圆锥曲线经典中点弦问题教学文案.doc

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除中点弦问题专题练习一选择题（共8小题）1已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）ABC2D22已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）Ax+2y+4=0Bx+2y4=0C2x+y+4=0D2x+y4=03AB是椭圆（ab0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KABKOM的值为（）Ae1B1eCe21D1e24椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A3x+2y12=0B2x+3y12=0C4x+9y144=0D9x+4y144=05若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A2B2CD6已知椭圆的一条弦所在直线方程是xy+3=0，弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是（）ABCD7直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A（）B（，）C（，）D（，）8以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A4x3y3=0Bx4y+3=0C4x+y5=0Dx+4y5=0二填空题（共9小题）9过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_10已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_11椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_，直线方程为_12椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_13过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_14设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kABkOM=_15以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_16在椭圆+=1内以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程为_17直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_三解答题（共13小题）18求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程19已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程20已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程21已知椭圆，求以点P（2，1）为中点的弦AB所在的直线方程22已知椭圆与双曲线2x22y2=1共焦点，且过（）（1）求椭圆的标准方程（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程23直线l：x2y4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，1）（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求AOB的面积24AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：kABkOM为定值25已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程26已知椭圆（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程27已知椭圆（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程28已知某椭圆的焦点是F1（4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列（）求该椭圆的方程；（）求弦AC中点的横坐标29（2010永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程30已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，（1）求弦AB中点M的轨迹方程；（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值2014年1月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）ABC2D2考点：椭圆的简单性质4126984专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k则，两式相减得，又x1+x2=8，y1+y2=4，代入得，解得k=故选A点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键2已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）Ax+2y+4=0Bx+2y4=0C2x+y+4=0D2x+y4=0考点：直线的一般式方程4126984专题：计算题分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案解答：解：设直线的方程为y2=k（x1），联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k2）x2+2k（2k）x+k24k12=0因为A为椭圆的弦的中点，所以，解得k=2，所以直线的方程为2x+y4=0故选D点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题3AB是椭圆（ab0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KABKOM的值为（）Ae1B1eCe21D1e2考点：椭圆的简单性质4126984专题：综合题分析：设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kABkOM中求得结果解答：解：设直线为：y=kx+c 联立椭圆和直线 消去y得b2x2+a2（kx+c）2a2b2=0，即 （b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2b2）=0 所以：x1+x2=所以，M点的横坐标为：Mx=（x1+x2）=又：y1=kx1+c y2=kx2+c 所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=所以，点M的纵坐标My=（y1+y2）=所以：Kom=所以：kABkOM=k（）=e21点评：本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便4椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A3x+2y12=0B2x+3y12=0C4x+9y144=0D9x+4y144=0考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程4126984专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程解答：解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，把A、B坐标代入椭圆方程得，两式相减得，4（）+9（y22）=0，即4（x1+x2）（x1x2）+9（y1+y2）（y1y2）=0，所以=，即kAB=，所以这弦所在直线方程为：y2=（x3），即2x+3y12=0故选B点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握5若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A2B2CD考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率4126984专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）利用中点坐标公式和“点差法”即可得出解答：解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）则，两式相减得=0，代入上式可得，解得kAB=故选D点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题6已知椭圆的一条弦所在直线方程是xy+3=0，弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是（）ABCD考点：椭圆的简单性质4126984专题：计算题分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率解答：解：显然M（2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则 +=1，+=1，相减得：=0，整理得：k=1，又弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是e=故选B点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法7直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A（）B（，）C（，）D（，）考点：直线与圆锥曲线的关系4126984专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4 3x2+4x2=0弦的中点横坐标是x=，代入直线方程中，得y=弦的中点是（，）故选B点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题8以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A4x3y3=0Bx4y+3=0C4x+y5=0Dx+4y5=0考点：直线与圆锥曲线的关系4126984专题：计算题分析：设直线方程为 y1=k （ x1），代入椭圆化简，根据 x1+x2=2，求出斜率k的值，即得所求的直线方程解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为 y1=k （ x1），代入椭圆化简可得，（4k2+1）x2+8（kk2 ） x+4k28k12由题意可得 x1+x2=2，k=，故 直线方程为 y1=（ x1），即 