理科数列上课讲义.doc

理科数列

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1.记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
2.在等差数列中，已知则= （ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
3.已知是等差数列，，，则该数列前13项和等于
A.156 B.132 C.110 D.100
4.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．68 B．72 C．54 D．90
5.已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率
A．4 B． C．－4 D．－14
6.等差数列的前3项的和为15，最后3项的和为123，所有项的和是345，这个数列的项数是
A．13 B．14 C．15 D．16

7.已知为等差数列，，，是等差数列的前项和，则使得达到最大值的是（ ）
A.21 B.20 C.19 D.18
8.等差数列中，是其前项和，,则的值为
A.2008 B.-2008 C.0 D.以上都是错误
9.在等比数列中，则
．3 ． ．3或 ．或
10.已知等比数列的前n项和为，则=
A. 0 B.-2 C. D.1

11.记等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A． B．5 C． D．33

12巳知等比数列满足，且，则当时，

A． B． C． D．学科网
13．记数列的前项和为，且，则
A． B． C． D．
14．已知数列的前n项和，第k项满足,则
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

15.数列中，，且，则前2010项的和等于
A．1005 B．2010 C．1 D．0

16.将个正整数1，2，3，…，填入方格中，使得每行、
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.
记为n阶幻方对角线的和，如右表就是一个3阶幻方，
可知，则
A. B .
C. D.
17，111，1111，…，，…的前10项之和是
A． B． 　C． D．

18.已知等比数列中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比则等于．
． ． ． ．

19.已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是
A．4 B．3 C．2 D．
20.关于数列3，9，…，729，以下结论正确的是
A．此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列
B．此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列
C．此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列
D．此数列能构成等差数列，也能构成等比数列

21给定正数，其中，若是等差数列，是等比数列，则一元二次方程
A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个同号相异实根 D.有两个异号实根

22.已知公差不为零的等差数列与等比数列满足:,那么( )

23.已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则
A．35 B．33 C．3l D．29
24.公差不为0的等差数列中，有，数列已知是等比数列，且则= ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
25.如右图述阵称为“森德拉姆筛”，记第行第列的数为，对任意正整数为，必有正整数使得为合数（合数的定义是：合数是除了和它本身还能被其他的正整数整除的正整数，除之外的偶数都是合数），则这样的可以是（ ）

A． B． C． D．
26.. 等差数列中，若为方程的两根，则等于
A．10 B．15 C．20 D．40

27.在等差数列中，首项公差，若，则
A． B．
C． D．

28.设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为
A． B． C．　　　　D．

29.已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）
A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

30.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）
A． B. C. D.

1.数列 的一个通项公式是___________________.
2.设等差数列的前项和为，若，则 ．
3.已知数列{}是公差不为0的等差数列，为数列{}的前项和，______________.
4在等比数列中，，公比，若前项和，
则的值为 ．
5.若数列满足：，其前项和为，则 ．
6.设数列为公比的等比数列，若是方程的两根，则_________.
7.已知函数，等比数列的公比为2，若，则
； ．

8..已知数列的前项和，则当时，=______.
9.已知数列的前项和为，对任意N都有，
且（ N），则的值为 ，的值为 .
10.一个数列，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，，它的首项是，随后两项都是，接下来3项都是，再接下来4项都是，…，依此类推，若，，则 ．
11.已知是公比为实数的等比数列，若，且成等差数列，则 .
12.已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 ．

13.有名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学编号依次为：，在游戏中，除规定第ｋ位同学看到的像用数对（其中）表示外，还规定：若编号为ｋ的同学看到的像为，则编号为ｋ＋１的同学看到的像为，，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是　　　　　、编号为的同学看到的像为　　　　　　　　　　．
14.已知数列 则 ,
15..如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，
则 ； ＝ .

