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双基限时练(十九)
1．在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法中正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量的坐标与向量的坐标相同
D．向量的坐标与－的坐标相同
解析 在空间直角坐标系中，从原点动身的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点动身的向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以＝－.
答案 D
2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
C. △ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
答案 B
3．下列说法不正确的是( )
A．只要空间的三个基本向量的模为1，那么它们就是空间的一个单位正交基底
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
答案 A
4．从空间一点动身的三个不共线的向量a，b，c确定的平面个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．1或3
解析 当三个向量共面时，可确定一个平面，当三个向量不共面时，可以确定三个平面．
答案 D
5．正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′，的中点，以{，，}的基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
解析 ＝＋＝＋＋＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋.
对比＝x＋y＋z，知x＝y＝z＝1.
答案 A
6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－2e1＋4e2＋2e3，则向量a，b的坐标分别是________．
答案 a＝(3,2，－1)，b＝(－2,4,2)
7．若{a，b，c}构成空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是__________．
解析 ∵{a，b，c}构成空间的一个基底，∴a，b，c都是非零向量．由0＝xa＋yb＋zc知，x＝y＝z＝0.
答案 x＝y＝z＝0
8．在四周体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__________(用a，b，c表示)．
解析 ＝＋
＝＋
＝＋·(＋)
＝＋(－)＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
答案 a＋b＋c
9．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，PM＝2MC，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
解 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－.由题意易知
＝＝＝－，
＝－＝－＝，
连接AC，则＝＋＝＋－.
∴＝－－
＝－－(＋－)
＝－－＋.
∴x＝－，y＝－，z＝.
10．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1N:NC＝1:3.
(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
解 (1)正方形ABCD中，AB＝6，
∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3.
∴各点坐标分别为A(3，0,0)，B(0,3，0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3，0,4)，B1(0,3，4)，G1(－3，0,4)，D1(0，－3，4)，M(0,3，2)，N(－3，0,3)．
(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取＝a，＝b，＝c作为基底．
(1)求；
(2)若M，N分别为边AD，CC1的中点，求.
解 (1)＝－＝＋－＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.
12．如图所示，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，，方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系O－xyz.求EF中点P的坐标．
解 令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k.
∵＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋×＝(＋)＋(－)＝＋＋＝i＋×2j＋×3k＝i＋j＋k
∴P点的坐标为.
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