x+4y5=0，故选D点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键二填空题（共9小题）9过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程4126984专题：综合题分析：设出N，A，B的坐标，将A，B的坐标代入椭圆方程，结合N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可解答：解：设N（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则，可得：动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，当M、N不重合时，有，（m2）当M、N重合时，即M是A、B中点，M（2，0）适合方程，则N的轨迹方程为，故答案为：点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法10已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：x+2y3=0考点：直线与圆锥曲线的关系4126984专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1+x2=2，y1+y2=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程解答：解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1+x2=2，y1+y2=2，把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆，可得，两式相减，可得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，2（x1x2）+4（y1y2）=0，=以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y1=（x1），整理，得x+2y3=0故答案为：x+2y3=0点评：本题考查以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为，直线方程为2x+3y12=0考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程4126984专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：平方差法：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程解答：解：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，=144，得，+9=0，即4（x1+x2）（x1x2）+9（y1+y2）（y1y2）=0，所以=，即，所以弦所在直线方程为：y2=（x3），即2x+3y12=0故答案为：；2x+3y12=0点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握12椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y12=0考点：直线与圆锥曲线的关系4126984专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），P（3，2）为EF中点，x1+x2=6，y1+y2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程解答：解：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），P（3，2）为EF中点，x1+x2=6，y1+y2=4，把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆4x2+9y2=144，得，4（x1+x2）（x1x2）+9（y1+y2）（y1y2）=0，24（x1x2）+36（y1y2）=0，k=，以P（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y2=（x3），整理，得2x+3y12=0故答案为：2x+3y12=0点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用13过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为4x2+9y24x=0考点：椭圆的应用；轨迹方程4126984专题：计算题分析：设弦两端点坐标为（x1，y1），（x2y2），诸弦中点坐标为（x，y）弦所在直线斜率为k，把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程解答：解：设弦两端点坐标为（x1，y1），（x2y2），诸弦中点坐标为（x，y）弦所在直线斜率为k两式相减得；（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）=0即又k=，代入上式得2x/9+2y2/4（x1）=0整理得诸弦中点的轨迹方程：4x2+9y24x=0故答案为4x2+9y24x=0点评：本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握14设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kABkOM=考点：椭圆的应用4126984专题：计算题分析：设M（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），易知kOM=，再由点差法可知kAB=，由此可求出kABkOM=解答：解：设M（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），M为AB的中点，x1+x2=2a，y1+y2=2b，把A、B代入椭圆得，得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，2a（x1x2）+4b（y1y1）=0，kABkOM=答案：点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用15以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为x+4y5=0考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程4126984专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设点M（1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出解答：解：设点M（1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）则，相减得=0，解得kAB=故所求的直线方程为，化为x+4y5=0故答案为x+4y5=0点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和“点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题16在椭圆+=1内以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程为x2y+4=0考点：直线与圆锥曲线的综合问题4126984专题：计算题分析：设以点P（2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），由点P（2，1）是线段AB的中点，知，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，由点差法得到k=，由此能求出以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程解答：解：设以点P（2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），点P（2，1）是线段AB的中点，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，得，得（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，4（x1x2）+8（y1y2）=0，k=，以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程为，整理，得x2y+4=0故答案为：x2y+4=0点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系考查运算求解能力，推理论证能力解题时要认真审题，注意点差法的合理运用17直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系4126984专题：计算题分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标解答：解：将直线y=x+2代入椭圆x2+2y2=4，消元可得3x2+8x+4=0x=2或x=中点横坐标是=，代入直线方程可得中点纵坐标为+2=，直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是故答案为：点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标三解答题（共13小题）18求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程考点：椭圆的标准方程4126984专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：由题意，设椭圆方程为，与直线y=3x2消去y得关于x的一元二次方程利用根与系数的关系结合中点坐标公式，得x1+x2=1，再由椭圆的c=，得a2b2=50，两式联解得a2=75，b2=25，从而得到所求椭圆的方程解答：解：椭圆一个焦点为，椭圆是焦点在y轴的椭圆，设方程为（ab0）将椭圆方程与直线y=3x2消去y，得（a2+9b2）x212b2x+4b2a2b2=0设直线y=3x2与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=1又a2b2=（）2=50联解，得a2=75，b2=25因此，所求椭圆的方程为：点评：本题给出焦点在y轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题19已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程考点：直线与圆相交的性质4126984专题：计算题分析：设直线l的方程为y2=k（x4），代入椭圆的方程化简，由x1+x2=8解得k值，即得直线l的方程解答：解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y2=k（x4），即kxy+24k=0，代入椭圆的方程化简得：（1+4k2）x2+（16k32k2）x+64k264k20=0，x1+x2=8，解得：k=，则直线l的方程为x+2y8=0点评：本题考查了直线与圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