16.图2是一个有层的六边形点阵．它的中心是一个点，算作
第一层．第2层每边有2个点．第3层每边有3个点，…，第层
每边有个点，则这个点阵的点数共有 个．

17.数列满足，若，则的值为____

18.已知数列的通项公式为，我们用错位相减法求其前项和：
由得

两式项减得：，
求得。类比推广以上方法，若数列的通项公式为，
则其前项和 。
…………第1行
…………第2行
…………第3行
…………第4行
…………第5行
…………第6行
图5
19．如图5，一个树形图依据下列规律不断生长：
1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，
1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和
1个空心圆点．
则第11行的实心圆点的个数是 ．

20.等差数列前项的和等于前项和。若，，则=________。

1.设=ax+b，a≠0，，若，且
成等比数列，求．

2.已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，试判断，，是否成等差数列，并证明你的结论．

3. .已知数列满足，且。
（1）求数列的通项公式；
(2) 证明；
（3）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。

4.已知数列的前项和为，且，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和.

5.已知正数数列满足：，其中为数列的前项和．
（1）求数列的通项；
（2）求的整数部分．

6.设是数列的前项和，对任意N总有，N且．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）试比较与的大小；
（Ⅲ）当时，试比较与的大小．

7.在等比数列{an}中，，公比，且，a3与a5的等比中项为2。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。

8.已知函数，函数其中一个零点为5，数列满足，且．
（1）求数列通项公式；
（2）试证明；
（3）设，试探究数列是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

9.在数列中，已知，，，为常数．
（1）若数列是等比数列，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求数列的前项和．

10.已知数列中，且（且）．
　　（1）若数列为等差数列，求实数的值；
（2）求数列的前项和．

11.已知数列满足，（）．
（Ⅰ）判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项；
（Ⅱ）如果时，数列的前项和为，试求出，并证明当时，有
．

12.已知数列满足。
（Ⅰ）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）设，求数列的前；
（Ⅲ）设，数列的前。求证：对任意的。

13.已知数列满足, ，．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，且对于恒成立，求的取值范围．

14.数列中，，为其前n和,,，
（1）求数列的通项公式
（2）设数列的公比为，作数列，使，
求数列的前项和

15.数列中，，，（）．
(Ⅰ)试求、的值，使得数列为等比数列；
(Ⅱ)设数列满足：，为数列的前项和．
证明：时，．

16.将个数排成行列的一个数阵：

已知，该数列第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，其中为正实数。
（1） 求第行第列的数；（2）求这个数的和。

17.已知数列满足：，且（）．

……………………………

…………………………………………
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．　

18.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加.
（Ⅰ）设第年（本年度为第一年）的投入为万元，旅游业收入为万元，写出，的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？

19.已知曲线：（其中为自然对数的底数）在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，……，依次下去得到一系列点、、……、，设点的坐标为（）．
（Ⅰ）分别求与的表达式；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求．

20.在平面上有一系列的点, 对于正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的与轴相切，且与又彼此外切，若，且
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设的面积为，求证：

21.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.

(Ⅰ) 试给出的值，并求的表达式（不要求证明）；
(Ⅱ) 证明：.

22.已知曲线．从点向曲线引斜率为
的切线，切点为．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．

23.如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .
（Ⅰ）写出；
（Ⅱ）求出点的横坐标关于的表达式；
y
x
O
A0
P1
P2
P3
A1
A2
A3
（Ⅲ）设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

24.设数列满足，（），数列的前n项和为.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 求证：当时，；
（3）试探究：当时，是否有？说明理由.

25.已知数列和满足，，数列的前和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：；
（3）求证：对任意的有成立．

26.已知数列中，，对于任意的，有

（1）求数列的通项公式；

(2)若数列满足：……，求数列的通项公式；

(3)设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由。

27.设二次函数，当时，的所有整数值的个数为．
（1）求的值及的表达式；
（2）设，，求；
（3）设，若，求的最小值．

28.已知数列、、的通项公式满足，（），若数列是一个非零常数列，则称数列是一阶等差数列；若数列是一个非零常数列，则称数列是二阶等差数列.
（Ⅰ）试写出满足条件、、的二阶等差数列的前五项；
（Ⅱ）求满足条件（Ⅰ）的二阶等差数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列首项， 且满足，求数列的通项公式.

