矩阵与标准形.doc

第5讲 -矩阵与标准形内容：1. 矩阵的Jordan标准形2. 矩阵的最小多项式3. -矩阵与Smith标准型4. 多项式矩阵的互质性与既约性5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. 1 矩阵的Jordan标准形1.1 矩阵相似定义1.1 设和是矩阵，和是非奇异矩阵，若,则称和相抵；若,则称和相合（或协议）；若,则称和相似，即若，存在,使得，则称与相似，并称为把变成的相似变换矩阵.特别，当,称与酉相似，当,称与正交相似.相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：定理1.1 设, 是一个多项式，则（1） 反身性：与相似；（2） 对称性：若与相似，则与也相似；（3） 传递性：若相似于，相似于，则与相似；（4） 若与相似，则,；（5） 若与相似，则与相似；（6） 若与相似，则,即与有相同的特性多项式，从而特性值相同.对角矩阵是较简朴的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特性值等都比较方便.问题：方阵能否相似于一个对角矩阵？定义1.2 设，若相似于一个对角矩阵，则称可对角化.定理1.2 设，则可对角化的充要条件是有个线性无关的特性向量.证明 充足性.设,其中，则由得, ，可见是的特性值，的列向量是相应特性值的特性向量，再由可逆知线性无关.必要性. 假如有个线性无关的特性向量，即有,，记，则可逆，且有 ,即有，故可对角化.推论1.1 若阶方阵有个不同的特性值，则可对角化.推论1.2 设是阶方阵的所有互不相同的特性值，其重数分别为.若相应重特性值有个线性无关的特性向量，则可对角化.例1.1 研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似：1）， 2），3）解 1）因的特性多项式为，因而有三个不同的特性值：.由于的3个特性值互不相同，故能对角化. 又求得相应的三个特性向量为：,它们是线性无关的.取，则.2）特性多项式为.故特性值为（二重根），.特性值为的两个线性无关的特性向量为,，而特性值相应的一个特性向量为：，取，则.3）的特性多项式为，特性值为，.而相应于特性值1的一切特性向量为，.又相应于特性值的一切特性向量为，. 不存在三个线性无关的特性向量，所以不能与对角形矩阵相似.例1.2 设，求的相似对角矩阵及.解 由，得，（二重根）.则相应于的一个特性向量及相应于二重根的两个线性无关特性向量为，.取，则，故 （1.1） 注意，若取，则，可见不是唯一的.现在计算.由式（1.1）有，因此易知.1.2 特性矩阵设，称为的特性矩阵.定义1.3 称中所有非零的级子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式为的一个级行列式因子，.由定义1.3可知：.又因能整除每个级子式，从而可整除每个级子式（将级子式按一行或一列展开即知），因此能整除，并记为，.定义1.4 称下列个多项式,为的不变因式. 把每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算），称为的初级因子.因完全由决定， 的不变因式及初级因子也常称为矩阵的不变因式及初级因子.例1.3 求矩阵的不变因式及初级因子.解 因的特性矩阵为, 的行列式因子：,.不变因式：,.初级因子式：.1.3 矩阵的标准形定义1.5 设矩阵的所有初级因子为：，其中也许有相同的，指数也也许有相同的.对每个初级因子构作一个阶矩阵，称形如的阶方阵（或）为阶Jordan块（约当块）.称由的所有约当块构成的分块对角矩阵（或）为矩阵的约当形矩阵，或的Jordan标准形.例1.4 下列方阵都是Jordan块， .定理1.3 每个阶复数矩阵都与一个约当形矩阵相似，,除去约当块的排列顺序外，约当形矩阵是被矩阵唯一决定的.这个定理用线性变换的语言来说，设是复数域上维线性空间的线性变换，则在中必然存在一组基，使在这组基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列顺序外，这个约当矩阵是被唯一决定的.