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3 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)
一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1. 已知α＝130°，则角α的终边在( )
A. 第一象限 B. 其次象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合A＝{(x＋2)(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( )
A. －2∈A B. 1∉A C. 2∈A D. －1∈A
3. 函数y＝lg(x＋1)的定义域是( )
A. (0，＋∞) B. (－∞，＋∞) C. [－1，＋∞) D. (－1，＋∞)
4. 假如直线x－2y－1＝0和y＝kx相互平行，则实数k的值为( )
A. 2 B. C. －2 D. 0
5. 已知a＝(2，4)，b＝(x，2)，且a⊥b，则x的值是( )
A. 4 B. 1 C. －1 D. －4
6. 在空间中，下列命题正确的是( )
A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 平行于同始终线的两个平面平行
C. 垂直于同始终线的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行
7. 焦点在x轴上，且a＝3，b＝2的双曲线的标准方程是( )
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
8. “x＝0”是“xy＝0”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前五项的和等于( )
A. －25 B. 25 C. －31 D. 31
10. 若a>b，则下列各式正确的是( )
A. a＋2>b＋2 B. 2－a>2－b
C. －2a>－2b D. a2>b2
11. 不等式(x＋1)(x＋2)<0的解集是( )
A. {－2<x<－1} B. {x<－2或x>－1}
C. {1<x<2} D. {x<1或x>2}
12. 在△ABC中，a＝2，b＝，∠A＝，则∠B＝( )
A. 30° B. 30°或150°
C. 60° D. 60°或120°
13. 在不等式2x＋y－6<0表示的平面区域内的点是( )
A. (0，1) B. (5，0) C. (0，7) D. (2，3)
14. 函数y＝cos2x－sin2x是( )
A. 周期为2π的奇函数 B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为π的奇函数 D. 周期为π的偶函数
15. 计算8·sin 15°·cos 15°·cos 30°·cos 60°的结果为( )
A. － B. C. － D.
16. 圆x2＋y2－ax＋2＝0经过点A(3，1)，则圆的半径为( )
A. 8 B. 4 C. 2 D.
17. 已知椭圆＋＝1经过(－5，0)和(0，4)，则它的离心率为( )
A. B. C. D.
18. 设等差数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝n2＋n＋c，则c的值为( )
A. －1 B. 1 C. 0 D. 2
(第19题)
19. 如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的( )
A. m<0，n>1 B. m>0，n>1
C. m>0，0<n<1 D. m<0，0<n<1
20. 平面上满足约束条件的点(x，y)形成的区域为D，且区域D和E关于直线y＝2x－1对称，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为( )
A. 3 B. C. 2 D. 4
21. 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A. (2, 1) B. (1，0) C. (0，1) D. (1，2)
22. 已知＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，则n·＝( )
A. －2 B. 0 C. 2 D. －2或2
23. 若函数f(x)＝(k为常数)在定义域上为奇函数，则k的值为( )
A. 1 B. －1 C. 0 D. －1或1
24. 某同学争辩了①y＝x－1；②y＝x－2；③y＝x3；④y＝x其中的一个函数，并给出两共性质：(1)定义域是{x|x∈R且x≠0}；(2)值域是{y|y∈R且y≠0}，假如他给出的两共性质中，有一个正确，一个错误，则他争辩的函数是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
(第25题)
25. 如图，F1，F2分别是双曲线C：－(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
26. 抛物线y2＝2x的通径为________．
27. 在△ABC中，∠A＝，a＝，b＝1，则c＝________．
28. y＝logax(a>1)在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．
29. 若点P(x，y)在直线x＋2y－4＝0上运动，则它的横、纵坐标之积的最大值是________．
30. 若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的外形为________．
三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)
31. (本题7分)已知0<α<，sinα＝.
(1)求tanα的值；
(2)求cos2α＋sin的值．
32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)
(A)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是PD、BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)求证：AD⊥PB.
,[第32题(A)]) ,[第32题(B)])
(B)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．
33. (本题8分)在等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
34. (本题8分)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)假如直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)假如·＝－4，求证：直线l必过确定点，并求出该定点．
3 2022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)
1. B 2. A 3. D 4. B 5. D 6. D 7. C
8. B 9. D 10. A 11. A 12. A 13. A 14. D
15. D 16. D 17. D 18. C 19. D 20. C
21. C 22. C 23. D 24. B
25. B [提示：|OB|＝b，|O F1|＝c.∴kPQ＝，kMN＝－.直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x.由得Q(，)．由得P(，)．∴直线MN为y－＝－(x－)，令y＝0得xM＝.又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解得e2＝＝，即e＝.]
26. 2 27. 2 28. 29. 2
30. 直角三角形 [解析：||＝|＋|，依据平行四边形法则，对角线相等，所以∠A为直角．]
31. 解：(1)∵cosα＝，∴tanα＝. (2)cos2α＋sin＝1－2sin2α＋cosα＝.
32. (A)证明：(1)取PA的中点G，连接BG，EG，则EG綊BF，∴四边形BFEG为平行四边形，∴EF∥BG，∴EF∥平面PAB. (2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB. (B)(1)连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，∴M为AB′的中点．又∵N为B′C′的中点，∴MN∥AC′，又∵MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，∴MN∥平面A′ACC′.
(第32题)
(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Oxyz，如图所示，设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，于是A(0，0，0)，B(λ，0，0)，C(0，λ，0)，A′(0，0，1)，B′(λ，0，1)，C′(0，λ，1)，∴M，N.设m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量，得可取m＝(1，－1，λ)．设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，得可取n＝(－3，－1，λ)，∵二面角A′－MN－C为直二面角，∴m·n＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝.
33. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则 an＝a1＋(n－1)d.∵∴解得a1＝1，d＝. ∴{an}的通项公式为an＝. (2)bn＝＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝.
34. 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l：x＝ty＋1代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2，＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2，＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2，0)．
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