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极限计算方法总结（简洁版）

一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等
（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）
（2）
（3）
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限
（1）
（2） ；
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：，，；等等。
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
～～～～～～ 。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价
关系成立，例如：当时， ～ ； ～ 。
定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；
（2）和都可导，且的导数不为0；
（3）存在（或是无穷大）；
则极限也一定存在，且等于，即= 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。
7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：
（1）
（2） ，
则极限一定存在，且极限值也是a ，即。
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
解：原式= 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2
解：原式= 。
例3
解：原式 。
2． 利用函数的连续性（定理6）求极限
例4
解：因为是函数的一个连续点，
所以 原式= 。
3． 利用两个重要极限求极限
例5
解：原式= 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6
解：原式= 。

例7
解：原式= 。
4． 利用定理2求极限
例8
解：原式=0 （定理2的结果）。
5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限
例9
解：～，～，
原式= 。
例10
解：原式= 。
注：下面的解法是错误的：
原式= 。
正如下面例题解法错误一样：
。
例11
解：，
所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）
6． 利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12 （例4）
解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）
例13
解：原式= 。
例14
解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例15
解：
例18
解：错误解法：原式= 。
正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19
解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
原式= （分子、分母同时除以x）= （利用定理1和定理2）
7． 利用极限存在准则求极限
例20 已知，求
解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：
，解得：或（不合题意，舍去）。所以 。
例21
解： 易见：
因为 ，
所以由准则2得： 。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。