2021高考数学(文理通用)一轮课时作业7-指数函数.docx

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课时提升作业(七)
指 数 函 数
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2021·北京高考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=(　　)
A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1
【思路点拨】把上述变换过程逆过来,求出y=ex关于y轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).
【解析】选D.与y=ex关于y轴对称的函数应当是y=e-x,于是f(x)可由y=e-x向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
2.设a=22.5,b=2.50,c=122.5,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>c>b B.c>a>b
C.a>b>c D.b>a>c
【解析】选C.b=2.50=1,c=122.5=2-2.5,则2-2.5<1<22.5,即c<b<a.
3.(2022·金华模拟)已知函数f(x)= 2cosπx3,x≤2 000,2x-2 010,x>2 000,
则f(f(2021))=(　　)
A.3 B.-3 C.1 D.-1
【解析】选D.f(2021)=22021-2010=25=32,
所以f(f(2021))=f(32)=2cos323π=2cos2π3=-1.
4.(2021·丽水模拟)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是(　　)

【解析】选B.|f(x)|=|2x-2|=2x-2,x≥1,2-2x,x<1,
易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),-1,32.又|f(x)|≥0,故选B.
【误区警示】本题易误选A或D,毁灭错误的缘由是误以为y=|f(x)|是偶函数.
5.已知函数f(x)=ax+logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为(　　)
A.12 B.14 C.2 D.4
【解析】选C.由题意知f(x)在(1,2)上为单调函数,故
f(1)+f(2)=loga2+6,
即a+loga1+a2+loga2=loga2+6,
所以a2+a-6=0,解得a=2或a=-3(舍去).
6.(2022·宁波模拟)下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的
是(　　)
A.y=-1x B.y=lnx
C.y=ex D.y=x3+ex-e-x
【解析】选D.A中函数y=-1x,虽为奇函数,但其在定义域上不单调,
而B中y=lnx,C中y=ex,均没有奇偶性,
只有D中函数定义域为R,
令y=f(x)=x3+ex-e-x,
则f(-x)=-x3+e-x-ex=-f(x),为奇函数,
且y1=x3,y2=ex,y3=-e-x在R上均为增函数.
所以y=x3+ex-e-x在R上为增函数,故选D.
7.若存在负实数使得方程2x-a=1x-1成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.(0,+∞)
C.(0,2) D.(0,1)
【解析】选C.在同一坐标系内分别作出函数y=1x-1和y=2x-a的图象知,当a∈(0,2)时符合要求.

8.(力气挑战题)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有(　　)
A.f13<f32<f23
B.f23<f32<f13
C.f23<f13<f32
D.f32<f23<f13
【思路点拨】依据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f13,f23转化为[1,+∞)上的函数值.
【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).
所以f13=f53,f23=f43.
又f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增,
所以f53>f32>f43.
即f13>f32>f23.
【方法技巧】比较函数值大小的方法
(1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调整到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.
(2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.
【加固训练】设函数f(x)=a-|x|(a>0且a≠1),f(2)=4,则(　　)
A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2)
C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2)
【解析】选A.由于f(2)=4,
所以a-|2|=4,所以a=12,
所以f(x)=12-|x|=2|x|,所以f(x)是偶函数,
当x≥0时,f(x)=2x是增函数,当x<0时,f(x)是减函数,所以f(-2)>f(-1).
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.已知loga12>0,若ax2+2x-4≤1a,则实数x的取值范围为　　　　.
【解析】由于loga12>0,所以0<a<1,
故由ax2+2x-4≤1a得x2+2x-4≥-1.
即x2+2x-3≥0,解得:x≥1或x≤-3.
答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)
10.(2021·台州模拟)已知0≤x≤2,则y=4 x-12-3·2x+5的最大值为　　　　.
【解析】令t=2x,由于0≤x≤2,所以1≤t≤4.
又y=22x-1-3·2x+5,
所以y=12t2-3t+5=12(t-3)2+12.
由于1≤t≤4,所以t=1时,ymax=52.
答案:52
11.若函数f(x)=a+1ex-1x2是奇函数,则常数a的值等于　　　　.
【思路点拨】把f(x)看成两个函数的积,推断出y=a+1ex-1的奇偶性,然后求解.
【解析】设g(x)=a+1ex-1,t(x)=x2,
由于t(x)=x2为偶函数,而f(x)=a+1ex-1x2为奇函数,所以g(x)=a+1ex-1为奇函数,
又由于g(-x)=a+1e-x-1=a+ex1-ex,
所以a+ex1-ex=-a+1ex-1对定义域内的一切实数都成立,解得a=12.
答案:12
12.类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式,对于给定的两个函数,S(x)=ax-a-x2,C(x)=ax+a-x2,其中a>0且a≠1,下面正确的运算公式是　　　　　　　　　　.
①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);
③C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y);
④C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y).
【解析】由于S(x+y)=ax+y-a-(x+y)2,
S(x)C(y)+C(x)S(y)=ax-a-x2·ay+a-y2+ax+a-x2·ay-a-y2=ax+y+ax-y-ay-x-a-(x+y)4+
ax+y-ax-y+ay-x-a-(x+y)4=2ax+y-2a-(x+y)4=ax+y-a-(x+y)2=S(x+y),故①正确;同理可推知②也正确,③④不正确.
答案:①②
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·杭州模拟)已知函数f(x)=13x,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).
(1)求h(a).
(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:
①m>n>3;
②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由f(x)=13x,x∈[-1,1]知f(x)∈13,3,令t=f(x)∈13,3.
记g(x)=t2-2at+3,则g(x)的对称轴为t=a,故有:
①当a≤13时,g(x)的最小值h(a)=g13=289-2a3;
②a≥3时,g(x)的最小值h(a)=g(3)=12-6a;
③当13<a<3时,
g(x)的最小值h(a)=g(a)=3-a2.
综上所述,h(a)=289-2a3,a≤13,3-a2,13<a<3,12-6a,a≥3.
(2)当a≥3时,h(a)=-6a+12,故m>n>3时,h(a)在[n,m]上为减函数,
所以h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)].
由题意,则h(m)=n2,h(n)=m2⇒-6m+12=n2,-6n+12=m2,
两式相减得6n-6m=n2-m2,
又m≠n,所以m+n=6,这与m>n>3冲突,
故不存在满足题中条件的m,n的值.
14.(2022·嘉兴模拟)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)试确定f(x).
(2)若不等式1ax+1bx-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax得
6=ab,24=b·a3,结合a>0且a≠1解得a=2,b=3,
所以f(x)=3·2x.
(2)要使12x+13x≥m在x∈(-∞,1]时恒成立,只需保证函数y=12x+13x在
(-∞,1]上的最小值不小于m即可.
由于函数y=12x+13x在(-∞,1]上为减函数,
所以当x=1时,y=12x+13x有最小值56.
所以只需m≤56即可.
15.(力气挑战题)已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的范围.
【解析】(1)由于f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,b=1.
又f(-1)=-f(1),得a=1.
经检验a=1,b=1符合题意.
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=1-2x12x1+1-1-2x22x2+1
=(1-2x1)(2x2+1)-(1-2x2)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)
=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1).
由于x1<x2,所以2x2-2x1>0,
又由于(2x1+1)(2x2+1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)由于t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k).
由于f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),
由于f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2,
即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3t-132-13≥-13,所以k<-13.

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