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西工大—高数答案—重积分

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第九章 重积分

第一节 重积分的概念与性质
1.选择
设,,
（1）若由轴、轴与直线围成,则在上.
.; .;
由二重积分的性质可知,.
.; .; .;
（2）若由圆周围成,则.
.; .; .;
2.填空
设,
（1）若,域为,,则在上,的最小值为
,最大值为;由二重积分的性质可知,;
（2）若,域为,则在上,的最小值为,最大值为,因此.
3.设,其中是矩形闭区域：,;
,其中是矩形闭区域：,,试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.
解 设函数,则积分的几何意义是在矩形域上以
曲面为曲顶的曲顶柱体体积. 由于域关于（即轴）对称,而函数
是的偶函数（即曲面关于面对称）,因此
= ,
其中域为,. 同理,关于对称,是的偶函数,因此,
=
于是=4,即.

第二节 二重积分的计算
1.填空
（1）改变积分次序
=.
（2）改变积分次序
=+
=.
若,则=.
（3）设：,,则应把二重积分化为先对后对的二次积分
==4.
（4）二重积分=.
（5）二重积分
=
==.
2.画出积分区域,并计算下列二重积分.
（1）,其中是闭区域,.
解 原式==
==.
（2）,其中是由直线,,所围成的闭区域.
解 将视为型区域,则：,.
原式=
===.
（3）,其中是由不等式,所确定的闭区域.
解 原式====.
易犯的错误是：认为积分区域是关于轴对称的,因此原积分等于在域内第一象限
部分域上积分的2倍,即
原式=2 , =
此解错在没有被积函数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算.
（4）,其中是由曲线,和围成的闭区域.
解 ===.
3.计算积分的值.
解 由于函数的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域为由所围成的区域,故
原式=====.
4.设为以点为顶点的三角形,为在第一象限部分,试将化为上的积分.
解 如图9.1所示,将积分区域分为与两部分,其中为三角形,为三角形.
显然关于轴对称,关于轴对称,又因为

函数关于,均为奇函数,所以
=0, =0.
故 =+=0.
又函数关于为偶函数,关于为奇函
图 9.1
数, 所以
=2,=0.
综上所述,
=2.
5.证明：=.
分析 因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,应从左端出发证明， 作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等. 但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于先积分,故考虑改变积分次序.
解 ==.
6.求下列空间域的体积.
（1）由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体.
解 曲顶柱体以为底,以为顶面,故所求立体体积
===6-1-=.
（2）由曲面及围成的立体.
解 两曲面的交线满足方程组

消去,得.所求立体的体积
=
=3=3
==.
7.画出积分区域,并且把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域是：
（1） , ;
解 积分区域如图9.2(a)所示,其边界曲线及在极坐标下的方程分别为及.
原积分=

图 9.2（a）
图 9.2（b）

易犯的错误是：积分区域如图9.2(b)所示.
原积分=.
此错误是由作图不准确造成的.
（2）由曲线,及
围成的闭区域（）.
解 积分区域如图9.3所示,曲线
图 9.3
及
在极坐标下的方程分别为及.
原积分=
+.
易犯的错误是：原积分=.
8.计算,其中：.
解 积分区域关于轴,轴均对称,被积函数关于,均为偶函数,故
=4（为位于第一象限的部分）
=4=.
9.选择适当的坐标计算下列各题.
（1）,其中是圆环形闭区域：.
解 原式===.
（2）,其中是由曲线和在第一象限所围成的区域.
解 =
= ==.
（3）,是由圆周,及直线所围成的在第一象限内的区域.
解 ==.
（4） ,其中是由直线,,,所围成的闭区域.
解 原式==
=
= =.
易犯的错误时：认为积分区域如图9.4
所示.
原式=
图 9.4
+.
此错误是由画图不准确造成的.
（5） ,其中是直线,,及曲线所围成的平面区域.
解1 区域及如图9.5所示,有
=- =
=4-=4-

-2
2

图 9.5
=4-.
解2 如图9.5所示,
,
=
=
=4-
=4-.
10.求由圆和心形线所围图形（在圆外部分）的面积.
解 由得交点：,.面积
==
===.
11.设平面薄片所占的闭区域是由螺线上一段弧与直线所围成,它的面密度.求此薄片的质量.
解 质量=====.

第三节 三重积分的计算
1.化为三次积分,其中积分区域分别是：
（1）由双曲抛物面及平面,所围成的闭区域.
（2）由曲面,及平面,所围成的闭区域.
解 （1）由消去,得,即或.因此空间域是以为下曲面,为上曲面,侧面是柱面,,.因此
原式=.
（2）积分区域可表示为
,,
所以
.
2.计算,其中由,,和所围成的闭区域.
解 将积分区域向平面投影得：,,则可表示成,,故
==
===.