（1+4k2）x2+（16k32k2）x+64k264k20=0，是解题的关键20已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题4126984专题：综合题分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M（1，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程解答：解：设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x1）+1，代入椭圆方程，整理得（9k2+4）x2+18k（1k）x+9（1k）236=0设A、B的横坐标分别为x1、x2，则解之得故AB方程为，即所求的方程为4x+9y13=0点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解21已知椭圆，求以点P（2，1）为中点的弦AB所在的直线方程考点：直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系4126984专题：计算题分析：先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出x1+x2，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程解答：解：设弦AB所在的直线方程为y（1）=k（x2），即y=kx2k1，消去y得x2+4（kx2k1）216=0，整理得（1+4k2）x28k（2k+1）x+4（2k+1）216=0（1）因为P（2，1）为弦AB中点，代入方程（1），验证0，合题意点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的22已知椭圆与双曲线2x22y2=1共焦点，且过（）（1）求椭圆的标准方程（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程考点：椭圆的标准方程；轨迹方程4126984专题：计算题分析：（1）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（，0）代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），把y=2x+b 代入椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=x，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b值，即得轨迹方程中自变量x的范围解答：解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1椭圆与双曲线共焦点，设椭圆方程为=1，椭圆过（，0），=2，椭圆方程为=1（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则y=2x+b 且 =1得，9x2+8xb+2b22=0，x1+x2=即x=两式消掉b得 y=x令=0，64b236（2b22）=0，即b=3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x3即当x=时斜率为2的直线与椭圆相切所以平行弦得中点轨迹方程为：y=x（）点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中自变量x的范围，是解题的易错点23直线l：x2y4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，1）（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求AOB的面积考点：椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式4126984专题：计算题；压轴题分析：（1）先把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2的表达式，进而根据其中点的坐标求得m（2）把（1）中求得椭圆方程与直线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1x2的值，进而求得出|AB|的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案解答：解：（1）：消去y，整理得（+1）x22mx+4m16=0x1+x2=4，则m=4（2）由（1）知，消去y，x1x2=0|AB|=2坐标原点O到直线x2y4=0的距离为d=三角形ABC的面积为|AB|d=4点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推理的能力24AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：kABkOM为定值考点：椭圆的应用4126984专题：证明题分析：设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kABkOM中求得结果为定值，原式得证解答：证明：设直线为：y=kx+c 联立椭圆和直线消去y得b2x2+a2（kx+c）2a2b2=0，即 （b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2b2）=0 所以：x1+x2=所以，M点的横坐标为：Mx=（x1+x2）=又：y1=kx1+c y2=kx2+c 所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=所以，点M的纵坐标My=（y1+y2）=所以：Kom=所以：kABkOM=k=点评：本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便25已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程考点：轨迹方程4126984专题：综合题分析：设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线故（y2y1）（x1）=（x2x1）（y2）再由点差法知=，由此可得：9x2+16y29x32y=0解答：解：设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线（y2y1）（x1）=（x2x1）（y2），由=1，+=1两式相减得+=0又x1+x2=2x，y1+y2=2y，=，由可得：9x2+16y29x32y=0，当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程，弦中点的轨迹方程为：9x2+16y29x32y=0点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用26已知椭圆（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题4126984专题：综合题分析：（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），中点为R（x，y），则，两式相减得=，由此能求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程（2）设直线方程为y1=k（x2），设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），则，两式相减得，故+，令中点坐标为（x，y），则x+2y=0，由此能求出l被截得的弦的中点轨迹方程（3）设过点P（）的直线与交于E（x5，y5），F（x6，y6），由P（）是EF的中点，知x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与，得k=，由此能求出过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程解答：解：（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2） 的中点为R（x，y），则，两式相减并整理可得，将代入式，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）（2）可设直线方程为y1=k（x2）（k0，否则与椭圆相切），设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），则，两式相减得，显然x3x4（两点不重合），故+，令中点坐标为（x，y），则x+2y=0，又（x，y）在直线上，所以，显然，故x+2yk=x+2y=0，即所求轨迹方程为x2+2y22x2y=0（夹在椭圆内的部分）（3）设过点P（）的直线与交于E（x5，y5），F（x6，y6），P（）是EF的中点，x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与，得，（x5+x6）（x5x6）+2（y5+y6）（y5y6）=0，（x5x6）+2（y5y6）=0，k=，过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程：，即2x+4y3=0点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题解题时要认真审题，注意点差法的合理运用27已知椭圆（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题4126984专题：综合题分析：（1）设出两个交点坐标，利用两点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式方程即可（2）同（1）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让斜率等于2，化简，即可得斜率为2的平行弦的中点轨迹方程（3）设出直线BC方程，用参数k表示，再利用中点坐标公式，消去k，即可得弦BC中点的轨迹方程解答：解：（1）设过点且被点P平分的弦与椭圆交与A（x1，y1），B（x2，y2）点，则=，=A，B在椭圆上，得，=即，弦AB的斜率为方程为y=（x）即（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（x，y），则根据中点弦的斜率公式，有=2（3）当过点A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为y1=k（x2），代入椭圆方程，消y，得（+k2）x2+2（12k）kx+4k24k=0x1+x2=，y1+y2=，设弦BC中点坐标为（x，y），则x=，y=，=2k又k=，整理得x22x+2y22y=0当过点A（2，1）引的直线斜率不存在时，方程为x=2，与椭圆无交点所求弦BC中点的轨迹方程为x22x+2y22y=0点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题28已知某椭圆的焦点是F1（4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：