2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-5-1直线与圆.docx

第1讲　直线与圆

一、填空题
1．(2022·陕西长安五校联考)过P(2,0)的直线l被圆(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为________．
解析　由题意直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离为d＝＝，由圆的性质可得d2＋12＝r2，即2＋12＝9，解得k2＝，即k＝±.
答案　±
2．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为________．
解析　　由于抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又依据＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
答案　(x－1)2＋y2＝1
3．已知直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，且向量、满足|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为______．
解析　　∵|＋|＝|－|，∴⊥，∴△OAB是等腰直角三角形，∴点O到直线AB的距离为，即＝，∴a＝±1.
答案　±1
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.

解析　　x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．
答案　1
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．
解析　　配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.
答案　20
6．(2022·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．
解析　　由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何学问，当OC所在直线与l垂直时，OD最小，即圆C的直径最小，则OD＝＝，所以圆的半径为，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝π.
答案　π
7．(2022·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析　　由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，明显圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特殊地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．

答案　[－1,1]
8．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为________．
解析　　依据题意画出图形，如图所示，过点O作OC⊥AB于C，由于△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OA＝OB＝1，依据勾股定理得AB＝，

∴OC＝AB＝.
∴圆心到直线的距离为＝，
即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0.
∴－≤b≤.则点P(a，b)与点(0,1)之间距离d＝＝＝.
设f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函数为对称轴为x＝2的开口向上的抛物线，∴当－≤b≤<2时，函数为减函数．
∵f()＝3－2，∴d的最小值为＝＝－1.
答案　－1
二、解答题
9．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足PA＝2PB.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值．
解　(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2化简可得(x－5)2＋y2＝16，即为所求．
(2)曲线C是以点C(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．

由直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则QM＝＝，当CQ⊥l1时，CQ取最小值，CQ＝＝4，此时QM的最小值为＝4.
10．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．
(1)证明　由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值．
(2)解　∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，
∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(3)解　点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则PB＋PQ＝PB′＋PQ≥B′Q，又B′到圆上点Q的最短距离为B′C－r＝－＝3－＝2.
所以PB＋PQ的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.
11. 已知双曲线x2－＝1.

(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P(2,3)，求椭圆方程．
(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；
(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．
解　(1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
则∴a2＝16，b2＝12.
故椭圆方程为＋＝1.
(2)由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x＝8.
设N(8，t)(t＞0)．
∵AM＝MN，∴M.
由点M在椭圆上，得t＝6.
故所求的点M的坐标为M(2,3)．
所以＝(－6，－3)，＝(2，－3)，·＝－12＋9＝－3.
cos∠AMB＝＝＝－.
(3)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A、F、N三点坐标代入，得
得
圆的方程为x2＋y2＋2x－y－8＝0，令x＝0，得y2－y－8＝0.
设P(0，y1)，Q(0，y2)，则y1,2＝.
由线段PQ的中点为(0,9)，得y1＋y2＝18，t＋＝18，
此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0.