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第 49 卷 第 6 期2023 年 6 月北京工业大学学报JOURNAL OF BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol.49No.6Jun.2023弱测量理论对三能级量子态共享的保真度分析胡文文1,周日贵2(1.南昌航空大学信息工程学院,南昌摇 330063;2.上海海事大学信息工程学院,上海摇 201306)摘摇 要:量子态共享是量子密码学研究中的一个重要分支,而纠缠态分发是实现量子态共享方案的必要手段.噪声环境会导致量子纠缠态产生退相干,从而降低量子态共享方案的性能甚至出现失败的情况.基于三能级量子系统下三方量子态共享方案,研究了振幅阻尼信道在 4 种不同配置下量子态共享的保真度问题.为提升共享量子态的保真度,采用量子弱测量方法对振幅阻尼噪声信道中纠缠态的分发进行保护,得到在量子弱测量方法辅助下振幅阻尼信道中量子态共享的保真度.最后,以特定形式的量子态为例,分析了在 4 种不同配置的振幅阻尼信道中量子弱测量方法对共享量子态保真度的改善效果.通过仿真实验表明,量子弱测量方法只对振幅阻尼信道中 2 种不同配置下的量子态共享保真度有改善作用,而对其他 2 种配置下量子态共享的保真度没有明显的改善效果,甚至会产生相反的效果.关键词:量子态共享;振幅阻尼;纠缠态;退相干;量子弱测量;保真度中图分类号:TN 918文献标志码:A文章编号:0254-0037(2023)06-0609-12doi:10.11936/bjutxb2022100012收稿日期:2022鄄10鄄27;修回日期:2023鄄02鄄28基金项目:南昌航空大学博士启动金资助项目(EA202204231);国家自然科学基金资助项目(6217070290)作者简介:胡文文(1991),男,讲师,主要从事量子图像处理、量子秘密共享、量子密钥分发方面的研究,E鄄mail:通信作者:周日贵(1973),男,教授,主要从事智能信息处理、量子信息处理和量子计算方面的研究,E鄄mail:Fidelity Analysis of Weak Measurement Theory forThree鄄level Quantum State SharingHU Wenwen1,ZHOU Rigui2(1.School of Information Engineering,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China;2.College of Information Engineering,Shanghai Maritime University,Shanghai 201306,China)Abstract:Quantum state sharing is an important branch of quantum cryptography,and entangled statedistribution is a necessary means to realize quantum state sharing scheme.Noise environment leads todecoherence of quantum entangled states,which reduce the performance of quantum state sharingschemes and even fail.Based on a tripartite quantum state sharing scheme in the three鄄level quantumsystem,the fidelity of quantum state sharing in four different configurations of amplitude鄄damped channelswas investigated in this paper.To improve the fidelity of shared quantum states,the quantum weakmeasurement method was used to protect the distribution of entangled states in the