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电磁感应中的动力学问题
1．如图1－8－7所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d>L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图像中，可能正确描述上述过程的是( )
图1－8－7
答案 D
解析 依据题意，线框进入磁场时，由右手定则和左手定则可知线框受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，v减小，由F安＝，则安培力减小，故线框做加速度减小的减速运动；由于d＞L，线框完全进入磁场后，线框中没有感应电流，不再受安培力作用，线框做匀速直线运动，同理可知线框离开磁场时，线框也受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，做加速度减小的减速运动．综上所述，正确答案为D.
2．如图1－8－8所示，光滑金属直轨道MN和PQ固定在同一水平面内，MN、PQ平行且足够长，两轨道间的宽度L＝0.50 m．轨道左端接一阻值R＝0.50 Ω的电阻．轨道处于磁感应强度大小B＝0.40 T，方向竖直向下的匀强磁场中，质量m＝0.50 kg的导体棒ab垂直于轨道放置．在沿着轨道方向向右的力F作用下，导体棒由静止开头运动，导体棒与轨道始终接触良好并且相互垂直，不计轨道和导体棒的电阻，不计空气阻力，若力F的大小保持不变，且F＝1.0 N，求：
图1－8－8
(1)导体棒能达到的最大速度大小vm；
(2)导体棒的速度v＝5.0 m/s时，导体棒的加速度大小a.
答案 (1)12.5 m/s (2)1.2 m/s2
解析 (1)导体棒达到最大速度vm时受力平衡，有F＝F安m，此时F安m＝，解得vm＝12.5 m/s.
(2)导体棒的速度v＝5.0 m/s时，感应电动势E＝BLv＝10 V，导体棒上通过的感应电流大小I＝＝2.0 A，导体棒受到的安培力F安＝BIL＝0.40 N，依据牛顿其次定律，有F－F安＝ma，解得a＝1.2 m/s2.
电磁感应中的能量问题
图1－8－9
3．如图1－8－9所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置，导轨平面与水平面的夹角为θ，导轨的下端接有电阻．当导轨所在空间没有磁场时，使导体棒ab以平行导轨平面的初速度v0冲上导轨，ab上升的最大高度为H；当导轨所在空间存在方向与导轨平面垂直的匀强磁场时，再次使ab以相同的初速度从同一位置冲上导轨，ab上升的最大高度为h，两次运动中ab始终与两导轨垂直且接触良好，关于上述情景，下列说法中正确的是( )
A．比较两次上升的最大高度，有H＝h
B．比较两次上升的最大高度，有H＜h
C．无磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生
D．有磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生
答案 D
解析 没有磁场时，只有重力做功，机械能守恒，没有电热产生，C错误；有磁场时，ab切割磁感线产生感应电流，重力和安培力均做负功，机械能减小，有电热产生，故ab上升的最大高度变小，A、B错误，D正确．
图1－8－10
4．如图1－8－10所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L＝0.5 m，框的电阻不计，匀强磁场的磁感应强度B＝1 T，方向与框面垂直，金属棒MN的质量为100 g，电阻为1 Ω，现让MN无初速的释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一截面的电荷量2 C，求此过程回路中产生的电能为多少？(空气阻力不计，g＝10 m/s2)
答案 3.2 J
解析 金属棒下落过程做加速度渐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，依据平衡条件得
mg＝①
在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E，由能量守恒定律得mgh＝mv＋E②
通过导体某一横截面的电量为q＝③
由①②③解得：
E＝mgh－mv＝－＝J－J＝3.2 J
(时间：60分钟)
题组一 电磁感应中的动力学问题
图1－8－11
1．如图1－8－11所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可不计．开头时，给ef一个向右的初速度，则( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最终停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将来回运动
答案 A
解析 ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIl＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确．
图1－8－12
2．如图1－8－12所示，MN和PQ是两根相互平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，开头时，将开关S断开，让杆ab由静止开头自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开头计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像不行能是下图中的( )
答案 B
解析 S闭合时，若＞mg，先减速再匀速，D项有可能；若＝mg匀速，A项有可能；若＜mg，先加速再匀速，C项有可能；由于v变化，－mg＝ma中a不恒定，故B项不行能．
图1－8－13
3．如图1－8－13所示，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻．线框下落过程外形不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设OO′下方磁场区域足够大，不计空气阻力影响，则下列反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律不行能的图像是( )
答案 A
解析 线框在磁场外做自由落体运动，ab边进入磁场的过程中，运动性质有三种可能：一是匀速运动，二是加速度减小的减速运动；三是加速度减小的加速运动．线框全部进入后，做匀加速直线运动，综上所述，A是不行能的，B、C、D可能．
4．如图1－8－14所示，边长为L的正方形线框，从图示位置开头沿光滑斜面对下滑动，中途穿越垂直纸面对里、有抱负边界的匀强磁场区域，磁场的宽度大于L，以i表示导线框中的感应电流，从线框刚进入磁场开头计时，取逆时针方向为电流正方向，以下it关系图像，可能正确的是( )
图1－8－14
答案 BC
解析 边长为L的正方形线框，从图示位置开头沿光滑斜面对下滑动，若进入磁场时所受安培力与重力沿斜面方向的分力平衡，则线框做匀速直线运动，感应电流为一恒定值；完全进入后磁通量不变，感应电流为零，线框做匀加速直线运动；从磁场中出来时，感应电流方向相反，所受安培力大于重力沿斜面方向的分力，线框做加速度减小的减速运动，感应电流减小，选项B正确．若线圈刚进入磁场时安培力F＜mgsin α，那么将做加速运动，加速度渐渐减小，图像斜率渐渐减小，选项C也正确．
图1－8－15
5．如图1－8－15所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，间距为l，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则( )
A．假如B变大，vm将变大
B．假如α变大，vm将变大
C．假如R变大，vm将变大
D．假如m变小，vm将变大
答案 BCD
解析 金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝，因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用，F＝BIl＝，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示，依据牛顿其次定律，得mgsin α－＝ma，当a→0时，v→vm，解得vm＝，故选项B、C、D正确．
题组二 电磁感应中的能量问题
6.
