【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：C3三角函数的图象与性质.docx

C3 三角函数的图象与性质

【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】9.已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为b，若函数g(x)＝，则不等式g(x)≤1的解集为 (　 　)
A. B. C. D.
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】D ∵x∈(0,)，∴tanx＞0．∴f(x)=
=(3tanx+)≥= ．当且仅当tanx=，即x=时取等号．
因此b=．不等式g（x）≤1⇔①＜x＜或②，解②得≤x≤．
因此不等式f（x）≤1的解集为[,]∪(，)=[，)．故选D．
【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出．

【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】7. 函数是 ( )
A．最小正周期为，值域为的函数
B．最小正周期为，值域为的函数
C．最小正周期为，值域为的函数
D．最小正周期为,值域为的函数
【学问点】三角函数的周期；三角函数的值域.C3
【答案】【解析】C 解析：，最小正周期为,由于,所以,即值域为,故选C.
【思路点拨】先把原函数化简整理，再利用周期公式求解即可，然后求出值域。

【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211） (1)】18．（本小题满分14分）已知向量，其中．
（1）若，求的值；
（2）设函数 ，求的值域．
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】（1）（2）
（1）由于，所以 所以即,由于，所以
（2）由于
， （
所以当即时，
当即时，, 所以的值域为。
【思路点拨】先利用向量的关系化简求出x值，再依据单调性最值。

【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211） (1)】12．函数的最小正周期为 ▲ ．
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】 ∵数y=3sin(3x+ )-3，∴其最小正周期T=，故答案为：．
【思路点拨】利用正弦函数的周期公式即可求得答案．

【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】19.(本小题满分12分）若对任意x∈R，不等式＞sinθ-1恒成立，求θ的取值范围.
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】（2kπ-，2kπ+） k∈Z
原不等式变形为：(cosθ-sinθ+1)x2-(cosθ-sinθ-4)x+cosθ-sinθ+4＞0
令t＝cosθ-sinθ得：(t+1)x2-(t-4)x+t+4＞0
∴cosθ-sinθ＞0cosθ＞sinθ2kπ-＜θ＜2kπ+ k∈Z
所以得范围是（2kπ-，2kπ+） k∈Z
【思路点拨】依据三角函数的性质求出参数范围

【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】18.(本小题满分12分）已知，其中，，且，若相邻两对称轴间的距离不小于。
（1）求的取值范围.
（2）在中，、、分别是角、、的对边，，，当最大时，,求的面积.
【学问点】三角函数的图象与性质解三角形C3 C8
【答案解析】（1）（2）

对称轴为， ∴
（1）由得 得
（2）由（1）知 ∴
∵ ∴ ∵ ∴
由得
∴
【思路点拨】依据三角函数的周期性求出参数范围，依据余弦定理求出边再求面积。

【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】16.(本题满分12分)
已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求使不等式成立的的取值集合，其中为的导函数.
【学问点】三角函数图像，函数的导数应用C3 B12
【答案】【解析】(1) (2)
解析：（1）
又点是的一个对称中心，
，令，得
（2）
【思路点拨】由图像先推断函数周期T，可求ω，再由点是的一个对称中心可求，从而就可以确定的解析式.

【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】9.已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为b，若函数g(x)＝，则不等式g(x)≤1的解集为 (　 　)
A. B. C. D.
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】D ∵x∈(0,)，∴tanx＞0．∴f(x)=
=(3tanx+)≥= ．当且仅当tanx=，即x=时取等号．
因此b=．不等式g（x）≤1⇔①＜x＜或②，解②得≤x≤．
因此不等式f（x）≤1的解集为[,]∪(，)=[，)．故选D．
【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出．

【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】7、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象是
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【学问点】三角函数的图像 C3
【答案】【解析】A 解析：依题意得，故，所以
，
，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选
【思路点拨】依据题意可求出再依据解析式判定函数的对称关系.