amplitude鄄dampednoise channel,and the fidelity of shared quantum states in the amplitude鄄damped channel with the aid ofquantum weak measurement method was obtained.Finally,taking a specific form of quantum state as anexample,the improvement effect of quantum weak measurement method on the fidelity of shared quantumstate in four different configurations of amplitude damped channels was analyzed.The simulation results北摇 京摇 工摇 业摇 大摇 学摇 学摇 报2023 年show that the quantum weak measurement method can only improve the shared fidelity of quantum statesunder two different configurations in the amplitude damped channel,but has no obvious improvementeffect on the shared fidelity of quantum states under the other two configurations,and even produces theopposite effect.Key words:quantum state sharing;amplitude damping;entangled states;decoherence;quantum weakmeasurement;fidelity摇摇为 保 护 秘 密 信 息 的 安 全 性,Shamir1和Blakley2在 1979 年提出秘密共享的概念.近年来,随着量子信息理论的发展和量子通信技术的成熟,秘密共享的概念延伸到量子信息领域.在 1999 年,Hillery 等3首 次 提 出 基 于 三 粒 子 最 大 纠 缠Greenberg鄄Horne鄄Zeilinger(GHZ)态共享经典比特信息或任意单量子比特信息的量子秘密共享(quantumsecret sharing,QSS)方案.2004 年,Lance 等4首次把多方量子态共享的 QSS 方案命名为量子态共享(quantum state sharing,QSTS).QSTS 实质上是一种受控的量子隐形传态方案,存在 1 个或多个参与方作为控制方.QSTS 方案自提出以来,就一直受到研究学者们的广泛关注,目前已提出了多种 QSTS 方案5鄄15.分析先前的 QSTS 方案发现,其中大多数方案都是在理想环境下设计的,没有考虑量子信道中实际存在的噪声影响.然而,在实际的量子通信中,信道中的振幅阻尼(amplitude damping,AD)噪声会不可避免地引起量子系统与环境系统的纠缠发生纠缠退相干现象,导致 QSTS 方案性能下降.在严重的情况下,甚至会出现纠缠猝死现象16鄄17,直接导致QSTS 方案的失效.量子纠缠是实现非定域性量子态共享方案的必须资源.赵慧等18鄄19研究了多体量子系统中量子态可分性问题和三体量子态的纠缠性质.因此,如何抑制量子信道中噪声引起的纠缠退相干效应是改善量子态共享方案性能的一个基础性问题,已受到国内外研究学者的密切关注.为克服这一问题,很多学者展开相关研究,其中 Aharonov等20鄄21提出量子弱测量理论,即采用弱测量(weakmeasurement,WM)与弱测量反转(weak measurementreverse,WMR)相结合的方法抑制量子态在噪声信道中的退相干.2009 年,Kim 等22、Lee 等23采用基本的线性光学元件通过实验验证了量子 WM 理论能有效提高光量子比特在 AD 信道中分发的保真度.自此以后,量子 WM 理论作为增强量子态在 AD信道中退相干抑制能力的一种有效方法得到广泛的应用24鄄36.