推论1.3 复数矩阵与对角形矩阵相似的充要条件是的初级因子全为一次式.例1.5 求矩阵的Jordan标准形. 解 由于的初级因子为，故的Jordan标准形为.例1.6 求矩阵的约当标准形及矩阵.解 由于的初级因子，故的约当标准形为：，再设，由，得,于是有,即得： （1.1） （1.2） （1.3）解方程（1.1）得基础解系为. 我们选取.又由于方程（1.3）与（1.1）是同样的，所以（1.3）的任一解具有形式：.为使方程（1.2）有解，可选择的值使下面两矩阵的秩相等：,，这样可得.故.将代入式（1.2），可得.取，即,便有.例1.7 求矩阵的特性多项式、初级因子及约当标准形.解 易得特性多项式为,不变因式为,故初级因子为.的约当标准形为对角形矩阵.例1.8 求线性微分方程组，的通解.这里，都是的未知函数.解 方程组为.其中,. 的初级因子：.可逆矩阵，使得 ，有,故 ，求得.所以，作满秩线性变换，其中.则有，即,即.由前两个方程可得.将代入第三个方程便得.故微分方程组的通解为：，这里是任意常数.2 矩阵的最小多项式2.1 矩阵的零化多项式定义2.1 若是个多项式，是个方阵，假如有（矩阵），则称是矩阵的零化多项式. 定理2.1（Hamilton-Cayley定理） 设阶矩阵的特性多项式为，则有，即（零矩阵）. （2.1）证明 设为的随着矩阵，则. （2.2）由于矩阵的元素都是行列式中的元素的代数余子式，因而都是的多项式，另一方面数都不超过，故可以写成如下形式，这里各个均为阶数字矩阵. 因此有.（2.3）另一方面，显然有 . （2.4）由等式（2.2）、（2.3）、（2.4）可得：. （2.5）以依次右乘（2.5）的第一式，第二式，第式，并将它们加起来，则左边变成零矩阵，而右边即为，故有（零矩阵）.显然，每个方阵都有零化多项式，由于它的特性多项式就是一个，但并不唯一.例2.1 设，试计算.解 因的特性多项式为.取多项式.以去除可得.这里余式.由Hamilton-Cayley定理，（矩阵），所以.2.2 矩阵的最小多项式定义2.2 设是阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式，称为的最小多项式.定理2.2 矩阵的任何零化多项式都被其最小多项式所整除.证明 设是的任一零化多项式，又是的最小多项式，以除即得，这里如不为零时则另一方面数小于的次数.于是有.因（矩阵），所以有（矩阵），即也是的零化多项式.假如，则的次数的次数，这与为最小多项式矛盾.所以，只能有，故.定理2.3 矩阵的最小多项式是唯一的.证明 若与均为的最小多项式，那末每一个都可被另一个所整除，因此两者只有常数因子的差别.这常数因子必然等于1，由于两者的首项系数都为1.故.定理2.4 矩阵的最小多项式的根必然是的特性根；反之，的特性根也必然是的最小多项式的根.证明 因的特性多项式是的零化多项式，故可被的最小多项式所整除，即是的因式，所以的根都是的根.反之，若是的一个特性根，且.又设的最小多项式.则 由于（矩阵），又，所以，亦即是的根.推论2.1 设矩阵的所有不同的特性值为，又的特性多项式为，则的最小多项式必具有如下形式：，这里每个.例2.2 求矩阵的最小多项式.解 的特性多项式为，故的最小多项式只能是，或.但由（矩阵）（直接计算可得），便知的最小多项式应为而不是.定理2.5 设是阶矩阵，是特性矩阵的阶行列式因子，则的最小多项式，这里是的第个不变因式.3 -矩阵与Smith标准型3.1 -矩阵定义3.1 设为数域上的多项式，则称认为元素的矩阵为多项式矩阵或-矩阵.数字矩阵和特性矩阵都是-矩阵的特例.-矩阵的加法、数乘和乘法运算与数字矩阵相同，并且有相同的运算规律.例3.1 是-矩阵，其中是一个未定元，当取具体的数时，它就是一个数字矩阵了.定义3.2 假如-矩阵中有一个阶（）子式不为零，而所有阶子式（假如有的话）全为零，则称的秩为,记为.零矩阵的秩为0.若阶-矩阵的秩为，则称为满秩的或非奇异的.定义3.3 设为一个阶-矩阵，假如存在阶-矩阵使 （3.1）则称为可逆的(或称是单模矩阵)，称为的逆矩阵，记为，是数字单位矩阵.定理3.1 一个阶的-矩阵可逆的充要条件是是一个非零的常数.