【数学文卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】17.（本小题满分12分）
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的最小正周期及解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－cos 2x，求函数g(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．

【学问点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值.C3 C4
【答案】【解析】(1) T＝π，f(x)＝sin(2x＋)； (2)1，－。
解析：(1)由图可得A＝1，＝－＝，所以T＝π.所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝1，可得sin(2×＋φ)＝1.
由于|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝sin(2x＋)．
(2)g(x)＝f(x)－cos 2x
＝sin(2x＋)－cos 2x
＝sin 2xcos＋cos 2xsin－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝sin(2x－)．
由于0≤x≤，所以－≤2x－≤.
当2x－＝，即x＝时，g(x)有最大值，最大值为1；
当2x－＝－，即x＝0时，g(x)有最小值，最小值为－.
【思路点拨】(1)由图可得A=1，一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的确定值为半个周期，得最小正周期T，进而得ω，代入最高点坐标求φ，得f（x）的解析式；
(2)由(1)知f（x）的解析式，代入求出g（x）的解析式，用两角和的正弦公式把式中的第一项开放，合并，再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值，由x的范围，得到2x﹣的范围，由正弦函数的图象得到sin（2x﹣）的最大值和最小值．

【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】18．（本小题满分14分）已知向量，其中．
（1）若，求的值；
（2）设函数 ，求的值域．
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】（1）（2）
（1）由于，所以 所以即,由于，所以
（2）由于
， （
所以当即时，
当即时，, 所以的值域为。
【思路点拨】先利用向量的关系化简求出x值，再依据单调性最值。

【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】2．函数的最小正周期为
A． B． C． D．
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】B ∵数y=3sin(3x+ )-3，∴其最小正周期T=，故答案为：B．
【思路点拨】利用正弦函数的周期公式即可求得答案．

【数学文卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】17．（本小题满分12分）
已知向量，，函数．
（Ⅰ）求函数的对称中心；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．
【学问点】三角函数的图象与性质解三角形C3 C8
【答案解析】（Ⅰ）（k ∈z）（Ⅱ）
（Ⅰ）
对称中心为（k ∈z）
（Ⅱ）
是三角形内角 ∴ ∴ 即：
∴ 即：
将 代入k式可得： 解之得：
∴ ∴
【思路点拨】依据三角函数图像性质求出对称中心，依据余弦定理求出边长。

【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】17.（本小题满分12分）
已知函数为常数）．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若时，求函数的值域。
【学问点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．C3 C4
【答案】【解析】（1），单调递增区间为（2）
解析：(1) 2分
………………………3分
∴的最小正周期. ………………………4分
令,
即时，故
的单调递增区间为 ……………6分
(2) 当时，则 ………………8分
………………10分
………………12分
【思路点拨】（1）首先通过恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出单调区间和最小正周期．
（2）利用第一步结论利用定义域依据函数的单调性求值域．

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】18. （本小题12分） 已知向量=（），=（,）,
,函数，其最小正周期为.
（1）求函数的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=l，S△ABC=，求a的值．
【学问点】向量的数量积 三角函数的性质 解三角形F3 C3 C8
【答案】【解析】(1) ，单调递增区间为；
(2) .
解析：(1) 由于，由于最小正周期为，所以，得，所以，由,得，所以函数的单调递增区间为；
(2)由于，所以，则，得c=4，所以.
【思路点拨】一般争辩与三角相关的函数的性质通常先把函数化成一个角的三角函数再进行解答，再解三角形中可运用三角形面积公式及余弦定理进行解答.

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】14．把函数的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω+φ=

【学问点】三角函数的图像C3
【答案】【解析】 解析：函数的图象向左平移个单位对应的解析式为，由所给的函数的图像知最小正周期为，所以，又，得，而，所以，则.
【思路点拨】由三角函数的图像求其解析式，关键是理解函数的最小正周期及最值点与其对应的系数的关系.