3.计算,其中是由锥面与平面所围成的闭区域.
解1 积分区域如图9.6所示,用竖
坐标为的平面截域,得圆域
,
其面积为,采用“先二后一法”计算.
图 9.6
==
==.
解2 积分域的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为及.
利用柱面坐标计算.
原式==
==.
易犯的错误是：
（1）在柱面坐标下,原式=.关于的积分上、下限错误.
（2）采用“先二后一法”.
===.
关于,积分的积分域错误,积分域应为.
特别注意,将被积函数用表达式代入也是错误的.
4.计算,其中是由平面,,以及抛物柱面所围成的闭区域.
解1 按先再后积分.
原式=
其中为奇函数再对称区间上的积分,其值为0.
解2 按先再后积分.
原式=
其中.
解3 按先再后积分.
原式=
5填空题.
设由球面与锥面围成,则三重积分

在三种坐标系下分别可化为三次积分如下：
直角坐标系下：

柱面坐标系下：

球面坐标系下：
.
6.利用柱面坐标计算下列三重积分.
（1）,其中为由,所确定.
解 ===
===.
（2）,其中为由曲面及所围成的闭区域.
解 由消去,得，
==
==.
（3）, 其中为由曲面,,
,所围成的闭区域.
解 原式===.
7.利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）,其中是由球面所围成的闭区域.
解 球面在球面坐标下的方程为.
原式====.
（2）,其中是由不等式：,所确定.
解 曲面及在球面坐标下的方程分别为及.
原式=
===.
8.选择适当的坐标计算下列三重积分.
（1）,其中是由曲面,,所围成的闭区域.
解 采用“先二后一法”计算.
==
==.
（2）,其中由不等式：,所确定.
解1 曲面及在球面坐标下的方程分别为及.
原式==.
解2 曲面及在柱面坐标下的方程为及.
原式==.
（3）,其中是和的公共部分.
解1 球面及在球面坐标下的方程分别为及.由解得 .
原式=+
=
=.
解2 采用“先二后一法”计算.
原式=
=.

第四节 重积分的应用
1.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.
解 由消去,得D的边界：.所求曲面面积
===.
2.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围成立体的表面积.
解1 所求曲面在第一卦限内的图形如图9.7所示.面积为

图 9.7
.
解2 由消去,得.对
于曲面,,,所求曲面的面积为

.
3.设平面薄片所占的闭区域由曲线,围成,求该均匀薄片的重心.
解 ,.
,
,
,
因此，，，故重心坐标为=.
4.设平面薄片所占的闭区域由直线,和轴所围成,它的面密度,求该薄片的质量.
解 质量为

.
5.利用三重积分计算.
(1) 由曲面及所围成的立体体段.
解 采用柱面坐标计算

.
（2）由曲面,,所围匀质物体的重心.
解 匀质物体的重心即形心,且形心在对称轴-z轴上,因此,,.其中.
===.
于是.重心坐标为（）.
6.求半径为、高为的均匀圆柱体绕过中心而垂直于母线的轴的转动惯量（设密度）.
解 建立坐标系,使圆柱体的对称轴在轴上,且原点在其中心.则所求转动惯量为
=

=
（其中为圆柱体质量）

第九章 重积分（总习题）
1.计算,.
解1
.
解2

.
2.计算,其中由,及围成.
解1

.
解2

.

1
-1
1

3.计算
解1 （图9.8）
图 9.8

.
亦可利用对称性简化计算.由于、均关于（即轴）对称,又关于为偶函数（即）,因此
.
4.计算,其中是闭区域.
解 原式
.
亦可利用对称性简化计算.由于积分及均为零,故原积分

再利用极坐标计算.
5.计算,其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域.
解 在面投影域为：,所以
=

.
6.计算,其中为由,所确定.
解 投影区域：,用柱面坐标得
=
.
7.计算,其中是由曲面与所围成的区域.
解 （因为被积函数是的奇函数,积分区域关于对称）,所以有
=;
又由于的被积函数只是的函数,用平面去截所得闭区域的面积很容易求,因此可选用“先二后一”方法求解.
==
==.
8.计算,其中是由,,围成的闭区域.
解1
.
解2
.
解3 采用“先二后一法”计算.
=
=.
易犯的错误是：将代入被积表达式,得

.
9.计算,其中是球体.
解 被积函数含有绝对值,用曲面将分成和,其中
： ,：.
于是

采用球面坐标计算
==,
==,
所以 =+=.
10.半球面被两个圆柱面,
割出两个窗口,求在这半球面上剩下部分的面积.
解 .

=.
11.在底半径为,高为的圆柱体上面,拼加一个同半径的半球体,使整个立体的重心
位于球心处,求和的关系（设体密度）.

解 建立坐标系如图9.9所示,由题意知,物体重心的竖坐标 ,

图 9.9
.
.

12.设一个上、下底半径各为、,高为的圆锥台,其体密度,试求其关于中心轴的转动惯量（）.
解1 建立坐标系下如图9.10

图 9.10
=.
解2 采用“先二后一法”.用竖坐标为的平面截闭区域,得到
圆域,设其半径为,则
,.
原式=
.
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