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常微分方程辅导

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常微分方程辅导

（填空题、选择题和解答题----比例是2：3：5。）

第一章 初等积分法
一．基本类型：曲线的切线。
例1． 曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m倍，且通过点。
分析：
（1）这是一个具有基本应用型的一阶方程，它通过已知斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程。
（2）它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式，它的求解，这又是重点。

解：（1）设所求曲线的任意点坐标是，依题意，
积分有，
（2）该曲线过点，有从而有，
故，所求曲线方程是+

二．基本类型的求解
（一） 可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程。
（一阶线性方程是重点）

1．（1）可分离变量方程
分离变量有
（2）求解对称式
由，得从而
例2。求解方程。
分析：
1） 这是一个一阶可分离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解；
2） 它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点。
解：方程的通积分为即：如arctany=arctanx+C1.解出y得到通解y=tan(arctanx+C1)。
例3． 求方程的通解.
分析：
1）这是一个一阶可分离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解。
2）它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点。
解：分离变量，，积分，，。
2。（1）齐次方程
令：有，回代得，进而
积分有：其解是。

例4：求解。
分析：
1）这是一个一阶可化为齐次方程，通过变量代换，分离变量后积分可求未知函数y(x)的通解,且有常数解y=0；
2）它考核的是求解一阶齐次方程这一知识点。
解：将方程改写为，令：y=ux,
代入上式化简有，u=0为一解，分离变量，
积分有：，u换为y/x可得，，且有常数解y=0。
3。一阶线性方程。
若q(x)=0线性方程化为齐次方程，有利用常数变易法设： ，回代方程，得解：（p-q公式）

例5.求方程的通解.
分析：
1）这是一个一阶线性非齐次方程的模型，它可通过先求对应的齐次方程的通解，再用常数变易法求非齐次方程的特解，最后由解的结构得其通解；也可以用公式法（P-Q公式）之解求解未知函数y(x)。
2）它考核的是求解一阶线性非齐次方程、常数变易法或P-Q公式这些知识点。

解：法1，先求齐次方程的通解
，，。
用常数变易法，设，求导，回代方程
，积分，，
+（）*，

法2，代公式：
=

[注]Bernowlli方程

令：，有，
方程为
，则解为 (一般性掌握)。

4。全微分方程
（1）观察法（凑微分法）：xdx+ydy=0,有x2+y2=C，

（2）公式法（重点掌握）：求解对称式方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0判别它是否全微分方程？由充要条件则全微分方程由求解公式
。

例6。求方程的解。
分析：
1）这是一个具有组合形式的一阶方程，它可通过先判断其是否为全微分方程，若是就采用求解公式直接积分；还可以用凑微分等方法求解。
2）它考核的是求解全微分方程的知识点。

解：（1）从而，原方程是全微分方程，
（2）由在全平面上可积，取：，
，有，
从而。

例7．求解方程.
分析：
1）这是具有对称式的一阶方程，通过观察有积分因子(x2-1)-1(y2-1)-1,用起作用后再积分可求未知函数y(x)的通解,且有常数解x=±1,y=±1；也可视为一阶可分离变量方程，通过初等变型再积分可求未知函数y(x)的通解，且有常数解x=±1,y=±1。
2）它考核的是求解一阶对称式的方程这一知识点。

解：易知，是方程的解。
分离变量有
,

（二）可降阶的高阶方程
F(x,y(k),y(k+1),…,y(n))=0,
令:z= y(k)，F(x,z,z’,…,z(n-k))=0,
则：z=z(x,C1,C2,…,Cn-1),即，y(k)=z(x,C1,C2,…,Cn-1),积分k次可得其解.

例8。求解方程
分析：
1）这是一个具有5阶形式的微分方程，它可通过先变量代换降阶化为一解方程，再通过求解可分离变量方程得原方程的通解。
2）它考核的知识点是利用降阶法求解高阶微分方程。

解：它是一个5阶方程，令：，有：，
通解为：z=Cx,从而y(4)=Cx,积分4次：。

第二章．基本定理
一、初值问题解的存在唯一性。
二、定理1（解的存在唯一性）：
若方程的右端在区域满足条件1）在R上连续；2）在R上关于y满足Lip----条件，方程初值问题在区间上存在唯一解y=g(x), g(x0)=y0, .
（一般了解）定理2（解的延拓性）。定理3（解得可微性）。
重点、难点：解的存在唯一性定理，毕卡尔----逐次逼近法．
例1． 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是什么？
分析：
1）这是一个一阶微分方程，它的右边函数f(x,y)=(3/2)y1/3，通过对该函数求偏导来代替Lip----条件，可找到解的存在唯一的区域。
2）它考核的知识点是用更强的条件来代替Lip----条件，得到解的存在唯一的区域。