例如,Pramanik 等24研究了量子 WM 理论对噪声环境下量子隐形传态方案保真度的影响;宗晓岚等26、黄江27研究了量子 WM 理论对多粒子纠缠态分发过程中相干性的保护效果;Bai 等28分析量子 WM 理论对 AD 信道和相位阻尼信道下量子态共享保真度的影响;Li 等29分析了量子 WM理论对 AD 信道下两粒子三能级量子纠缠态的保护效果;白晨明等30研究量子 WM 理论对 AD 噪声信道下量子态共享性能的改善;Wang 等31分析在 AD信道下,量子 WM 理论对三能级两粒子最大纠缠Bell 态相干性的保护效果.张晓东等32研究量子WM 对纠缠对参数估计精度的影响,表明系统中的纠缠会提高参数评估精度,而系统与探针间的纠缠则会降低参数评估的精度;丁东等33的研究表明量子 WM 方法有助于抑制和避免三粒子纠缠态在 AD信道中的退相干;Harraz 等34鄄35提出采用环境协助测量和量子 WM 相结合的方法,可以有效避免量子态在噪声信道的退相干,并且有效提升了恢复初始态的概率,以及采用该方法可以有效提升量子隐形传态方案的均值保真度;Chen 等36分析量子 WM方法对三粒子密度矩阵的反对角线中只有一对非零项的“X冶态在 AD 信道中非定域性的保护效果.通过文献分析发现,量子 WM 理论在二能级量子系统(qubit)退相干抑制方面的研究成果比较丰富,但是在三能级量子系统(qutrit)方面的研究较少.2020 年,Huang 等14分析了 Wang 等10提出的三能级量子系统下三方量子态共享方案在 AD 信道下的性能,同时给出了量子 WM 理论对方案性能的分析.然而,作者发现文献14只给出 AD 噪声在V鄄配置下的性能分析,并且相应的性能分析仅仅是在一种特定的测量结果下得到的.考虑到在三能级量子系统下,各个能级之间存在相互转化的情况,量子信道中的 AD 噪声也具有不同的配置情形31.因此,笔者认为 Huang 等14给出的性能分析缺乏严谨性和不够全面.于是,本文进一步研究了量子 WM理论对 Wang 等10提出的三能级量子系统下三方量子态共享方案在不同配置的 AD 信道中共享保真016摇 第 6 期胡文文,等:弱测量理论对三能级量子态共享的保真度分析度影响.1摇 基础知识1郾 1摇 振幅阻尼噪声模型Wang 等31在 2020 年提出 qutrit 在 AD 信道中的 驻鄄配置模型,直观描述了不同能级之间的转化情况.如图 1 所示,其中 D1,D2,D3沂0,1,D2+D3臆1,D1、D2和 D3分别表示量子计算基态|1业寅|0业,|2业寅|0业和|2业寅|1业之间的转化概率.基于 驻鄄配置模型表示,量子信道中的 AD 噪声分为如下 3 种配置:D1=0,对应为 撰鄄配置;D2=0,对应为 Cascade(C)鄄配置;D3=0,对应为 V鄄配置.图 1摇 AD 信道的 驻鄄配置物理模型示意Fig.1摇 Schematic diagram of the 驻鄄configuration physicalmodel of amplitude damping channel摇此外,考虑到在量子态|2业寅|0业和|1业寅|0业转化同时,量子态|2业寅|1业的转化也会发生,本文提出一种新的 AD 噪声配置,即 Full(F)鄄配置,定义为D1,D2,D3沂(0,1),D2+D3臆1.对于噪声信道中的量子态传输,可采用算子和的形式37着(籽)=移iKi籽K覮i(1)式中:移iKiK覮i=I;Ki为 Kraus 算子;籽 为任意的量子态密度矩阵;着(籽)表示经噪声信道传输后量子态的密度矩阵.基于图 1 中 驻鄄配置的物理模型示意,在 AD 信道中 qutrit 系统状态与环境状态(假设环境的初始态为|0业)的酉变换演化可以描述为|0业S|0业E寅|0业S|0业E|1业S|0业E寅1-D1|1业S|0业E+D1|0业S|1业E|2业S|0业E寅1-D2-D3|2业S|0业E+D3|1业S|1业E+D2|0业S|2业E(2)式中下标 S 和 E 分别表示系统和环境.进一步将式(2)描述的变换表示为 Kraus 算子集K0,K1,K2的形式为K0=10001-D10001-D2-D3K1=0D1000D3000K2=00D2000000(3)1郾 2摇 量子 WM 方法对于单个 qutrit,量子 WM 的非酉算子29形式为MWM=10001-P10001-P2(4)式中:P1表示量子态|1业 寅|0业 转化的 WM 强度,0臆P1臆1;P2表示量子态|2业寅|0业转化的 WM 强度,0臆P2臆1.