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电磁感应中的动力学和能量问题计算题专练

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电磁感应中的动力学和能量问题（计算题专练）

1、如图所示，在倾角θ＝37°的光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ，磁感应强度B的大小为5 T，磁场宽度d＝0.55 m，有一边长L＝0.4 m、质量m1＝0.6 kg、电阻R＝2 Ω的正方形均匀导体线框abcd通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质量为m2＝0.4 kg的物体相连，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)线框abcd还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力为多少？
(2)当ab边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时ab边距磁场MN边界的距离x多大？
(3)在(2)问中的条件下，若cd边恰离开磁场边界PQ时，速度大小为2 m/s，求整个运动过程中ab边产生的热量为多少？

解析　(1)m1、m2运动过程中，以整体法有
m1gsin θ－μm2g＝(m1＋m2)a
a＝2 m/s2
以m2为研究对象有FT－μm2g＝m2a(或以m1为研究对象有m1gsin θ－FT＝m1a)
FT＝2.4 N
(2)线框进入磁场恰好做匀速直线运动，以整体法有
m1gsin θ－μm2g－＝0
v＝1 m/s
ab到MN前线框做匀加速运动，有
v2＝2ax
x＝0.25 m
(3)线框从开始运动到cd边恰离开磁场边界PQ时：
m1gsin θ(x＋d＋L)－μm2g(x＋d＋L)＝(m1＋m2)v＋Q
解得：Q＝0.4 J
所以Qab＝Q＝0.1 J
答案　(1)2.4 N　(2)0.25 m　(3)0.1 J
2、如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成θ角，导轨与定值电阻R1和R2相连，且R1＝R2＝R，R1支路串联开关S，原来S闭合．匀强磁场垂直导轨平面向上，有一质量为m、有效电阻也为R的导体棒ab与导轨垂直放置，它与导轨粗糙接触且始终接触良好．现将导体棒ab从静止释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的.已知重力加速度为g，导轨电阻不计，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小和达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I；
(2)如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后达到稳定状态，这一过程回路中产生的电热是多少？
(3)导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab横截面的电荷量为q，求这段距离是多少？
解析　(1)回路中的总电阻为：R总＝R
当导体棒ab以速度v匀速下滑时棒中的感应电动势为：E＝BLv
此时棒中的感应电流为：I＝
此时回路的总电功率为：P电＝I2R总
此时重力的功率为：P重＝mgvsin θ
根据题给条件有：P电＝P重，解得：I＝
B＝
(2)设导体棒ab与导轨间的滑动摩擦力大小为Ff，根据能量守恒定律可知：mgvsin θ＝Ffv
解得：Ff＝mgsin θ
导体棒ab减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和
mgsin θ·x＝mv2＋Q＋Ff·x
解得：Q＝mgsin θ·x－mv2
(3)S断开后，回路中的总电阻为：R总′＝2R
设这一过程经历的时间为Δt，这一过程回路中的平均感应电动势为，通过导体棒ab的平均感应电流为，导体棒ab下滑的距离为s，则：＝＝，＝＝
得：q＝Δt＝
解得：s＝
3、如图所示，固定的光滑平行金属导轨间距为L，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．质量为m、电阻为r的导体棒与一端固定的弹簧相连后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v0.整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的中心轴线与导轨平行．
(1)求初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向；
(2)当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，求此时导体棒的加速度大小a；
(3)导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为Ep，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q.
