1、解析几何经典精讲（上）主讲老师：程敏 北京市重点中学数学高级老师题一：设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值. 题二：若直线过点M交椭圆于A、B两点，且，求直线的方程题三：设分别是椭圆E:（ab0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E 相交于两点，且,成等差数列.（)求E的离心率.（）设点P（0,-1）满足,求E的方程.题四：如图所示，椭圆x轴被曲线：-b截得的线段长等于的长半轴长.（）求的方程；（）设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A，B，直线MA，MB分别与相交于点D， E.（i）证明：MD；（ii）记的面积分别为.问：是否存在直
2、线l，使得？请说明理由.题五：已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,(i)若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;(ii)当A、B运动时,满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由. 解析几何经典精讲（上）课后练习参考答案题一：.详解：由已知可得A（-2,0）.设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去整理，得,由得.设线段AB的中点为M
3、，则M的坐标为.以下分两种状况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）.线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当k时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得由.整理得，所以综上. 题二：详解：若直线的斜率k不存在，即轴，由椭圆的对称性知，则不满足当直线的斜率k存在时，设直线的方程为设A则 由知，M为AB的中点， 得，.直线的方程为：即题三：（)；（）详解：（)由椭圆的定义知，又，得 ，的方程为，其中.设，则两点坐标满足方程组 化简得，则 ，.由于直线AB斜率为1，所以，得，故,所以E的离心率.（）设两点的中点为，由（)知，.由，可知,即，得，从而.椭圆E的方程为.题四：（I）；（II）（i
4、）见详解；（ii）和.详解：（I）由题意知，从而，又-b截得的线段长等于的长半轴长，所以，解得.故，的方程分别为.（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是.又A，B在直线上，y1=kx1,y2=kx2,又点的坐标为，所以故，即.（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或则点A的坐标为,点M的坐标为（0，-1）.又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.于是由得，解得或则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是.因此.由题意知，,解得 或.又由点的坐标可知，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和.题五：(1) ;(2) (i) ;(ii) 详解：(1)设椭圆的方程为,则. 由,得 椭圆C的方程为 (2)(i)解:设,直线的方程为, 代入,得 由,解得 由韦达定理得. 四边形的面积 当, (ii)解:当,则、的斜率之和为0,设直线的斜率为 则的斜率为,的直线方程为 由 (1)代入(2)整理得 同理的直线方程为,可得 所以的斜率为定值
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