经过量子 WM 操作后,被测量后的量子态可以通过一个适当的量子 WMR 操作恢复,对应的非酉算子形式为MWMR=摇(1-Q1)(1-Q2)0001-Q10001-Q2(5)式中:Q1表示量子态|1业寅|0业转化的 WMR 强度,0臆Q1臆1;Q2表示量子态|2业寅|0业转化的 WMR 强度,0臆Q2臆1.2摇 量子态共享方案及保真度分析2郾 1摇 量子态共享方案Wang 等10提出的三方量子态分享方案可以描述为:秘密分发者 Alice 和 2 个合法用户 Bob 与Charlie 之间共享一个任意的单粒子三能级量子态,当且仅当 Bob 与 Charlie 相互合作时,Bob 或者Charlie 便可以恢复 Alice 共享的量子态.在协议开始前,Alice、Bob 和 Charlie 共享如下的量子态:|椎业1234=|S业1茚|鬃业234|S业1=移2j=0cj|j业=c0|0业+c1|1业+c2|2业|鬃业234=13移2j=0|j,j,j业=116北摇 京摇 工摇 业摇 大摇 学摇 学摇 报2023 年13(|000业+|111业+|222业)(6)式中 c0、c1、c2为复数,并且满足归一化条件|c0|2+|c1|2+|c2|2=1.假设 Alice 拥有粒子 1 和 2,Bob 拥有粒子 3,Charlie 拥有粒子 4,|S业 是待共享的未知量子态.图 2给出量子态共享方案的流程,主要分为 3 个步骤,图中 CC 表示经典通信信道.图 2摇 三方量子态共享方案的示意Fig.2摇 Schematic diagram of three鄄party QSTS scheme摇摇 摇 步骤 1摇 Alice 在 2 个粒子(1,2)上执行广义的Bell 态 投 影 测 量(generalized bell鄄state projectivemeasurement,GBSPM).Alice 的测量过程可以描述为|鬃mn业12掖鬃|椎业1234=13|鬃mn业12移2j=0cje-2仔i3jm|j+n业3|j+n业4(7)式中|鬃mn业为广义的 Bell 态.|鬃mn业=13移2j=0e2仔i3jm|j,j+n业,m,n=0,1,2(8)式中j+n表示运算(j+n)mod 3.对粒子(1,2)求偏迹后,可得到与 Alice 测量结果|鬃mn业相对应的(3,4)粒子塌缩后的量子态|椎*业34=13移2j=0cje-2仔i3jm|j+n业3|j+n业4(9)步骤 2摇Alice 选择把测量结果|鬃mn业告诉 Bob(Charlie),然后指定 Charlie(Bob)对粒子执行单粒子投影测量(single鄄qutrit projective measurement,SQPM).不失一般性,假设 Alice 指定 Charlie 为量子态的恢复者,并把测量结果告诉 Charlie.与此同时,Alice 要求Bob 对粒子3 执行测量基底为|X0业,|X1业,|X2业的SQPM 操作.Bob 的测量过程可以描述为|X灼业3掖X灼|椎*业34=13 3|X灼业3移2j=0cje-2仔ijm+(j+n)灼3|j+n业4(10)式中测量基底|X灼业表示表示为|X灼业=13移2j=0e2仔i3j灼|j业,灼=0,1,2(11)对粒子 3 求偏迹后,可得到对应于 Bob 测量结果|X灼业粒子 4 塌缩后的量子态|S*业4=13 3移2j=0cje-2仔ijm+(j+n)灼3|j+n业4(12)步骤 3摇Bob 将测量结果告诉 Charlie.基于Alice 和 Bob 的测量结果,Charlie 在粒子 4 上执行酉算子 U4,且U4=移2j=0e2仔ijm+(j+n)灼3|j业掖j+n|(13)便可以恢复 Alice 共享的量子态|S业.2郾 2摇 保真度分析本节具体分析上述的量子态共享方案在 AD 信道下量子态的共享保真度.为了简化分析,假设每个 qutrit 在 AD 信道中是相互独立并且受到同等强度的退相干过程,并且假设保留在本地的粒子不会受到 AD 噪声的影响.图 3 给出纠缠态|鬃业234经 AD噪声信道分发的示意,AD 噪声信道对|鬃业234的退相干过程可以描述为籽AD=移2m,n=0(I茚Km茚Kn)籽234(I茚Km茚Kn)(14)式中:籽234=|鬃业234掖鬃|,为纠缠态|鬃业234的密度矩阵;Km和 Kn分别表示作用在粒子 3 和粒子 4 上的Kraus 算子;籽AD表示量子态|鬃业234经 AD 信道分发后的密度矩阵.