不等式的证明测试题及答案.doc

不等式的证明
班级 ＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分）
１．若a>0， b 〉0,则 的最小值是 ( ）
A．2 B． C． D．4
2．分析法证明不等式中所说的“执果索因"是指寻求使不等式成立的 （ )
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．必要或充分条件
3．设a、b为正数,且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是 （ )
A． B． C． D．
4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，则下列各式中,一定正确的是 ( ）
A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c
5．设a=，b=，，则a、b、c间的大小关系是 （ ）
A．a>b〉c B．b〉a〉c C．b〉c>a D．a>c〉b
6．已知a、b、m为正实数，则不等式 ( ）
A．当a〈 b时成立 B．当a〉 b时成立
C．是否成立与m无关 D．一定成立
7．设x为实数，P=ex+e-x，Q=（sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是 （ )
A．P≥Q B．P≤Q C．P〉Q D． P〈Q
8．已知a〉 b且a+ b 〈0,则下列不等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
9．设a、b为正实数，P=aabb，Ｑ=abba，则P、Q的大小关系是 （ ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q D．不能确定
10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走,若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 ( ）
A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同时到 D．不能确定
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题
11．若实数满足，则的最小值为
12．函数的最小值为_____________。
13．使不等式a2〉b 2,，lg（a－b)〉0， 2a〉2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是 ．
14．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为 元．
三、解答题
15．（1)若a、b、c都是正数,且a+b+c=1,
求证： （1–a）（1–b)(1–c）≥8abc．
（2）已知实数满足，且有
求证：
16．设的大小．(12分)
17．（1）求证:
（2)已知a，b，c都是正数,且a，b,c成等比数列，求证：
18．（1)已知x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2，且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd．
(2） 已知,且
求证:
19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ〈1)，画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?
20．数列{xn}由下列条件确定：．
（Ⅰ)证明：对n≥2,总有xn≥；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥．
参考答案
一．选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
B
D
A
A
C
A
A
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分,共24分）
11． 12． 13．a〉b〉1 14．1760
三、解答题(本大题共6题，共76分)
15．(12分）
［证明]：因为a、b、c都是正数,且a+b+c=1，
所以（1–a)（1–b)（1–c)=(b+c）（ a+c）（ a+b）≥2·2·2=8abc．
16．（12分）
［解析 ]：
(当且仅当t=1时时等号成立)
(1) 当t=1时， （2） 当时，，
若
若
17．(12分)
[证明］：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列，
又∵a，b，c都是正数，所以≤ ∴
∴
∴
18．（12分）
[证法一］:（分析法）∵a， b， c， d， x， y都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd
只需证：（xy)2≥（ac + bd）2 即：(a2 + b2）(c2 + d2）≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac + bd
［证法二］：（综合法）xy =
≥
［证法三］：(三角代换法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsina， b = xcosa
y2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb
∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b）≤xy
19．(14分）
［解析］：设画面高为x cm，宽为x cm 则x2=4840．
设纸张面积为S，有 S=(x +16）（x +10) = x 2+(16+10) x +160，
S=5000+44
当8
此时，高: 宽:
答:画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
20．（14分）
（I）证明:由及可归纳证明（没有证明过程不扣分）
从而有 所以，当成立。
（II）证法一：当
所以 故当
证法二：当
所以 故当.
2．证明：
即
4．证明：
是方程的两个不等实根，
则，得
而
即,得
所以，即
5．证明：显然
是方程的两个实根,
由得，同理可得，
4