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极限计算方法总结
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分.求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述）.
说明：（1)一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的
极限严格定义证明，例如：；；
；等等
（2）在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明.
2．极限运算法则
定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B,则下面极限都存在，且有 (1)
(2)
（3）
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用.
3．两个重要极限
（1）
(2） ；
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
作者简介：靳一东,男，（1964—)，副教授。
例如：，，;等等.
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0）.
定理3 当时,下列函数都是无穷小（即极限是0）,且相互等价,即有：
～～～~～～ 。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成时(）,仍有上面的等价
关系成立,例如:当时， ～ ； ～ .
定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～,则当存在时,也存在且等于，即=。
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大)时,函数和满足:（1)和的极限都是0或都是无穷大;
(2)和都可导,且的导数不为0；
（3）存在(或是无穷大）；
则极限也一定存在,且等于，即= 。
说明：定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时，应注意条件是否满足,只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“"型或“"型;条件（2）一般都满足,而条件(3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件.
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。
7．极限存在准则
定理7(准则1） 单调有界数列必有极限.
定理8（准则2） 已知为三个数列,且满足:
（1)
（2） ，
则极限一定存在，且极限值也是a ,即。
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
解：原式= .
注：本题也可以用洛比达法则。
例2
解：原式= 。
例3
解：原式 。
2． 利用函数的连续性(定理6）求极限
例4
解：因为是函数的一个连续点,
所以 原式= 。
3． 利用两个重要极限求极限
例5
解：原式= .
注:本题也可以用洛比达法则。
例6
解：原式= 。
例7
解：原式= 。
4． 利用定理2求极限
例8
解：原式=0 （定理2的结果）.
5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限
例9
解:~，~,
原式= 。
例10
解：原式= 。
注:下面的解法是错误的：
原式= 。
正如下面例题解法错误一样：
.
例11
解：，
所以， 原式= 。（最后一步用到定理2)
6． 利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法.同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12 (例4）
解：原式= .(最后一步用到了重要极限)
例13
解：原式= .
例14
解：原式== 。（连续用洛比达法则,最后用重要极限）
例15
解：
例18
解：错误解法：原式= 。
正确解法：
应该注意，洛比达法则并不是总可以用,如下例.
例19
解:易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到:,此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:
原式= (分子、分母同时除以x）
= （利用定理1和定理2）
7． 利用极限存在准则求极限
例20 已知，求
解:易证:数列单调递增,且有界（0〈〈2),由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：
,解得:或（不合题意,舍去）
所以 。
例21
解： 易见：
因为 ，
所以由准则2得： 。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会.另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等,由于不常用，这里不作介绍。
极限与连续的62个典型习题
习题1设，求 。
解 记，则有
，。另一方面
.
因为 ，故 .利用两边夹定理，知
，其中 。
例如 。
习题2求 。
解
，
即
。
.
利用两边夹定理知
。　
习题3求.
解
习题4求 。
解（变量替换法)令，则当时,于是,
原式.
习题5求。
解(变量替换法）令，
原式
。
习题6 求 （型)。
为了利用重要极限，对原式变形
习题7求　. 解 原式
.
习题8求 。 解 由于
。
而
。故 不存在.
习题9研究下列极限 （1）。
∵　原式，其中,。 ∴ 上式极限等于0，即.(2).
因为　，, 所以 。
（3）。 原式.
习题10计算。
解 原式
。
习题11
.
习题12已知 ,求的值.
解 首先,∴
原式，
∴，而 。
习题13下列演算是否正确?
.
习题14求。
解 原式
。
习题15求 .
解 ∵,，原式 = 0.
习题16证明 （为常数）。
证 （令)
。
习题17求 。
解 原式.
习题18求 . 解 （连续性法）
原式
。
习题19试证方程 (其中）至少有一个正根，并且它不大于.
证 设，此初等函数在数轴上连续，在上必连续。∵ 而
若,则就是方程的一个正根.
若,则由零点存在定理可知在内至少存在一点，使.即
故方程 至少有一正根，且不大于.
习题21求。
解 原式.
习题20 设满足且 试证
证 取使得当时有
即 亦即于是递推得
从而由两边夹准则有
习题22 用定义研究函数 的连续性.