在完成纠缠态|鬃业234中(3,4)粒子的分发之后,Alice、Bob 和Charlie 按步骤执行3郾 1 小节中的量子态共享方案.假设 Alice 指定 Charlie 为共享量子态的恢复者,Charlie 所拥有粒子4 的密度矩阵最终塌缩至籽mn灼,其中上标 m,n=0,1,2 表示 Alice 的测量结果|鬃mn业,下标 灼=0,1,2 表示 Bob 的测量结果|X灼业.经216摇 第 6 期胡文文,等:弱测量理论对三能级量子态共享的保真度分析图 3摇 纠缠态|鬃业234在 AD 信道中分发的示意Fig.3摇 Schematic diagram of entangled state|鬃业234distributed in AD channel摇过计算,密度矩阵 籽mn灼呈现如下3 种不同的形式:籽00,10,200,1,2=127E011E012E013E021E022E023E031E032E033籽01,11,210,1,2=127E111E112E113E121E122E123E131E132E133籽02,12,220,1,2=127E211E212E213E221E222E223E231E232E233(15)式中的具体数值为E011=c20+c21D1+c22D2E022=c21(1-D1)+c22D3E033=c22(1-D2-D3)E012=E021=c1c0(1-D1)+c2D1D3+c2XE013=E031=c0c2(1-D2-D3)E023=E032=c1c21-D2-D3-D1(1-D2-D3)+XE111=c20(1-D1)+c21D3E122=c21(1-D2-D3)E133=c22+c20D1+c21D2E112=E121=c0c11-D2-D3-D1(1-D2-D3)+XE113=E131=c0c2(1-D1)+c1D1D3+c1XE123=E132=c1c2(1-D2-D3)E211=c20(1-D2-D3)E222=c21+c22D1+c20D2E233=c22(1-D1)+c20D3E212=E221=c0c1(1-D2-D3)E213=E231=c0c21-D2-D3-D1(1-D2-D3)+XE223=E232=c2c1(1-D1)+c0D1D3+c0XX=(1-D1)D1(1-D2-D3)D3(16)基于式(15)的结果,在 AD 信道下量子态共享的保真度 FAD计算公式为FAD=移m,n=0,1,2灼=0,1,2掖S|籽mn灼|S业=13(c40+c41+c42)(3-D1-D2-D3)+2c0c1c2(c1+c2)(XD3+D1D3)+c21c22Y+c202c1c2(X+D1D3)+(c21+c22)Y(17)式中:X 的数值见式(16);Y 的数值为Y=2(1-D1)D1(1-D2-D3)D3+3(2-D2-D3)+D1(2D2+2D3-3)(18)如式(17)所示,|S业的共享保真度不仅和 AD强度参数D1,D2,D3有关,也和量子态振幅系数c0,c1,c2有关.为简化分析,文中给出量子态|S业在以下 4 种特定情况下的保真度分析:淤|S业=1/3(|0业+|1业+|2业);于 c0=0,|S业=c1|1业+c2|2业;盂 c1=0,|S业=c0|0业+c2|2业;榆 c2=0,|S业=c0|0业+c1|1业.基于式(17),得到 4 种情况下|S业的共享保真度F012AD=19(3-D1-D2-D3)+427X+D1D3D3+192X+3(2-D2-D3)+D1(2D2+2D3-3)+227(X+D1D3)F12AD=13(c41+c42)(3-D1-D2-D3)+c21c222X+3(2-D2-D3)+D1(2D2+2D3-3)F02AD=13(c40+c42)(3-D1-D2-D3)+c20c222X+3(2-D2-D3)+D1(2D2+2D3-3)F01AD=13(c40+c41)(3-D1-D2-D3)+c20c212X+3(2-D2-D3)+D1(2D2+2D3-3)(19)式中 F012AD、F12AD、F02AD和 F01AD分别对应|S业在4 种情况下的保真度.当 F12AD、F02AD和 F01AD分别对输入参数 c22、c20和 c21在区间0,1上计算平均值时,得到 F12AD、F02AD和 F01AD的均值保真度 FMAD.FMAD=29(3-D1-D2-D3)+1182X+3(2-D2-D3)+D1(2D2+2D3-3)(20)316北摇 京摇 工摇 业摇 大摇 学摇 学摇 报2023 年从式(20)中可以看出,FMAD大小只与 AD 的强度参数D1,D2,D3有关.