【名师伴你行】2021届高考文科数学二轮复习提能专训9-三角恒等变换与解三角形.docx

提能专训(九)　三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1．(2022·皖南八校联考)sin 2α＝，0<α<，则cos的值为(　　)
A.　　　B．－　　　C.　　　D．±
答案：C
解析：由于sin 2α＝cos＝2cos2－1，所以cos＝±，由于sin 2α＝，所以cos＝±，由于0<α<，所以－<－α<，所以cos＝.
2．(2022·温州十校联考)若sin α＋cos α＝(0<α<π)，则tan α＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案：C
解析：由sin α＋cos α＝(0<α<π)两边平方，得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，又sin 2α＝＝，∴＝－，60tan2α＋169tan α＋60＝0，∴tan α＝－或tan α＝－，又sin α＋cos α>0，∴|sin α|>|cos α|，即|tan α|>1，故tan α＝－，故选C.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝45°，则角A＝(　　)
A．60° B．120° C．90° D．60°或120°
答案：D
解析：由正弦定理可知，＝，即＝＝2，所以sin A＝，由于a>b，所以A>45°，所以A＝60°或A＝120°.故选D.
4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝(　　)
A. B. C. D.
答案：A
解析：由于asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，所以，由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，
即sin(A＋C)＝，又a>b，所以A＋C＝150°，B＝30°，故选A.
5．(2022·大连双基测试)在斜三角形ABC中，“A>B”是“|tan A|>|tan B|”的(　　)
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：在斜三角形ABC中，|tan A|>|tan B|⇔|sin Acos B|>|cos Asin B|⇔(sin Acos B)2－(cos Asin B)2>0⇔(sin Acos B＋cos Asin B)(sin Acos B－cos Asin B)>0⇔sin(A＋B)sin(A－B)>0⇔sin C·sin(A－B)>0⇔sin(A－B)>0；又－π<A－B<π，因此sin(A－B)>0⇔0<A－B<π，即A>B.因此，在斜三角形ABC中，“A>B”是“|tan A|>|tan B|”的充分必要条件，故选A.
6．(2022·辽宁五校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acos B＋bcos A＝csin C，S＝(b2＋c2－a2)，则角B等于(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
答案：C
解析：由正弦定理，得
sin Acos B＋sin Bcos A＝sin Csin C，
即sin(B＋A)＝sin Csin C，
由于sin(B＋A)＝sin C，所以sin C＝1，C＝90°.
依据三角形面积公式和余弦定理，得
S＝bcsin A，b2＋c2－a2＝2bccos A，
代入已知，得bcsin A＝·2bccos A，
所以tan A＝1，A＝45°，因此B＝45°.
7．(2022·昆明调研)已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：由正弦定理，得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
8．(2022·河北衡水中学第五次调研)已知sin＋sinα＝－，－<α<0，则cos等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案：C
解析：∵sin＋sin α＝－，－<α<0，
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin α＋cos α＝－.
∴cos＝cos αcos－sin αsin
＝－cosα－sin α＝.
9．(2022·东北四市其次次联考)△ABC中角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：A
解析：由＋≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简，得b2＋c2－a2≥bc，即≥，即cos A≥(0<A<π)，所以0<A≤，故选A.
10．(2022·河北石家庄一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则sin A＋sin B的最大值是(　　)
A．1 B. C．3 D.
答案：D
解析：∵csin A＝acos C，∴sin Csin A＝sin A·cos C，∵sin A≠0，∴tan C＝，∵0<C<π，∴C＝，
∴sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin，
∵0<A<，∴<A＋<，
∴<sin≤，∴sin A＋sin B的最大值为，故选D.
11．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)
A．有一个内角为30°的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形
D．等边三角形
答案：B
解析：∵＝＝，＝＝，
∴＝，＝，
∴sin A＝cos A，sin B＝cos B，
∵0<A<π，0<B<π.∴A＝B＝.
