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1．(2022·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
证明：(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.
由已知，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
(2)设BC的中点为N，连接MN，如图，则由MB＝ MC知，MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，
故OM⊥AD，即MN⊥AD.
所以AD∥BC，
故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.
由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
2．(2022·郑州质检)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
(1)若＝，＝1，求的值；
(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.
解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB为公共角，
∴△ECD∽△EAB，∴＝＝.
∴2＝·＝·＝×＝.
∴＝.
(2)证明：∵EF2＝FA·FB，∴＝，
又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，
∴∠FEA＝∠EBF，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，
∴EF∥CD.
3．(2022·海口调研)如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若tan ∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．
解：(1)证明：如图，连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.
∵OC是圆的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
(2)由(1)知，直线AB是⊙O的切线，
∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴＝，BC2＝BD·BE，
∵tan ∠CED＝＝，△BCD∽△BEC，
∴＝＝，
设BD＝x，则BC＝2x，
∵BC2＝BD·BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，
∴BD＝2，
∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.
4.
(2022·云南统检)如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C，D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.
(1)求证：PA·PB＝PO·PE；
(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．
解：(1)证明：如图，连接OD.
∵AB是⊙O的直径，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在⊙O上，
∴∠DOA＝∠DCF，∴∠POD＝∠PCE.
又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC，
∴＝，即PD·PC＝PO·PE.
由割线定理，得PA·PB＝PD·PC，
∴PA·PB＝PO·PE.
(2)由已知，直径AB是弦DF的垂直平分线，
∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH.
∵DE⊥CF，∴∠DEH＝∠FEH＝45°.
由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°，得
∠DCF＝60°.
由∠DOA＝∠DCF，得∠DOA＝60°.
在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝ODsin ∠DOH＝，
∴DE＝EF＝＝，
CE＝＝，
∴CF＝CE＋EF＝＋.
5．(2022·哈师附中、东北师大附中、辽宁试验中学联合模拟)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点， 直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.求证：
(1)＝；
(2)△ADQ∽△DBQ.
证明：(1)由题知，△PBC∽△PDB，
所以＝，同理＝.
又由于PA＝PB，
所以＝，即＝.
(2)如图，连接AB.由于∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ，∠ABC＝∠ADQ，
所以△ABC∽△ADQ，
即＝，故＝，
又由于∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ，
所以△ADQ∽△DBQ.
6．(2022·昆明调研)如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2的另一交点为G.
(1)求证：A，E，G，F四点共圆；
(2)若AG切⊙O2于G，求证：∠AEF＝∠ACG.
证明：(1)如图，连接GD，四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，
∴∠AEG＝∠BDG，∠AFG＝∠CDG，
又∠BDG＋∠CDG＝180°，
∴∠AEG＋∠AFG＝180°，
∴A，E，G，F四点共圆．
(2)∵A，E，G，F四点共圆，
∴∠AEF＝∠AGF，
∵AG与⊙O2相切于点G，
∴∠AGF＝∠ACG，
∴∠AEF＝∠ACG.
7.
如图，在圆的内接四边形ABCD中，AD为圆的直径，对角线AC与BD交于点Q，AB，DC的延长线交于点P，连接PQ并延长交AD于点E，连接EB.求证：
(1)PE⊥AD；
(2)BD平分∠EBC.
证明：(1)由已知AD为直径，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，所以点Q为△PAD的垂心．
则PE为AD边上的高，即PE⊥AD.
(2)由(1)知，∠PBD＝∠PED＝90°，因而P，B，E，D四点共圆，则∠AEB＝∠BPC，
又∠PCB＝∠DAB，所以△AEB∽△CPB，
所以∠EBA＝∠CBP，所以∠EBD＝∠CBD，
即BD平分∠EBC.
8．(2022·石家庄一模)已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.
(1)当点D与点A不重合时，如图(1)，证明：ED2＝EB·EC；
(2)当点D与点A重合时，如图(2)，若BC＝2，BE＝6，求⊙O2的直径的长．
解：(1)证明：连接AB，在EA的延长线上取点F，如图(1)所示．
∵AE是⊙O1的切线，切点为A，
∴∠FAC＝∠ABC，
∵∠FAC＝∠DAE，∴∠ABC＝∠DAE，
∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，
∴∠ABC＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴EA＝ED.
∵EA2＝EB·EC，∴ED2＝EB·EC.
(2)当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，
故直线CA与⊙O2相切．
在EA的延长线上取点P，在CA的延长线上取点M，连接AB，
如图(2)所示，由弦切角定理知，
∠PAC＝∠ABC，∠MAE＝∠ABE，
又∠PAC＝∠MAE，
∴∠ABC＝∠ABE＝×180°＝90°，
∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径．
由切割线定理知，EA2＝BE·CE，
而CB＝2，BE＝6，CE＝8，
∴EA2＝6×8＝48，AE＝4，
∴⊙O2的直径的长为4.
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