为进一步简化分析,假设在3 种配置撰,C,V中,三能级量子系统中各能级量子态之间的转化概率相同,即有:撰鄄配置下,D2=D3=(1/2)D;C鄄配置下,D1=D3=D;V鄄配置下,D1=D2=D.此外,在 F鄄配置下,D1=D,D2=D3=(1/2)D,其中 D 表示信道中振幅阻尼强度,于是得到|S业在 4 种不同配置下的保真度.F鄄配置颐F012AD=199+(3-2 2)D2-2(4-2)DFMAD=11818+2D2+2D(1-D)-14D撰鄄配置颐F012AD=1-49DFMAD=1-718DC鄄配置颐F012AD=1-49DFMAD=1-23DV鄄配置颐F012AD=1+29D2-89DFMAD=1+19D2-79D(21)图 4摇 共享保真度F012AD,FMAD与 AD 强度 D 之间的关系Fig.4摇 Relationship between the shared fidelitiesF012AD,FMADand amplitude damping strength D图 4 给出保真度 F012AD和 FMAD在 4 种不同配置F,撰,C,V下的曲线图,可以看出量子信道中的AD 噪声会明显降低共享量子态的保真度,并且 F012AD和 FMAD都随着 AD 强度 D 的增加而逐渐减小.当D=0时,即信道中不存在 AD 噪声时,F012AD和 FMAD取得对应的最大值 1;当 D=1 时,F012AD和 FMAD取得对应的最小值.在 F鄄配置和 C鄄配置下,F012AD始终大于FMAD;与之相反,在 撰鄄配置和 V鄄配置下,F012AD始终小于 FMAD.当 AD 强度 D=1 时,F012AD在 撰鄄配置和 C鄄配置下的最小值 5/9,F鄄配置和 V鄄配置下的最小值为1/3;FMAD在 撰鄄配置下的最小值为 11/18,在 F鄄配置、C鄄配置和 V鄄配置下的最小值均为 1/3.在整体情况下,量子态的退相干效应由强到弱顺序依次是:V鄄配置、C鄄配置、F鄄配置和 撰鄄配置.于是,当量子信道中的 AD 强度 D 相同时,F012AD和 FMAD在 V鄄配置下取得最小值,在 撰鄄配置下取得的最大值.以上的分析结果可以从物理理论层次上解释如下:F012AD和 FMAD在 V鄄配置下取得最小值是因为 AD 信道中的 D3=0,不存在量子计算基态|2业寅|1业的退相干转化,发生退相干转化|2业寅|0业和|1业寅|0业,量子计算基态|2业和|1业都发生了退相干转化,量子态在整体上的退相干强度最大.因此,共享量子态保真度的数值最小;F012AD和 FMAD在 撰鄄配置下取得最大值是因为 AD 信道中的系数 D1=0,不存在量子计算基态|1业寅|0业的退相干转化,发生退相干转化|2业寅|1业和|2业寅|0业,只有量子计算基态|2业发生退相干转化,量子态在整体上的退相干强度最小.因此,共享量子态的保真度的数值最大;在 C鄄配置下,AD 信道中的系数 D2=0,不存在量子计算基态|2业寅|0业的退相干转化,发生退相干转化|2业寅|1业和|1业寅|0业,量子计算基态|2业和|1业都存在退相干,但是退相干转化|2业寅|1业在一定程度上弥补了量子计算基态|1业的退相干,量子态在整体上的退相干强度得到相应的补偿.因此,共享量子态的保真度的数值介于 V鄄配置和 撰鄄配置之间;在 F 配置下,AD 信道中的系数 D1、D2、D3屹0,发生退相干转化|2业寅|1业、|2业寅|0业和|1业寅|0业,量子计算基态|2业和|1业都存在退相干.尽管退相干转化|2业 寅|1业弥补了量子计算基态|1业的退相干,但是其退相干转化的弥补程度小于对应 C鄄配置下的退相干转化,量子态在整体上的退相干强度虽得到相应的补416摇 第 6 期胡文文,等:弱测量理论对三能级量子态共享的保真度分析偿但是小于对应的 C鄄配置.因此,共享量子态的保真度的数值介于 V鄄配置和 C鄄配置之间.3摇 量子 WM 方法对保真度的影响为提升在 AD 信道中量子态共享的保真度,图5给出一种基于量子 WM 和 WMR 方法保护 AD 信道中纠缠态|鬃业234的分发过程,具体描述为:粒子(3,4)在经 AD 信道发送前后,Alice 分别对粒子 3 和 4执行 1 次 WM 操作,Bob 和 Charlie 在接收到各自的粒子后分别执行 1 次 WMR 操作.