、105° C、120° D、150°
第2题 第3题 第4题 第5题
5、如图，已知E、F是△ABC的边AB、AC上的点，△AEF沿EF折叠，并使点A落在四边形EBCF内，∠BEG=20°，∠CFG=86°，那么∠A是（ ）
A、52° B、53° C、54° D、60°
6、等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（ ）
A、50°，50°，80° B、50°，50°，80°或130°，25°，25°
C、50°，65°，65° D、50°，50°，80°或50°，65°，65°
7、已知：△ABC中，∠A=66°，△ABC的高BE、CF所在直线相交于点G，则∠BGC=（ ）度。
A、123° B、66° C、114° D、66°或114°
8、如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC和∠ACB的角平分线交于D点，∠ADC=130°，那么∠CAB是（ ）
A、80° B、50° C、40° D、20
9、如图，∠A=60°，线段BP、BE把∠ABC三等分，线段CP、CE把∠ACB三等分，那么∠BPE=（ ）度。
A、40° B、50° C、60° D、70°
A
B
C
N
D
M《
A
B
G
E
D
H
F
C
第8题 第9题 第10题 第11题
1
3
4
5
6
7
8
9
10、已知∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6，∠7 =∠8，若∠1 =16°，则∠9 =（ ）
A、64° B、80°
C、96° D、112°
11、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，BF交AE、AD于G、H，∠C＞∠ABC，下列结论正确的是（ ）
①∠AGB=90°+∠C ②∠C－∠ABC=2∠EAD
③∠BFC+∠AEC=180° ④∠AGB+∠BHD－∠EAD=180°
A、①② B、③④ C、①②③④ D、①②④
12、如图，已知∠MAN为定角，点B、C分别是∠MAN的边AM、AN上的动点，2∠DBC=
∠MBC，∠DCB=∠BCN，则下列四个结论，其中正确的是（ ）
①∠MBD+∠NCD+∠D=180° ②∠MBD+∠NCD+∠A为定值
③∠A+2∠D为定值 ④△ABC的周长为定值
A、①② B、①③ C、①②③ D、①②③④
13、△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠A+20°，那么∠A= 度。
14、若三角形的三个外角的比2︰3︰4，则它的三个内角的比为 。
15、在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是AC边上的高，BE平分∠ABC，
则∠DBE= 度。
16、如图，BE、CF分别是∠ABD、∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，
∠BGC=110°，则∠A= 度。
17、如图，△ABC中，∠B=66°，∠C=45°，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE= 度.
18、如图，∠A=27.5°，∠B=38.5°，∠BFD=95°，则∠E= .
A
B
C
D
G
E
F
第16题 第17题 第18题
19、如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
20、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为BC边上一点，E为直线AC
上一点，且∠ADE=∠AED.
（1）求证：∠BAD=2∠CDE；
（2）如图，若D在BC的反向延长线上，其它条件不变，
（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.
A
B
D
C
E
21、△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠C—∠B=20°，DE平分∠ADC，∠AED=110°，求∠BAC的度数。
22、如图(1)，在△ABC中，AD平分∠BAC， AE是BC边上的高，∠C＞∠B.
①试说明成立的理由.
②如图(2)，当高AE在△ABC外时，上述结论是否发生变化?
A
B
C
O
N
D
M
23、如图，已知∠MON=50°，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与O重合），AC平分∠OAB，DB平分∠ABM，直线AC、BD交于点C，试问：点A、B移动过程中，
∠ACB的大小是否也随之变化？若不改变，求出其值、
F
B
A
G
D
E
C
24、如图，在四边形ABCD中，EF分别是两组对边延长线的交点EG、FG分别平分∠BEC、∠DFC，若∠ADC=60°，∠ABC=80°，求∠EGF的度数。
25、如图，△ABC中，三条内角的平分线AD、BE、CF相交于I，IH⊥BC，
求证：①∠1+∠2+∠3=90°
②∠BID=∠HIC
③∠DIH=∠3—∠1
专题3 多边形的内角和与镶嵌
一、知识点：
（1） 叫多边形。
（2）n边形内角和为 ；n边形外角和为 。
（3）n边形对角线的条数为 。
（4） 叫正多边形。
二、巩固练习：
1、若一个多边形每个内角都等于150°，则这个多边形是（ ）
A、12边形 B、正12边形 C、13边形 D、14边形
2、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A、八边形 B、九边形 C、十边形 D、十二边形
3、一n边形有3个内角为钝角，则n的最大值为多少（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
4、下列命题：①五边形至少有两个钝角；②十二边形共有54条对角线；③内角和等于外角和的多边形边数为4；④三角形的高都在三角形内。说法正确的有（ ）个
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、已知一个多边形的每一个外角都等于相邻内角的一半，则这个多边形的边数是（ ）
A、3 B、4 C、6 D、12
6、一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).
A、9 B、8 C、7 D、6
7、下列组合中，不能铺满地面的是（ ）
A、正五边形和正十边形地砖 B、正八边形和正方形地砖
C、正方形和正三角形地砖 D、正方形和正六边形地砖
8、下列多边形中，不能进行平面镶嵌的是（ ）
A、三角形 B、四边形 C、正五边形 D、正六边形
9、一个多边形最多有 个锐角（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE与DF有怎样的位置关系，为什么？
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