2021届高考理科数学-解析几何经典精讲(上)-课后练习二.docx

解析几何经典精讲（上）
主讲老师：程敏 北京市重点中学数学高级老师

题一：设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.

题二：若直线过点M交椭圆于A、B两点，且，求直线的方程．

题三：设分别是椭圆E:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E 相交于两点，且,,成等差数列.
（Ⅰ)求E的离心率.
（Ⅱ）设点P（0,-1）满足,求E的方程.
题四：如图所示，椭圆x轴被曲线：-b截得的线段长等于的长半轴长.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A，B，直线MA，MB分别与相交于点D， E.
（i）证明：MD；
（ii）记的面积分别为.问：是否存在直线l，使得
？请说明理由.

题五：已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
(i)若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

解析几何经典精讲（上）
课后练习参考答案
题一：.
详解：由已知可得A（-2,0）.设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去整理，得,
由得.
设线段AB的中点为M，则M的坐标为.
以下分两种状况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）.线段AB的垂直平分线为y轴，于是

（2）当k时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由

.
整理得，所以
综上.
题二：
详解：若直线的斜率k不存在，即轴，由椭圆的对称性知，则不满足．
当直线的斜率k存在时，设直线的方程为．
设A则 ① ②
由知，M为AB的中点，
①－②得　
∴，.∴直线的方程为：即．
题三：（Ⅰ)；（Ⅱ）
详解：（Ⅰ)由椭圆的定义知，，又，
得 ，的方程为，其中.
设，则两点坐标满足方程组
化简得，，
则 ，.
由于直线AB斜率为1，所以，
得，故,所以E的离心率.
（Ⅱ）设两点的中点为，由（Ⅰ)知，.
由，可知,即，得，从而.
椭圆E的方程为.
题四：（I）；（II）（i）见详解；（ii）和.
详解：（I）由题意知，从而，又-b截得的线段长等于的长半轴长，
所以，解得.
故，的方程分别为.
（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.
由得，
设，则是上述方程的两个实根，于是.
又A，B在直线上，∴y1=kx1,y2=kx2,
又点的坐标为，所以

故，即.
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或则点A的坐标为,点M的坐标为（0，-1）.
又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.
于是
由得，
解得或则点的坐标为；
又直线的斜率为，同理可得点的坐标
于是.
因此.
由题意知，,解得 或.
又由点的坐标可知，，所以
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和.
题五：(1) ;(2) (i) ;(ii)
详解：(1)设椭圆的方程为,则.
由,得
∴椭圆C的方程为
(2)(i)解:设,直线的方程为,
代入,得
由,解得
由韦达定理得.
四边形的面积
∴当,
(ii)解:当,则、的斜率之和为0,设直线的斜率为
则的斜率为,的直线方程为
由
(1)代入(2)整理得

同理的直线方程为,可得
∴

所以的斜率为定值