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第2讲 两直线的位置关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是
( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析 由题意知，直线l的斜率是－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
答案 A
2．(2022·乐清中学模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝
( )
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
解析 若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有＝≠，解得a＝－1或2.
答案 D
3．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为
( )
A．4 B.
C. D.
解析 把3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，则两平行线间的距离d＝＝.
答案 D
4．(2021·金华调研)当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在
( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 解方程组得两直线的交点坐标为，由于0<k<，所以<0，>0，故交点在其次象限．
答案 B
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )
A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
解析 直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．
答案 B
二、填空题
6．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
解析 由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，
解得a＝.
答案
7．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
解析 由得
∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案 －9
8．(2021·温州中学检测)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．
解析 明显直线l斜率不存在时不满足题意，设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案 2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
三、解答题
9．已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：
(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．
解 (1)由已知1×3≠m(m－2)，
即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.
故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．
(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝时，l1⊥l2.
(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2.
(4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，
即m＝3时，l1与l2重合．
10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解 依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC，lCM得∴C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴∴B(－1，－3)，
∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2021·东阳中学一模)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是
( )
A．2 B．2 C．4 D．2
解析 由于点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0.
欲求m2＋n2的最小值可先求
的最小值，而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4.
答案 C
12．如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最终经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是
( )
A．2 B．6 C．3 D．2
解析 易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2,0)，则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(－2,0)两点间的距离．于是|A1A2|＝＝2.
答案 A
13．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析 当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．由于A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案 x＋2y－3＝0
14．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则，
解得，故A′(－2,8)．
P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解得，
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
解得，
故所求的点P的坐标为(12,10)．
15．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
解 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝，即c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不行能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得所以存在点P同时满足三个条件.
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