∴△ABC为等腰直角三角形．
12．已知函数f(x)＝4sin，f(3α＋π)＝，f＝－，其中α，β∈，则cos(α－β)的值为(　　)
A. B. C. D.
答案：D
解析：由f(3α＋π)＝，得
4sin＝，
即4sin＝，所以cos α＝，又α∈，所以sin α＝.
由f＝－，得
4sin＝－，
即sin(β＋π)＝－，
所以sin β＝.又β∈，所以cos β＝.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
二、填空题
13．(2022·广东广州综合测试一)设α为锐角，若cos＝，则sin＝________.
答案：
解析：由于α为锐角，则0<α<，则<α＋<，因此sin>0，所以sin＝＝＝，
所以sin＝sin
＝sin·cos－cossin
＝×－×＝.
14．(2022·山东潍坊一模)若α∈，则的最大值为________．
答案：
解析：∵α∈，
∴tan α∈(0，＋∞)，
∴＝＝
＝≤＝，
当且仅当tan α＝，即tan α＝2时，等号成立．
15．(2022·贵阳适应性考试)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0，则A＝________.
答案：
解析：由题意，得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，∴sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，∴sin Acos C＋sin Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin C.
∵sin C≠0，∴sin A－cos A＝1，
即sin A－cos A＝，
∴sin＝，∴A－＝，∴A＝.
16．(2022·云南第一次检测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于________．
答案：16
解析：本题主要考查正、余弦定理，三角形的面积公式等学问，意在考查考生的运算求解力量及对学问的综合应用力量．
依题可得sinB＝，又S△ABC＝acsin B＝42，则c＝14.故b＝＝6，所以b＋＝b＋＝16.
三、解答题

17．(2022·江南十校联考)已知函数f(x)＝λsin ωx＋λcos ωx(λ>0，ω>0)的部分图象如图所示，其中点A为最高点，点B，C为图象与x轴的交点，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝c＝，且满足(2c－a)cos B－bcos A＝0.
(1)求△ABC的面积；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)由(2c－a)cos B－bcos A＝0，得B＝
在△ABC中，BC边上的高h＝csin B＝，BC＝2bcos C＝3，
故S△ABC＝×BC×h＝.
(2)f(x)＝λsinωx＋λcos ωx＝λsin，
又T＝＝6，则ω＝，故f(x)＝λsin，
又－＋2kπ≤＋≤＋2kπ(k∈Z)，
可得6k－≤x≤6k＋，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
18．(2022·四川5月高考热身)已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x，cos2x)，函数f(x)＝m·n＋.
(1)若x∈，f(x)＝，求cos 2x的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcos A≤2c－a，求f(B)的取值范围．
解：(1)f(x)＝m·n＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x－＋＝sin.
∵x∈，∴－≤2x－≤.
又∵f(x)＝sin＝>0，
∴cos＝.
∴cos 2x＝cos
＝cos×－sin
＝×－×＝－.
(2)由2bcos A≤2c－a，得
2b·≤2c－a，
即a2＋c2－b2≥ac.
∴cos B＝≥，
∴0<B≤，从而得－<2B－≤，
故f(B)＝sin∈.
19．(2022·贵阳适应性考试)已知向量a＝(sin x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝2，c＝4，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.
解：(1)f(x)＝(a＋b)·a－2
＝|a|2＋a·b－2
＝sin2x＋1＋sin xcos x＋－2
＝＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
所以T＝＝π.
(2)f(A)＝sin＝1.
由于A∈，2A－∈，
所以2A－＝，A＝.
又a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以12＝b2＋16－2×4b×，
即b2－4b＋4＝0，
解得b＝2.
从而S＝bcsin A＝×2×4×sin＝2.
20．(2022·南京一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
解：(1)由余弦定理及已知条件，得
a2＋b2－ab＝4，
又由于△ABC的面积等于，
所以absin C＝，解得ab＝4.
联立方程解得a＝2，b＝2.
(2)由题意，得
sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
即sin Bcos A＝2sin Acos A，
当cos A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，
当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，
由正弦定理，得b＝2a，
联立方程
解得a＝，b＝.
所以△ABC的面积S＝absin C＝.