29.已知，，数列满足，， ．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；
（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

30.在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
（1）分别计算，和，的值；
（2）求数列的通项公式（将用表示）；
（3）设数列的前项和为，证明：，．

31.设是数列的前项和，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）当（均为正整数）时，求和的所有可能的乘积之和；
（3）设，求证：．

32.设数列的前项和为，且对任意的，都有，．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：．

33.已知为三点所在直线外一点，且。数列，满足，，且（）
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ) 令，求数列的通项公式；
(III) 当时，求数列的通项公式．

34.已知数列的前n项和为，且满足。
(Ⅰ) 设，求、，并判断数列是否为等差数列，说明理由；
(Ⅱ) 求数列的前2k+1项的和。

35.下面的程序框图给出数列
是
否
开始

结束

输入、

输出、
（，下同）的递推关系，计算并输出
数列和前若干项之和、．
⑴若输入，满足，求
输入的的值；
⑵若输入，，求输出的的值．
（用关于、的代数式表示）

36.设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．

37.已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设是数列的前项和，求；
（3）问是否存在常数，使得对都成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。

38.已知函数，，数列满足：，
．
(1) 当时，求的值并写出数列的通项公式（不要求证明）；
(2) 求证：当时，；
(3) 求证：．

39.有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：① 骰子出现1点时，不翻动硬币；② 出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③ 出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上. 按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为Pn.
（Ⅰ）求证：，点（Pn ，Pn+1）恒在过定点（，），斜率为的直线上；
（Ⅱ）求数列{Pn}的通项公式Pn；
（Ⅲ）用记号表示数列{}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列，，…，，… 的前n项和Tn.

40.已知数列满足N.
(1) 求的值;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 求证: .

41.已知数列的首项，前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，为数列的前项和，求证：．

42.已知数列前项和为，
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）对，设，求使不等式成立的自然数的最小值.

43.已知点P在曲线上，曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A，与轴交于点B，设点P的横坐标为，点A，B的横坐标分别为，记
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)设数列满足，求数列的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，证明不等式.

44.已知函数且任意的、都有
（1）若数列
（2）求的值.

45.已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为．
（1）用表示；
（2）若，记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式．
（3）若，，是数列的前项和，证明：．

46．已知各项均为正数的数列满足,且,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明.

47.定义一种运算
(1)若数列（）满足,当时, 求证: 数列为等差数列;
(2)设数列（）的通项满足,试求数列的前项和.

48.设数列的前项和为，已知(n∈N*).
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求证：当n∈N*且n≥2时，.

49.已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前项和．
（1）求，和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

50..已知数列的前项和，且．
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）令，是否存在（），使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．

51.执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”）
（1）若输入，写出输出结果；
（2）若输入，求数列的通项公式；
（3）若输入，令，求常数（），使得是等比数列．
开始
输入的值
，
输出

且？
结束
是
否
图10

52.已知数列是首项，公差大于０的等差数列，其前ｎ项和为，数列是首项的等比数列，且,．
　 (1) 求和；
(2) 令，，（），求数列的前项和．

53.数列是首项为，公差为的等差数列，若数列中任意不同的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列”
（1）试写出一个不是“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由；
（2）求证：数列为“封闭数列”的充分必要条件是存在整数，使。

54.设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中．
（Ⅰ）求数列的首项和公比；
（Ⅱ）当时，求；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

55.已知数列，中，对任何正整数都有：
．
（1）若数列是首项为和公比为的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，数列是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；
（3）求证：．

56.已知数列中，，，且．
（1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列的前项和．

57.已知数列满足：.
（1）求；
（2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知，求证：．

58.设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.
(1)用表示和;
(2)求证:;
(3)设,,求证:.

．
59.已知：（）是方程的两根，且，.
（1）求的值；
（2）设，求证：；
（3）求证：对有 w。.w.．

60.已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）．
（1）求数列的通项；
（2）设，，求证：， ．

61.已知，．（，为常数）
（1）若，求证：数列是等比数列；
（2）在（1）条件下，求证：；
（3）若，试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明．

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