图 5摇 利用量子 WM 理论保护纠缠态|鬃业234经AD 信道分发的示意Fig.5 摇Schematicdiagramofusingquantumweakmeasurement theory to protect the distribution ofentangled state|鬃业234in AD channel摇如图 5 所示,当 Alice 对量子态|鬃业234中的(3,4)粒子分别执行 1 次量子 WM 操作后,(2,3,4)粒子演化后的联合密度矩阵为籽WM=(I茚MWM茚MWM)籽(I茚MWM茚MWM)(22)于是,当粒子(3,4)经过 AD 信道发送后,(2,3,4)粒子的联合密度矩阵 籽WM进一步演化为籽AD=移2m,n=0(I茚Km茚Kn)籽WM(I茚K覮m茚K覮n)(23)最后,当 Bob 和 Charlie 对各自的粒子执行量子WMR 操作,(2,3,4)粒子的联合密度矩阵最终演化为籽WMR=(I茚MWMR茚MWMR)伊籽AD(I茚MWMR茚MWMR)(24)其中 籽WMR表示 Alice、Bob 和 Charlie 最终共享的(2,3,4)粒子的联合密度矩阵.不失一般性,假设作用于单粒子三能级量子态上的 WM 和 WMR 强度相同,即有 P1=P2=P,Q1=Q2=Q.此外,考虑在量子 WM 和 WMR 过程中探测器的效率,Alice、Bob 和 Charlie 三方之间最终成功共享(2,3,4)粒子纠缠态的概率(本文用 p 表示)计算公式为p=trace(籽WMR)=(1-Q)233-2(1+D1+D2)Q+(1+D1+D2)Q2+P(P-2)(2-2D1Q-2D2Q+D1Q2+D2Q2)(25)基于量子 WM 理论保护纠缠态|鬃业234在 AD 信道中分发的基础上,Alice、Bob 和 Charlie 三方按 2郾 1小节中介绍的三方量子态共享方案的实现量子态的共享过程.最终,假设 Charlie 所拥有的粒子 4 的密度矩阵塌缩至 Wmn灼,其中 m,n=0,1,2 对应于 Alice的测量结果|鬃mn业,灼=0,1,2 对应于表示 Bob 的测量结果|X灼业.经过计算,Wmn灼具有如下 3 种形式:W00,10,200,1,2=1pW011W012W013W021W022W023W031W032W033W01,11,210,1,2=1pW111W112W113W121W122W123W131W132W133W02,12,220,1,2=1pW211W212W213W221W222W223W231W232W233(26)式中矩阵元素的具体数值为W011=(1-Q)3c20(1-Q)+(1-P)2c21D1(1-D1Q)+c22D2(1-D2Q)W022=(1-P)2(1-Q)2c21(1-D1)(1-D1Q)+c22D3(1-D2Q)W033=c22(1-D2-D3)(1-P)2(1-Q)2(1-D2Q)W012=W021=c1(1-P)c2X(1-P)(1-Q)52+c0(1-D1)(1-Q)3+c2D1D3(1-P)(1-Q)3W013=W031=c0c2(1-D2-D3)(1-P)(1-Q)3W023=W032=c1c2(1-P)2X(1-Q)52+(1-D1)(1-D2-D3)(1-Q)2W111=(1-P)2(1-Q)2c20(1-D1)(1-D1Q)+c21D3(1-D2Q)W122=c21(1-D2-D3)(1-P)2(1-Q)2(1-D2Q)W133=(1-Q)3c22(1-Q)+(1-P)2c20D1(1-D1Q)+c21D2(1-D2Q)W112=W121=c0c1(1-P)2X(1-Q)52+(1-D1)(1-D2-D3)(1-Q)2W113=W131=c0(1-P)c1X(1-P)(1-Q)52+c2(1-D1)(1-Q)3+c2D1D3(1-P)(1-Q)3516北摇 京摇 工摇 业摇 大摇 学摇 学摇 报2023 年W123=W132=c1c2(1-D2-D3)(1-P)(1-Q)3W211=c20(1-D2-D3)(1-P)2(1-Q)2(1-D2Q)W222=(1-Q)3c21(1-Q)+(1-P)2c2D1(1-D1Q)+c0D2(1-D2Q)W233=(1-P)2(1-Q)2c22(1-D1)(1-D1Q)+c0D3(1-D2Q)W212=W221=c0c1(1-D2-D3)(1-P)(1-Q)3W213=W231=c0c2(1-P)2X(1-Q)52+(1-D1)(1-D2-D3)(1-Q)2W223=W232=c1(1-P)c2X(1-P)(1-Q)52+c0(1-D1)(1-Q)3+c2D1D3(1-P)(1-Q)3(27)基于上述结果,可以得到在量子 