证明 若-矩阵可逆，存在-矩阵使式（3.1）成立，对其两边取行列式便有,由于都是的多项式，所以都是常数.反之，设，则,因而是可逆的.这里，为的随着矩阵.由定理3.1可知，在-矩阵中，满秩矩阵未必是可逆的.3.2 初等变换与初等矩阵定义3.4 -矩阵的初等变换是指下面三种变换：（1） 任意两行（列）互换；（2） 用非零的数乘某行（列）； （3） 用的多项式乘某行（列），并将结果加到另一行（列）上去.称对数字单位矩阵施行上述三种类型的初等变换得到相应的三种-矩阵为初等矩阵. 因此初等矩阵的行列式为一个非零常数. 同数字矩阵同样，可证，施行行（列）初等变换相称于在矩阵的左（右）边乘以相应的初等矩阵，并且对一个-矩阵施行初等变换不改变-矩阵的秩.定义3.5 假如通过有限次的初等变换后变成，则称与等价，记为.-矩阵的等价关系满足：（1）自反性：每一个-矩阵与自身等价；（2）对称性：若，则；（3）传递性：若，则.显然，假如两个-矩阵等价，则其秩相等；反之，则不然. 这也是-矩阵与数字矩阵不同之处. 例如：，,的秩相等，但不等价.定理3.2 -矩阵与的等价的充要条件是存在两个可逆矩阵与，使得.3.3 多项式矩阵的史密斯（Smith）标准形在多项式矩阵的应用中，有多种标准形在不同场合里被使用着，这里只介绍其中最基本的一种，即史密斯（Smith）标准形.引理3.1 若多项式矩阵的左上角元素，并且中至少有一个元素不能被所整除，则必可找到一个与等价的多项式矩阵，其左上角元素也不等于零，且的次数低于的次数.证明 分三种情况来讨论：1）若的第一列中有某个元素不能被整除，则用去除可得,且余式的次数低于的次数，则有，则已达成规定；2）若的第一行中有某个元素不能被整除，则证法与1）类似；3）若的第一行与第一列的各个元素均可被整除，但中至少有某个元素不能被整除.此时可设，则有 .则的第一行中已至少有一个元素不能被左上角元素所整除，由于，推知不成立. 因此情形3）就归结为已证明了的情形2）.定理3.3 任一非零的多项式矩阵，都等价于一个如下形式的标准对角形：，这里是的秩,是首项系数为1的多项式，且.称为的史密斯（Smith）标准形.例3.2 求多项式矩阵的史密斯标准形.解 可求得.定义3.6 设多项式矩阵的秩，则称中的所有非零的阶子式的首项系数为1的最大公因式为的阶行列式因子，.定理3.4 若，则，必有相同的秩及相同的各阶行列式因子.设通过一次初等变换化为，则只须就三种初等变换的每一种证明与有相同的秩及相同的各阶行列式因子就行了.定义3.7 在的史密斯标准形中，多项式，称为的不变因式.可知：. （3.2）通过求行列式因子，也就可以求出的不变因式，从而可得到的史密斯标准形.由式（3.2）看出，的不变因式完全由其各阶行列式因子所唯一拟定，所以史密斯标准形是唯一的.还看出行列式因子之间满足整除关系.为单模矩阵的充要条件是可以表达成初等矩阵的乘积.假如取复数域，则我们还可以把的那些次数大于1的不变因式分解为一次因式的方幂的乘积.定义3.8 的每个次数的不变因式分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，称所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）为的初级因子.应用本节介绍的一般方法来计算的不变因式方法为：化多项式矩阵为史密斯标准形，得出不变因式. 再计算出初级因子，便可以写出矩阵的约当标准形了.定理3.5 两个多项式矩阵与等价的充要条件是两个矩阵有相同的行列式因子，或相同的不变因式.推论：数域上的两个阶矩阵，相似的充要条件是它们的特性矩阵与等价.4 多项式矩阵的互质性与既约性本节在复数域中讨论多项式矩阵.4.1 最大公因子定义4.1 设具有相同列数的多项式矩阵，与，假如存在多项式矩阵和，使得,，则称多项式矩阵为矩阵与的一个右公因子.类似地可以定义左公因子.定义4.2 假如1）是与的右公因子；2）与的任一其它的右公因子都是的右乘因子，即有多项式矩阵使得，则称多项式矩阵为具有相同列数的两个多项式矩阵与的一个最大右公因子（记为gcrd），类似地可以定义最大左公因子（gcld）.对任意的多项式矩阵与多项式矩阵，它们的最大右公因子都存在，由于便是一个.