证 首先,当是连续的。同理,当
也是连续的。而在分段点处
故
习题23求证 。
证∵，而
.由两边夹定理知,原式成立。
习题24 设任取记
试证 存在,并求极限值。
证
故
由题设
由于
故单调有下界，故有极限.设
由解出(舍去)。
习题25 设 求
解 显然有上界,有下界
当 时
即假设 则
故单增。
存在。设则由得即
（舍去负值）。当时，有
用完全类似的方法可证单减有下界，同理可证
习题26 设数列由下式给出 求
解 不是单调的，但单增，并以3为上界，故有极限。设单减,并以2为下界,设 在等式两边按奇偶取极限，得两个关系 ，解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此的极限存在，记于是故有解出（舍去负值）
习题27 设试证 收敛，并求极限。
证 显然假设则由，可解出(舍去 ）.下面证明收敛于由于
,
递推可得
由两边夹可得故
习题28设试证
（1)存在；(2）当时,当时,
证 显然有又
单减有下界。收敛。令在原式两边取极限得由此可解出或当时,归纳假设则而，有 因此时即时）.
当时，由的单减性便知即当时，即
（当时）.
习题29
习题30 若收敛，则
证 收敛，设故必有界。设
因此而
习题31 求
变量替换求极限法
(为求有时可令而）
习题32 求 （为自然数）
解 令则 因此
习题33 求
解 令且当时故 原式
习题34 求
解 先求令 则上式
故原式
用等价无穷小替换求极限
习题35 求
解 记
原式=
=
习题36 设与是等价无穷小，求证
（1）（2）
证 即
其中故
（2）
习题37 设为自然数，试证使
证 （分析：要证使即要证有根） 令，显然在上连续，于是记则
又对函数应用介值定理，知使即存在使
习题38 设证明
使
证 (分析:将结果变形）
记则
于是
或
由介值定理知
即
习题39 设且证使
证 反证法.若不存在点使即均有连续，不妨设恒有于是此与矛盾.故使
习题40 设且又证明至少有一点使
证 故在上有最大值和最小值，使 于是 由介值定理,知使
习题41 证明方程至少有一个小于1的正根。
证 设显然但
使即方程至少有一个小于1的正根存在.
习题42 设连续,求
解
故由于在=1，—1处连续，所以
习题43 试证方程至少有一个实根。
证 做函数 显然
使即在内必有实根。
习题44 求的连续区间。
(解：先改写为分段函数，结论为：
习题45 求为何值时,函数，在上处处连续。
只需讨论分段点处的连续性：
要在处连续,必有
习题46 设，定义 求
解 有下界即有又，即单减有下界,故有极限.设且有有
（舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。）
习题47
（解： 单增有上界，可解出极限）
习题48 设且证明使
证 若则取若则可取则令必有且由零点定理知使即
习题49 （选择题）设在内有定义，连续且有间断点，则
（A) 必有间断点，（B)必有间断点，
（C） 必有间断点，（D)必有间断点.
解 选［D］（(A） 因的值域可能很小.
(B）反例 而无间断点.
（C)总有定义。
习题50 证明方程至少有一个正根,且不超过
证 设而
如果则即为的零点。如果则由介值定理知使即为所求,故原命题成立.
习题51 若函数可以达到最大值和最小值，求证
证 设则对任意有或有由的任意性，可知
习题52 设且恒大于零,证明在上连续。
证 任取由于在处连续且大于使当时(若为左端点，则应为类似处理有
可找到使当时有
取则当时,有
故知在处连续。由的任意性，知在上连续。
习题53 设 试讨论在处的连续性。
解
时，在处连续，
时，为的跳跃间断点(第一类间断点）.当时为第二间断点。
习题54 设函数 问当在处连续。 解
即时,在处连续.
习题55 求函数的间断点,并判定其类型.
解 因当（为任一整数)时，是的间断点。再细分，当时， 不存在，故除处的任何整数都是的第二类间断点.因
亦即是的第一类(可去）间断点。
习题56 求函数的间断点并判定其类型。
解 的分段点为
是的第一类（跳跃)间断点。当时,在点
处,无意义，故是的间断点。因为
是第一类（可去）间断点。显然都是极限为的第二类间断点。当时，在点时,没定义,故是的间断点。又不存在，故为第二类间断点。
习题57 设函数且试证
证 因为连续，所以在上有界。又因为 所以
当时，恒有取则存在自然数使得.记，则且 于是
下面估计上式右边三项的绝对值。
（1）
=
(2）因为在上有界，即使.故当时，恒有
（3)因为故使当时恒有综合(1)，（2)，（3）取
，则当时，恒有
习题68 若和为连续周期函数，当时，有定义，且证明
证 先证明和有相同周期。设的周期为，则由于当时,即得 ,以及
=
现在说明的周期也是。若不然，则至少存在一个使设的周期为为任意正整数，
以及此时恒有
。
但由（＊），对充分大的必成立这显然矛盾(矛盾于）下面证明若结论不真，则至少存在一个使记则恒有这与矛盾.于是
习题61 试证
习题62 在点连续。
解
如果函数在连续，则
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