WM 和 WMR的保护下,|S业共享的保真度计算公式为FWR=移A=mn,B=灼m,n,灼沂0,1,2掖S|WAB|S业=(1-Q)23p2c0c1c2(c1+c2)(1-P)2X1-Q+D1D3(1-Q)+(c40+c41+c42)3-D2-D3-4P+P2(D2+D3)+(2-D2-D3)P-2Q+D21(1-P)2Q-D2(1-D2-D3)(1-P)2Q+Q2-D1(1-P)2(1+Q)+c20(-1+P)2c1c2(-1+P)X1-Q-D1D3(-1+Q)+(c21+c22)Z+c21c22(-1+P)ZZ=-2X1-Q+2XP1-Q+D21(1-P)(1-Q)Q-D22(1-P)(1-Q)Q+(2-D3)(3-P-2Q)-D13-2D2(1-P)-2D3(1-P)-P-(1+P)Q+D2P-3+1-D3(1-P)+PQ(28)从式(28)可以看出,FWR数值和 AD 信道中的参数D1,D2,D3、WM 强度 P、WMR 强度 Q,以及|S业的 3 个系数c0,c1,c2有关.为与 2郾 2 小节中AD 信道下|S业的共享保真度进行对比分析,同样给出|S业在 4 种特定情况下的共享保真度 F012WR、F12WR、F02WR和 F01WR分别为F012WR=(1-Q)29p9-4D3-12P+6D3P+4P2-2D3P2+4X1-Q-8XP1-Q+4XP21-Q-6Q+2D3Q+4PQ-2D3PQ+Q2+(D21+D22)(1-P)2Q2-2D2(-1+P)(-2+P+PQ)-2D1(-1+P)-2+D2+P-D2P+D3(-1+P)(-2+Q)+PQ(29)F12WR=13p(-1+P)(-1+Q)2c22(-1+D1)c21(-1+Q)+c22(-1+P)(-1+D1Q)+c21(-1+D2+D3)c22(-1+Q)+c21(-1+P)(-1+D2Q)+c22(-1+P)2c21X(1-Q)52+(-1+D1)(-1+D2+D3)(-1+Q)2+c22(-1+D2+D3)(-1+Q)2(-1+D2Q)+c21(-1+P)2c22X(1-Q)52+(-1+D1)(-1+D2+D3)(-1+Q)2+(-1+Q)2c21(-1+D1)(-1+D1Q)+c22D3(1-D2Q)+(-1+Q)3c21c21(-1+Q)+c22(-1+P)1-D1P+D21(-1+P)Q+c22c22(-1+Q)-c21(-1+P)-1+D3+D2P+D22(1-P)Q(30)F02WR=13p(-1+P)(-1+Q)2c20(-1+D1)c22(-1+Q)+c20(-1+P)(-1+D1Q)+c22(-1+D2+D3)c20(-1+Q)+c22(-1+P)(-1+D2Q)+c20(-1+P)2c22X(1-Q)52+(-1+D1)(-1+D2+D3)(-1+Q)2+c20(-1+D2+D3)(-1+Q)2(-1+D2Q)+c22(-1+P)2c20X(1-Q)52+(-1+D1)(-1+D2+D3)(-1+Q)2+(-1+Q)2c21(-1+D1)(-1+D1Q)+c20D3(1-D2Q)+(-1+Q)3c22c22(-1+Q)+c20(-1+P)1-D1P+D21(-1+P)Q+c20c20(-1+Q)-c22(-1+P)-1+D3+D2P+D22(1-P)Q(31)F01WR=13p(-1+P)(-1+Q)2c21(-1+D1)c20(-1+Q)+c21(-1+P)(-1+D1Q)+c20(-1+D2+D3)c21(-1+Q)+c20(-1+P)(-1+D2Q)+c21(-1+P)2c20X(1-Q)52+(-1+D1)(-1+D2+D3)(-1+Q)2+c21(-1+D2+D3)(-1+Q)2(-1+D2Q)+c20(-1+P)2c21X(1-Q)52+(-1+D1)(-1+D2+D3)(-1+Q)2+(-1+Q)2c20(-1+D1)(-1+D1Q)+c21D3(1-D2Q)+(-1+Q)3c20c20(-1+Q)+c21(-1+P)1-D1P+D21(-1+P)Q+616摇 第 6 期胡文文,等:弱测量理论对三能级量子态共享的保真度分析c21c21(-