定理4.1（gcrd的构造定理） 假如可以找到一个的单模矩阵，使得 （4.1），则多项式矩阵为与的一个最大右公因子（gcrd）.相类似，也可以建立最大左公因子的构造定理.由于单模矩阵都可以表达成一些初等矩阵的乘积，故对一个多项式矩阵左乘一个单模矩阵，相称于对它施行一系列的初等行变换运算.求多项式矩阵与的一个gcrd，可通过对矩阵,施行一些初等行变换来得到，而相应的初等矩阵的乘积就是所要找的单模矩阵.例4.1 设,求gcrd.解 ,求得，,，即最大右公因子（Gcrd）的基本性质：1）不唯一性.若为具有相同列数的两个多项式矩阵与的一个gcrd，而为任一阶单模矩阵，则也是和的一个gcrd.2）若与是与的任意两个gcrd，则当为满秩矩阵或单模矩阵时，也一定是满秩矩阵或单模矩阵.3）对给定的与多项式矩阵与，则当为列满秩，即时，与的所有gcrd都必然是满秩的.4）若是与多项式矩阵与的一个gcrd，则可表达为,其中,分别是与多项式矩阵.相类似，也可以建立最大左公因子的基本性质.4.2 右互质和左互质定义4.3 假如两个具有相同列数的多项式矩阵与的最大右公因子（gcrd）为单模矩阵，称矩阵与为右互质的.类似地可定义左互质概念.注意右（左）互质时，未必是左（右）互质的.定理4.2（贝佐特判别准则） 两个与多项式矩阵与为右互质的充要条件是存在两个与多项式矩阵与，使得下面的贝佐特（Bezout）等式成立：. 证明 必要性. 设与是右互质的，则它们的gcrd为单模矩阵。由定理4.1（gcrd的构造定理）即得：. 因存在且为多项式矩阵，有 . 令,，即必要性成立.充足性.设，令为与的一个gcrd，则存在多项式矩阵和，使得,. 可得. 由于方括号内部分是个多项式矩阵，故为单模矩阵.从而与是右互质的.定理4.3 两个与多项式矩阵与为右互质的充要条件是矩阵的史密斯标准形为，而两个与多项式矩阵与为左互质的充要条件是矩阵的史密斯标准形为.5 有理式矩阵的标准形及既约分解把多项式矩阵推广为有理分式矩阵是必要的.5.1 有理式矩阵的标准形定义5.1 设矩阵的元素都是的有理分式，其中与都是的多项式，则称为有理分式矩阵，简称分式矩阵.显然，多项式矩阵是分式矩阵的特例.由于有理分式通过四则运算后仍为有理分式，因而可以像数字矩阵那样类似地定义的各种运算及概念，如的子式、秩等等.当为方阵时，如其行列式|不恒为0，则称是可逆的，其逆阵记为，它也是个有理分式矩阵，当然仍规定满足条件.定理5.1 设（零矩阵）是有理分式矩阵，且，则存在单模多项式矩阵及单模多项式矩阵，使得，其中，都是首一多项式，且满足条件：1）与互质，2）|，3）|，称为有理分式矩阵的史密斯麦克米伦（Smith-Mcmillan）标准形.它的意义在于为系统分析，特别是分析多变量系统的极点和零点提供了一种重要的概念性和理论性工具.证明 设有理分式矩阵的元素中个分母多项式的最小公倍式为(且为首项系数为1的多项式），则是多项式矩阵，且与有相同的秩.故有单模矩阵单模矩阵，把化为史密斯标准形，即,这里,并且.因此 , （5.1）而,把每个化为既约分式，且与都为首项系数为1的多项式，为简朴起见，（5.1）式经这样解决后左边仍用原式，于是得，其中,又由于既约分式，所以与互质，即定理中的1）得证.而2）与3）也不难证明.上述标准形是唯一的.例5.1 求有理分式矩阵的标准形.解 的元素中分母多项式的最小公倍式为，而,.5.2 既约分解定义5.2 设是有理分式矩阵，假如存在单模（多项式）矩阵及多项式矩阵使得 （5.2），则（5.2）式称为的一个左分解，或的一个左矩阵分式描述；而当矩阵与为左互质时，则（5.2）式称为的一个左既约分解.若存在单模（多项式）矩阵及多项式矩阵，使得 （5.3），则（5.3）式称为的一个右分解，或的一个右矩阵分式描述；若矩阵与为右互质的，则（5.3）式称为的一个右既约分解.定理5.2 任何有理分式矩阵都存在左分解、右分解、左既约分解及右既约分解.证明 由定理5.1,即有，因此，其中，.取,，则有，因而得到的一个左分解.同样有，取，则有.这便是的一个右分解.若是左分解，则可令是与的最大左公因子，由,可知左互质，但可逆，故,所以是的左既约分解.仿此可证存在右既约分解.注：有理分式矩阵的左、右分解是不唯一的.