解：由f(x,y)=(3/2)y1/3知它是连续函数,则，只要y≠0它为连续的，
即满足解的存在唯一性定理条件的区域是上半平面或下半平面（不含x轴）.
例2． 关于初值问题的毕卡尔逐次逼近法的迭代式是什么？
分析：
1）这是关于初值问题的解在理论上保证解的存在重要问题，而它的主要方法是微分方程化为积分方程，通过毕卡尔逐次逼近法，构造序列使其收敛，最终得到其解。
2）它考核的知识点是微分方程化为积分方程，毕卡尔逐次逼近法。
解：设，则关于初值问题的逐次逼近法的迭代式是
=+。

练习：设函数在闭区域上满足李谱茜斯条件，则存在常数b>0，对R上的点,有

参考答案
一、
第三章 高阶方程的求解

初值问题

而称 ----非齐次方程
----齐次方程
它们必有解（由方程解的存在唯一性可知）。
解的性质--解有叠加性、线性相关（无关）性、基本解组、其判别方法等。
方程的通解的结构是：非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解。
常系数齐次方程解的具体形式（常数变易法）

设: (特征方程)而r是其特征根。
有三种情形：（1）r是相异的实根；
（2）r是m重的实根；
（3）r是m重的复根。
求变系数齐次方程的特解和通解（已知一个特解）-------刘维尔公式应用。
常系数非齐次方程的特解的具体设置

若时，通过常数变易法解的情形是：

设=
若时，
，不妨设
，设
重点：方程解的性质、解的结构，高阶方程的特征根解法，非线性齐次微分方程的解法。
难点：非线性齐次微分方程的特解的求法

例1． 求方程y”-5y’+6y=0的通解和满足条件y(0)=1,y’(0)=2的特解.
分析：
1）这是关于求二阶齐次方程通解的问题，它通过微分方程化为代数特征方程，且求其特征根，来解原方程的通阶，并在初值问题的条件y(0)=1,y’(0)=2下求其特解。
2）它考核的知识点是微分方程化为特征方程，求特征根，二阶齐次方程通解。

解：1）通解
设：y=erx ，特征方程r2-5r+5=0，特征根r1=2,r2=3，基本解组e2x,e3x ，通解是y=C1e2x+C2e3x
2)特解
1= C1+C2，2=2C1+3C2。所以， C1=1，C2=0 ， 故特解为y=e2x。

例2． 求方程y”-3y’=e5x的通解。
分析：
1） 这是关于求二阶非齐次方程通解的问题，它通过先微分齐次方程的特征方程，且求特征根，来解齐次方程的通解，而后再求非齐次方程的特解，根据原方程右边的函数的具体形式f(x) =e5x，设出特解形式，回代原方程，通过比较系数方法，可得齐次方程特解，进一步由方程解的结构可写出通解。
2） 它考核的知识点是非齐次方程右边的函数的具有f(x) = Ae5x形式的特解、非齐次方程通解。

解：
1)齐次通解
特征方程r2-3r=0，特征根r1=0,r2=3 ，基本解组1,e3x ， 通解是y=C1+C2e3x
2）非齐次通解
在f(x)= e5x中，a=5不是特征方程的根，不妨设：y1=Ae5x,
求导回代方程有：A=10-1，所以y1=10-1e5x，非齐次通解为y=C1+C2e3x+10-1e5x。

例3． 求方程y”+y=2sinx的解。
分析：
1） 这也是关于求二阶非齐次方程通解的问题，它通过先微分齐次方程的特征方程，且求特征根，来解齐次方程的通解，而后再求非齐次方程的特解，根据原方程右边的函数的具体形式f(x) =2sinx，设出特解形式，回代原方程，通过比较系数方法，可得齐特解，进一步由方程解的结构可写出通解。
2） 它考核的知识点是：非齐次方程右边的函数的具有f(x) =Acosx+Bsinx形式的特解、非齐次方程通解。

解：
1)齐次通解
特征方程r2+1=0特征根r1=i,r2=-i基本解组cosx,sinx通解是y=C1 cosx+C2sinx.
2）非齐次通解
在f(x)=2sinx中，=0±i是特征方程的根，不妨设：y1=x(Acosx+Bsinx),
求导回代方程有：A=-1,B=0,所以y1=-x*cosx，非齐次通解为 y=C1 cosx+C2sinx-x*cosx..