答案　(1)，电流方向为b→a　(2)gsin θ－　(3)[mv＋－Ep]
解析　(1)初始时刻，导体棒产生的感应电动势E1＝BLv0
通过R的电流大小I1＝＝
电流方向为b→a
(2)回到初始位置时，导体棒产生的感应电动势为E2＝BLv
感应电流I2＝＝
导体棒受到的安培力大小为F＝BI2L＝，方向沿斜面向上
根据牛顿第二定律有：mgsin θ－F＝ma
解得a＝gsin θ－
(3)导体棒最终静止，有：mgsin θ＝kx
压缩量x＝
设整个过程回路产生的焦耳热为Q0，根据能量守恒定律有
mv＋mgxsin θ＝Ep＋Q0
Q0＝mv＋－Ep
电阻R上产生的焦耳热
Q＝Q0＝[mv＋－Ep]
4、如图所示，两根足够长的平行导轨处在与水平方向成θ＝37°角的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.3 m，导轨两端各接一个阻值R0＝2 Ω的电阻；在斜面上加有磁感应强度B＝1 T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场．一质量为m＝1 kg、电阻r＝2 Ω的金属棒横跨在平行导轨间，棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5.金属棒以平行于导轨向上、v0＝10 m/s的初速度上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端电阻的电荷量Δq＝0.1 C，求上端电阻R0产生的焦耳热Q.(g取10 m/s2)
解析　由于导轨电阻不计，题中感应电路等效图如图所示，故ab上升过程中通过电路的感应电荷量为：
ΔQ＝＝2×Δq
设ab棒上滑的最大位移为x，
因此，B·＝2Δq
解得：x＝2 m
设ab杆上滑过程中上端电阻产生的焦耳热为Q，则整个回路中产生的焦耳热为6Q，由能量转化和守恒定律有：
mv＝mgxsin 37°＋μmgxcos 37°＋6Q
解得：Q＝5 J.
5、如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
(2)导体棒匀速运动的速度大小v；
(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。
解析　(1)在绝缘涂层上运动时，受力平衡，则有
mgsin θ＝μmgcos θ ①
解得：μ＝tan θ ②
(2)在光滑导轨上匀速运动时，导体棒产生的感应电动势为：
E＝BLv ③
则电路中的感应电流I＝ ④
导体棒所受安培力F安＝BIL ⑤
且由平衡条件得F安＝mgsin θ ⑥
联立③～⑥式，解得v＝ ⑦
(3)从开始下滑到滑至底端由能量守恒定律得：
3mgdsin θ＝Q＋Qf＋mv2 ⑧
摩擦产生的内能Qf＝μmgdcos θ ⑨
联立⑧⑨解得Q＝2mgdsin θ－ ⑩
答案　(1)tan θ　(2)
(3)2mgdsin θ－
6、如图甲，电阻不计的轨道MON与PRQ平行放置，ON及RQ与水平面的倾角θ＝53°，MO及PR部分的匀强磁场竖直向下，ON及RQ部分的磁场平行轨道向下，磁场的磁感应强度大小相同，两根相同的导体棒ab和cd分别放置在导轨上，与导轨垂直并始终接触良好。棒的质量m＝1.0 kg，R＝1.0 Ω，长度L＝1.0 m与导轨间距相同，棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，现对ab棒施加一个方向水向右，按图乙规律变化的力F，同时由静止释放cd棒，则ab棒做初速度为零的匀加速直线运动，g取10 m/s2。
(1)求ab棒的加速度大小；
(2)求磁感应强度B的大小；
(3)若已知在前2 s内F做功W＝30 J，求前2 s内电路产生的焦耳热；
(4)求cd棒达到最大速度所需的时间。
解析　(1)对ab棒：Ff＝μmg
v＝at
F－BIL－Ff＝ma
F＝m(μg＋a)＋
由图象信息，代入数据解得：a＝1 m/s2
(2)当t1＝2 s时，F＝10 N，由(1)知
＝F－m(μg＋a)，得B＝2 T
(3)0～2 s过程中，对ab棒，x＝at＝2 m
v2＝at1＝2 m/s
由动能定理知：W－μmgx－Q＝mv
代入数据解得Q＝18 J
(4)设当时间为t′时，cd棒达到最大速度，
FN′＝BIL＋mgcos 53°
Ff′＝μFN′
mgsin 53°＝Ff′
mgsin 53°＝μ(＋mgcos 53°)
解得：t′＝5 s
答案　(1)1 m/s2　(2)2 T　(3)18 J　(4)5 s
7、如图所示,两条足够长的平行光滑金属导轨,与水平面的夹角均为 ,该空间存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,区域Ⅰ的磁场方向垂直导轨平面向下,区域Ⅱ的磁场方向垂直导轨平面向上,两匀强磁场在斜面上的宽度均为L,一个质量为m、电阻为R、边长为L的正方形金属线框,由静止开始沿导轨下滑,当线圈运动到ab边刚越过ee′即做匀速直线运动;当线框刚好有一半进入磁场区域Ⅱ时,线框又恰好做匀速直线运动.求:
(1)当线框刚进入磁场区域Ⅰ时速度v
(2)当线框刚进入磁场区域Ⅱ时的加速度a
(3)当线框刚进入磁场区域Ⅰ到刚好有一半进入磁场区域Ⅱ的过程中产生的热量Q.

