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补偿练4 不等式
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一、选择题
1．若a＞b＞0，则( )．
A．a2c＞b2c(c∈R) B．＞1
C．lg (a－b)＞0 D．a＜b
解析 取a＝2，b＝1，c＝0验证可得D正确．
答案 D
2．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( )．
A. B． C. D．
解析 由题意知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两个根，
∴x1＋x2＝2a，x1·x2＝－8a2，
∴|x2－x1|＝＝＝15.
又a＞0，解得a＝.
答案 A
3．“x＞y＞0”是“＞1”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 ＞1⇔(x－y)y＞0，由x＞y＞0，得(x－y)＞0，y＞0，所以x＞y＞0⇒＞1，具有充分性．由＞1，得或所以＞1⇒/ x＞y＞0，不具有必要性，故选A.
答案 A
4．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )．
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 画出可行域(如图)，目标函数向上平移至点A时，取得最大值，由得A(4,3)，∴(x＋y)max＝4＋3＝7.
答案 D
5．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝()ln x，c＝eln x，则a，b，c的大小关系是( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
解析 ∵x∈(e－1,1)，∴－1＜ln x＜0,1＜()ln x＜2，＜eln x＜1，∴b＞c＞a.
答案 B
6．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )．
A. B． C. D．
解析 对于x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)，∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当＝，即x＝时等号成立)．
答案 B
7．若存在x使不等式＞成立，则实数m的取值范围为( )．
A．(－∞，－) B．(－，e)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析 依题意得，关于x的不等式＞，即－m＞ex－x有解．记f(x)＝ex－x(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥ex×2－1＝ex－1＞－1＞0(x＞0)，因此函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(x)的最小值是f(0)＝0，于是有－m＞0，m＜0，实数m的取值范围是(－∞，0)．
答案 C
8．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是( )．
A. B. C. D.
解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，|AM|的最小值等于点A(－1,1)到直线2x＋y－2＝0的距离，即等于＝.
答案 A
9．已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为( )．
A．4 B．8
C．9 D．12
解析 易知不等式＜0的解集为(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1,2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当m＝n＝时取等号)，所以＋的最小值为9.
答案 C
10．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax－1恒成立，则实数a的取值范围是( )．
A．(－∞，－6] B．[－6,0]
C．(－∞，－1] D．[－1,0]
解析 在同始终角坐标系下作出y＝|f(x)|和y＝ax－1的图象如图所示，由图象可知当y＝ax－1与y＝x2－4x相切时符合题意，由x2－4x＝ax－1有且只有一负根，则Δ＝0且<0，得a＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a∈[－6,0]．
答案 B
二、填空题
11．不等式≥2的解集是__________．
解析 ∵(x－1)2≥0且x≠1，
∴≥2⇔x＋5≥2(x－1)2且x≠1⇔2x2－5x－3≤0且x≠1，解得－≤x＜1或1＜x≤3.
答案 [－，1)∪(1,3]
12．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
解析 x2＋y2＋xy＝1⇔(x＋y)2－xy＝1⇔(x＋y)2－1＝xy≤()2，解得≤x＋y≤.
答案
13．已知实数x，y满足约束条件且目标函数z＝kx＋y的最大值为11，则实数k＝________.
解析 画图后易知，目标函数在点(2,3)处取到最大值11，所以2k＋3＝11，即k＝4.
答案 4
14．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是________．
解析 依题意得，题中的圆心坐标是(0,1)，于是有b＋c＝1，＋＝(＋)(b＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即b＝2c＝时取等号，因此＋的最小值是9.
答案 9
15．已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)
为平面区域上的一个动点，则·的最大值是__________．
解析 ·＝2x＋y，如图：当直线2x＋y＝z经过点(1,1)时，达到最大值，z max ＝3.
答案 3
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