图1－8－16
光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图1－8－16所示，抛物线的方程为y＝x2，其下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线(图中的虚线所示)，一个质量为m的小金属块从抛物线y＝b(b＞a)处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，则金属块在曲面上滑动的过程中产生的焦耳热总量是( )
A．mgb B.mv2
C．mg(b－a) D．mg(b－a)＋mv2
答案 D
解析 金属块在进入磁场或离开磁场的过程中，穿过金属块的磁通量发生变化，产生电流，进而产生焦耳热，最终，金属块在高为a的曲面上做往复运动，削减的机械能为mg(b－a)＋mv2，由能量转化和守恒定律可知，削减的机械能全部转化成焦耳热，即D选项正确．
图1－8－17
7．如图1－8－17所示，质量为m、高为h的矩形导线框在竖直面内自由下落，其上下两边始终保持水平，途中恰好匀速穿过一有抱负边界、高亦为h的匀强磁场区域，线框在此过程中产生的内能为( )
A．mgh
B．2mgh
C．大于mgh而小于2mgh
D．大于2mgh
答案 B
解析 因线框匀速穿过磁场，在穿过磁场的过程中合外力做功为零，克服安培力做功为2mgh，产生的内能亦为2mgh.故选B.
图1－8－18
8．如图1－8－18所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面对里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面积的电荷量为q1；其次次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则( )
A．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2
C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2
答案 A
解析 依据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；因q＝It＝t＝，故q1＝q2，因此A正确．
9．如图1－8－19所示，矩形线圈长为L，宽为h，电阻为R，质量为m，线圈在空气中竖直下落一段距离后(空气阻力不计)，进入一宽度也为h、磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈进入磁场时的动能为Ek1，线圈刚穿出磁场时的动能为Ek2，从线圈刚进入磁场到线圈刚穿出磁场的过程中产生的热量为Q，线圈克服磁场力做的功为W1，重力做的功为W2，则以下关系中正确的是( )
图1－8－19
A．Q＝Ek1－Ek2 B．Q＝W2－W1
C．Q＝W1 D．W2＝Ek2－Ek1
答案 C
解析 线圈进入磁场和离开磁场的过程中，克服安培力做的功等于产生的焦耳热即Q＝W1，C正确；依据动能定理：W1－W2＝Ek2－Ek1，D错误；依据功能关系，线圈削减的机械能等于产生的焦耳热，也等于克服安培力做的功．Q＝W2＋Ek1－Ek2，所以A、B错误．
图1－8－20
10．水平放置的光滑导轨上放置一根长为L、质量为m的导体棒ab，ab处在磁感应强度大小为B、方向如图1－8－20所示的匀强磁场中，导轨的一端接一阻值为R的电阻，导轨及导体棒电阻不计，现使ab在水平恒力F作用下由静止沿垂直于磁场的方向运动，当通过位移为x时，ab达到最大速度vm，此时撤去外力，最终ab静止在导轨上，在ab运动的整个过程中，下列说法正确的是( )
A．撤去外力后，ab做匀减速运动
B．合力对ab做的功为Fx
C．R上释放的热量为Fx＋mv
D．R上释放的热量为Fx
答案 D
解析 撤去外力后，导体棒水平方向只受安培力作用，而F安＝，F安随v的变化而变化，故棒做加速度变化的变速运动，A错；对整个过程由动能定理得W合＝ΔEk＝0，B错；由能量守恒定律知，外力做的功等于整个回路产生的电能，电能又转化为R上释放的热量，即Q＝Fx，C错，D正确．
图1－8－21
11．如图1－8－21所示，足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置，且都倾斜着与水平面成夹角θ，在导轨的最上端M、P之间接有电阻R，不计其他电阻，导体棒ab从导轨的最底端冲上导轨，当没有磁场时，ab上升的最大高度为H；若存在垂直导轨平面的匀强磁场时，ab上升的最大高度为h.在两次运动过程中ab都与导轨保持垂直，且初速度都相等，关于上述情景，下列说法正确的是( )
A．两次上升的最大高度相比较为H＜h
B．有磁场时导体棒所受合力的功大于无磁场时合力的功
C．有磁场时，电阻R产生的焦耳热为mv
D．有磁场时，ab上升过程的最小加速度为gsin θ
答案 D
解析 当有磁场时，导体棒除受到沿斜面对下的重力的分力外，还受到安培力的作用，所以两次上升的最大高度相比较为h＜H，两次动能的变化量相等，所以导体棒所受合力的功相等，选项A、B错误；有磁场时，电阻R产生的焦耳热小于mv，ab上升过程的最小加速度为gsin θ，选项C错误，选项D正确．
题组三 电磁感应中的动力学问题和能量问题的综合
图1－8－22
12．(2021·石景山区期末测试)如图1－8－22所示，宽度为L＝0.2 m的足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨的一端连接阻值为R＝1.0 Ω的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.2 T．一根质量为m＝10 g的导体棒MN放在导轨上，并与导轨始终接触良好，导轨和导体棒的电阻均可忽视不计．现用垂直MN的水平拉力F拉动导体棒使其沿导轨向右匀速运动，速度为v＝5.0 m/s，在运动过程中保持导体棒与导轨垂直．求：
(1)在闭合回路中产生感应电流I的大小；
(2)作用在导体棒上拉力F的大小；
(3)当导体棒移动50 cm时撤去拉力，求整个过程中电阻R上产生的热量Q.