解析 (1)ab边刚越过ee′即做匀速直线运动,线框
所受合力F为零.
E=Blv,I= ,则mgsin =BIL
解得v=

(2)当ab边刚越过ff′时,线框中的总感应电动势为
E′=2BLv
此时线框的加速度为
a= -gsin = -gsin =3gsin
(3)设线框再次做匀速运动的速度为v′,则
mgsin =2B
v′=
由能量守恒定律得
Q=mg× Lsin + ( mv2- mv′2)
= mgLsin +

8、如图甲所示,空间存在B=0.5 T,方向竖直向下的匀强磁场,MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨,间距L=0.2 m,R是连在导轨一端的电阻,ab是跨接在导轨上质量m=0.1 kg的导体棒.从零时刻开始,通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F,方向水平向左,使其从静止开始沿导轨做加速运动,此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好.图乙是棒的v—t图象,其中OA段是直线,AC段是曲线,DE是曲线图象的渐近线,小型电动机在12 s末达到额定功率P额=4.5 W,此后功率保持不变.除R以外,其余部分的电阻均不计,g=10 m/s2.

(1)求导体棒在0~12 s内的加速度大小.
(2)求导体棒与导轨间的动摩擦因数及电阻R的阻值.
(3)若t=17 s时,导体棒ab达到最大速度,从0~17 s内共发生位移100 m,试求12~17 s内,R上产生的热量是多少?
解析 (1)由v—t图象知a= = =0.75 m/s2
(2)导体棒在0~12 s内做匀加速运动,电动机的输出功率在增大,12 s末达额定功率,做加速度逐渐减小的加速运动,16 s后做匀速运动.设12 s末的速度为v1,
0~12 s内的加速度为a1,E1=Blv1,I1=
由牛顿第二定律F1- mg-BI1L=ma1
则P额=F1·v1
在乙图C点时棒达到最大速度vm=10 m/s
Em=Blvm,Im=
由牛顿第二定律：F2- mg-BImL=0
则P额=F2·vm
联立,代入数据解得 =0.2,R=0.4 Ω
(3)在0~12 s内通过的位移:x1= (0+v1)t1=54 m
AC段过程发生的位移:x2=100-x1=46 m
由能量守恒:P0t=QR+ mg·x2+ mvm2- mv12
解得QR=12.35 J
答案 (1)0.75 m/s2 (2)0.2 0.4 Ω(3)12.35 J

9、如图甲所示,MN、PQ是固定于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨,间距L＝2.0 m,R是连在导轨一端的电阻,质量m＝1.0 kg的导体棒ab垂直跨在导轨上,电压传感器与这部分装置相连.导轨所在空间有一磁感应强度B＝0.50 T、方向竖直向下的匀强磁场.从t＝0开始对导体棒ab施加一个水平向左的拉力,使其由静止开始沿导轨向左运动,电压传感器测出R两端的电压随时间变化的图线如图乙所示,其中OA、BC段是直线,AB段是曲线.假设在1.2 s以后拉力的功率P＝4.5 W保持不变.导轨和导体棒ab的电阻均可忽略不计,导体棒ab在运动过程中始终与导轨垂直,且接触良好.不计电压传感器对电路的影响.g取10 m/s2.求：

(1)导体棒ab最大速度vm的大小；
(2)在1.2 s～2.4 s的时间内,该装置总共产生的热量Q；
(3)导体棒ab与导轨间的动摩擦因数μ和电阻R的值.
解析　(1)从题图乙可知,t＝2.4 s时R两端的电压最大,Um＝1.0 V,由于导体棒内阻不计,故Um＝Em＝BLvm＝1.0 V,
所以vm＝＝1.0 m/s ①(6分)
(2)因为U＝E＝BLv,而B、L为常数,所以,在0～1.2 s内导体棒做匀加速直线运动.设导体棒在这段时间内加速度为a.设t1＝1.2 s时导体棒的速度为v1,由乙图可知此时电压U1＝0.90 V.
因为U1＝E1＝BLv1 ②
所以v1＝＝0.90 m/s
在1.2 s～2.4 s时间内,根据功能关系
mv＋P·Δt＝mv＋Q ③
代入数据解得Q≈5.3 J (6分)
(3)导体棒做匀加速运动的加速度
a＝＝0.75 m/s2
当t＝1.2 s时,设拉力为F1,则有F1＝＝5.0 N
同理,设t＝2.4 s时拉力为F2,则有F2＝＝4.5 N
根据牛顿第二定律有
F1－f－F安1＝ma ④
F2－f－F安2＝0 ⑤
mg－N＝0 ⑥
又因为F安1＝BI1L＝ ⑦
F安2＝BI2L＝ ⑧
f＝μN ⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨,代入数据可求得
R＝0.4 Ω,μ＝0.2 (6分)

10、两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有相同的动摩擦因数μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。 整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以某一速度向下做匀速运动。
设运动过程中金属细杆ab、cd 与导轨接触良好。重力加速度为g。求：
(1)ab杆匀速运动的速度v1；
(2)ab杆所受拉力F，
(3)ab杆以v1匀速运动时，cd杆 以v2(v2已知)匀速运动，则在cd杆向下运动h过程中，整个回路中产生的焦耳热为多少？

解析　(1)ab杆向右运动时，ab杆中产生的感应电动势方向为a→b，
大小为E=BLv1
cd杆中的感应电流方向为d→c.
cd杆受到的安培力方向水平向右，安培力大小为

cd杆向下匀速运动，有 mg=μF安 ②
解①、②两式，ab杆匀速运动的速度为
（2）ab杆所受拉力

（3）设cd杆以v2速度向下运动h过程中，ab杆匀速运动了s 距离

整个回路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功

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