拉普拉斯变换1）定义，2）性质。

例4． 求函数f(t)=t的拉普拉斯变换.
分析：
1） 是关于求解积分变换的问题，可直接利用拉普拉斯变换定义和性质，计算它的函数值。
2） 它考核的知识点是拉普拉斯变换定义和性质。

解：L[t]= = =
=
练习：
一、填空题
1．设函数组是则它的朗斯基行列式为 。

2、 函数，则与是 。

3、若二阶微分方程是，且设，则特征方程是 ----，特征根是 ，二阶微分方程的解是 。

4、若函数是2阶线性齐次方程的2个线性无关的解，则它的朗斯基行列式是 。
5、若函数的拉普拉斯变换是，则。 ， 。

二、选择题
1、二阶常系数齐次微分方程的通解是（ ）。
（A）（B）
（C）（D）。
2、三阶微分方程的特征方程其根是，它的基本解组是，则该方程的通解是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）

3、二阶微分方程所对应齐次方程的特征根是，而右端函数中是其特征根，则设二阶微分方程的特解是（ ）。

（A）（B）（C）（D）。

参考答案
一、填空题：1、2、线性相关。
3、，，

4、 5、。
二、选择题：1、（A）2、(C) 3 、(B) 。

第四章 线性方程组
（一）齐次方程组dY/dx=A(x)Y+F(x),
（二）齐次方程组dY/dx=A(x)Y
考虑常系数齐次方程组dY/dx=AY，可通过非齐异的线性变换Y=TZ使其为dZ/dx=(T-1AT)Z,由代数知识，存在Ti使ATi=rTi,从而（A-rE）Ti=0,det（A-rE）=0
（1）若A有不同的单根，得T-1AT=(ri)n*n（对角形）Yi=erx*Ti(i=1,2,…,n)为基本解组；
（2）若A有不同的重根，得Yi= erx*Ti (i=1,2,…,n)为基本解组；
重点：方程组矩阵表示，常系数线性方程组解法。
难点：常数变易公式、基本解矩阵、常系数线性方程组解法。

例1：求方程组的通解。
分析：
1） 是关于求一阶线性齐次方程组的通解的问题，它通过先求齐次方程组的特征方程，且求特征根，利用代数知识来解齐次方程组的通解。
2） 考核的知识点是：求齐次方程组通解。

解：1）特征值
由系数矩阵A=,从而=0，有：=0，
即，r1=-1,r2=5.
2)通解,
设所求解为满足=0，
即：=0，a+b=0,令：a=1,b=-1,有；
同理，，
所求方程的通解为
例2：求方程组的通解。
分析：
1） 本题是关于求一阶线性非齐次方程组通解的问题，它通过先求对应齐次方程组的特征方程，且求其特征根，利用代数知识来解齐次方程组的通解，在利用常数变易法，可求出非齐次方程组的特解，最后由方程组解结构得出非齐次方程组的通解；也可用教材上的公式直接求解。
2） 考核的知识点是：求非齐次方程组通解。

解：！）齐次通解
，
2) 齐次通解
由常数变易法有：=，
现求导回代原方程有=，从而解之得
=，=，

所以特解为=，

非齐次通解 =+.

练习：
一、选择题：
将方程式化为一阶方程组是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）。
二、解答题：
1、求解方程组 2、求解方程组

参考答案
一、（B）.
二、1．。提示：直接用公式求解，也可单个方程求解。
2．。提示：直接用公式求解，也可单个方程求解；
若用单个方程求解，先对第二个方程求解，回代第一个方程再求解。

第五章 定性与稳定性的概念

一、相图，轨线、奇点。
二、初等奇点的分类，奇点附近的轨线分布
x’=a11x+a12y,y’=a21x+a22y
其中矩阵A=(aij)2*2 ，而特征方程det(A-rE)=0,由它们根的不同情况进行拓扑分类，奇点分为：结点，鞍点，焦点，中心等。
三、极限环与周期解（介绍）。
四、系统解的稳定性概念。
（1）解的稳定性、解的渐近稳定性概念；
（2）李雅谱诺夫方法---正定V(x)函数及其应用。
重点：李雅谱诺夫方法---正定V(x)函数及其应用，运动稳定性概念及判定。
难点：二维常系数方程孤立奇点分类，运动稳定性，周期解与极限环。（一般了解）