答案 (1)0.2 A (2)0.008 N (3)0.129 J
解析 (1)感应电动势为E＝BLv＝0.2 V①
感应电流为I＝②
由①②代入数据得：I＝0.2 A．③
(2)导体棒匀速运动，安培力与拉力平衡，
F＝BIL＝0.008 N．④
(3)导体棒移动50 cm的时间为t＝⑤
依据焦耳定律Q1＝I2Rt⑥
由③⑤⑥得Q1＝0.004 J⑦
依据能量守恒Q2＝mv2＝0.125 J⑧
由⑦⑧得：电阻R上产生的热量Q＝Q1＋Q2＝0.129 J.
13．(2021·北京西城区期末测试)如图1－8－23甲所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m，导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B.金属导轨的上端与开关S，阻值为R1的定值电阻和电阻箱R2相连，不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g.现在闭合开关S，将金属棒由静止释放．
(1)推断金属棒ab中电流的方向；
(2)若电阻箱R2接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻上产生的焦耳热Q；
(3)当B＝0.40 T、L＝0.50 m、α＝37°时，金属棒能达到的最大速度vm随电阻箱R2阻值的变化关系如图乙所示，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60.cos 37°＝0.80.求R1的大小和金属棒的质量m.
图1－8－23
答案 (1)b到a (2)mgh－mv2 (3)0.1 kg
解析 (1)由右手定则可知，金属棒ab中的电流方向为b到a.
(2)由能量守恒定律可知，金属棒减小的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热mgh＝mv2＋Q
解得：Q＝mgh－mv2
(3)设最大速度为vm时，切割磁感线产生的感应电动势E＝BLvm
由闭合电路欧姆定律得：
I＝
从b端向a端看，金属棒受力如图所示：
金属棒达到最大速度时满足
mgsin α－BIL＝0
由以上三式得最大速度：
vm＝R2＋R1
图像斜率k＝ m/(s·Ω)＝15 m/(s·Ω)，纵截距b＝30 m/s
则：R1＝b
＝k
解得：R1＝2.0 Ω
m＝0.1 kg
14．如图1－8－24所示，水平放置的平行金属导轨宽度为d＝1 m，导轨间接有一个阻值为R＝2 Ω的灯泡，一质量为m＝1 kg的金属棒放置在导轨之上，其电阻为r＝1 Ω，且和导轨始终接触良好，整个装置放在磁感应强度为B＝2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面对下，现对金属棒施加一水平向右的拉力F，使金属棒从静止开头向右运动，求：
图1－8－24
(1)若金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.2，施加的水平恒力为F＝10 N，则金属棒达到的稳定速度v1是多少？
(2)若金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.2，施加的水平力功率恒为P＝6 W，则金属棒达到的稳定速度v2是多少？
(3)若金属棒与导轨间是光滑的，施加的水平力功率恒为P＝20 W，经受t＝1 s的过程中灯泡产生的热量为QR＝12 J，则此时金属棒的速度v3是多少？
答案 (1)6 m/s (2)1.5 m/s (3)2 m/s
解析 (1)由I＝和F安＝BId
可得F安＝
依据平衡条件可得F＝μmg＋F安
解得v1＝
＝ m/s
＝6 m/s
(2)稳定后F＝μmg＋
且P＝Fv2 整理得2v＋3v2－9＝0
解得v2＝1.5 m/s
(3)金属棒和灯泡串联，由Q＝I2Rt得灯泡和金属棒产生的热量比＝
依据能量守恒Pt＝mv＋QR＋Qr
解得v3＝
＝ m/s＝2 m/s
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