例1：单摆的运动稳定性。
分析：
1)本题是研究单摆部分运动规律的问题，它通过先把二阶方程化为一阶方程组，再用在整个区域上取正定V(x)函数，通过求全导数，利用稳定性判别定理，可得系统的运动稳定性。
2）考核的知识点是：系统解的稳定性概念。

解：1）由数学建模（牛顿第二定律），列方程有: ,
它可化为系统由此知：它的平衡点（奇点）是，
对应的摆锤处于最低点的位置；
2）利用李雅谱诺夫方法作正定V(x)函数有：
，求全导数得，
由于它是负定函数，由稳定性判别定理知，在系统的平衡点（奇点）是稳定的。

例2． 考虑一般的较抽象系统零解的稳定性。
分析：
1)本题是研究一般的较抽象系统零解的稳定性问题，它通过在整个区域上取正定V(x)函数，通过求全导数，利用阶的渐近稳定性判别定理，可得系统零解的渐近稳定性。
2）考核的知识点是：系统解的渐近稳定性概念。

解：作正定的函数=，它在（x1,x2）上是正定的，它关于系统的对的全导数是 ==负定的，由渐近稳定性判别定理知，系统在零解（平衡点即奇点）是渐近稳定的。

练习：
1、 函数，则它在平面上是（ B ）函数。
（A）正定 （B）负定 （C）变号 （D）不确定。
2、 求方程组的平衡点。
3、 研究二阶方程平衡点的稳定性。

参考答案
1．（ B ） 2．（0，0），（1，0） 3．平衡点x=y=0是稳定性的。
提示：在2、中，令方程组右边为零。
在3、中，令：正定函数为，求导、由稳定性判定定理可得。
模拟试题
一. 填空题。20分（每小题2分）
1． 设方程是,则.
2． 设方程是,则.
3． 若一阶线性非齐次方程是,则它的通解.
4． 若函数组是(),则它的朗斯基行列式是
与对每

5． 函数是的两个解，则与是线性----关，且它们构成该方程的-------解组。
6． 设二阶方程的特征方程是其特征根是---------,---------.
7． 若是n阶线性齐次方程n个线性无关的解，则它的朗斯基行列式W(x)---------,.
8． 若是n阶线性齐次方程n个线性无关的解，是非齐次线性方程的特解，则齐次方程的通解是-------------------， 非齐次线性方程的通解是-----------------------------------。
9． 设函数在闭区域上满足李普希兹条件，则存在常数L，对R上点有---------------.
10.函数f(t)的拉普拉斯变换是,则:L[1]=------------------.

二。选择题30分，(每小题4分最后一小题2分)
1.设函数连续可微,则方程是全微分方程的充分必要条件-----.

(A). (B) .

(C) . (D) .

2.设一阶方程，则它是----。

（A）线性非齐次方程 （B）伯努利方程
（C）黎卡堤方程 (D)一般方程。

3. 二阶微分方程的通解是----.
（A）,
（B）,
（C） ,
(D) .

4. 5阶方程，我们用代换可有，

其通解是，问原方程的通解是------.
(A).
(B) .
(C) .
(D)

5.若函数是方程得基本解组，方程的通解是----.
(A). . (B). .
(C). . (D). .
6.单摆的方程是其对应的一阶线性方程组为-------。

(A)., (B) ,
(C). (D) ,
7.三阶方程的特征方程的特征根为其基本解组是则该方程的通解是--------。
（A） ， (B) 。
(C) ， (D) 。

8.设函数时,则它在xoy平面上是------函数.
(A).正定。 (B).负定。 (C).变号. (D).不确定。
三．计算题。50分（1--5每小题8分，6小题10分）
1.求方程的通解。
2.求方程的通解。
3.求的解。
4.求方程的通解，且求该方程满足初始条件的特解。
5.求二阶方程的通解。
6.求一曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的二倍加一，且通过点。
附：常微分方程模拟试题（主要部分）解答

二．1、A；2、C；3、A；4、A；5、B；6、B；7、B；8、A；

三，1、解：对方程两端乘得：，
即：
2、解：分离变量有，，
积分有，，
得：。（x=0,y=0仍是解）

3、解：第一，由知：

则所求的方程是全微分方程。
第二，取通积分有，
，

4、解：令,有：
齐次方程通解 ，
代入初始条件，则解是 。
5、解：
令,有：。
又由于不是特征方程的根，
设
求导代回原式有： 从而
通解是，
6、解：设所求曲线上的任意点的坐标是（x,y）,
依题意有：

由曲线过（3，4）点，则,从而得：C=-8，
故曲线方程是。
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