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第2讲 函数与方程及函数的应用
一、填空题
1．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．
解析 由题意知即为方程x2＋2x＋a＝0无实数解，即4－4a＜0，解得a＞1.
答案 (1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2 x＝0，解得x＝，又由于x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
答案 0
3．(2022·苏州模拟)函数f(x)对一切实数x都满足f＝f，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．
解析 函数图象关于直线x＝对称，方程f(x)＝0有三个实根时，肯定有一个是，另外两个关于直线x＝对称，其和为1，故方程f(x)＝0的三个实根之和为.
答案
4．已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝x2－ax＋1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 由函数f(x)对任意的x∈R满足f(－x)＝f(x)得该函数是偶函数，所以若f(x)有4个零点，则当x≥0时，f(x)＝x2－ax＋1有2个零点，所以
解得a＞2，则实数a的取值范围是(2，＋∞)．
答案 (2，＋∞)
5．一块外形为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm、60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.
解析 设直角边为40 cm和60 cm上的矩形边长分别为x cm、y cm，则＝，解得y＝60－x.矩形的面积S＝xy＝x＝－(x－20)2 ＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.
答案 600
6．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)g[f(1)]＝________；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0的实数根的个数有4个，则a的取值范围是________．
解析 (1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2；
(2)令f(x)＝t，则g(t)＝a，要使原方程有4解，则方程f(x)＝t在t＜1时有2个不同解，即函数y＝g(t)，t＜1与y＝a有两个不同的交点，作出函数y＝g(t)，t＜1的图象，由图象可知1≤a＜时，函数y＝g(t)，t＜1与y＝a有两个不同的交点，即所求a的取值范围是.
答案 (1)－2 (2)
7．(2022·广州测试)已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.假如函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为____________．
解析 若a＝0，则f(x)＝2x－3.
f(x)＝0⇒x＝∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.
下面就a≠0分两种状况争辩：
(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，
解得≤a≤.
(2)当f(－1)·f(1)＞0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是
解得a＞.
综上，实数a的取值范围为.
答案
8. (2021·南师附中模拟)如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则l－S的最大值为________．
解析 设正方形的边长为a(a≥1)，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G的轨迹如图，是由半径均为的四段圆弧、长度均为a－1四条线段围成的封闭图形，周长l＝π＋4(a－1)，面积S＝a2－π，所以l－S＝－a2＋4a＋π－4，a≥1，由二次函数学问得当a＝2时，l－S取得最大值.
答案
二、解答题
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.
因此实数a的取值范围是(0,1)．
10. 如图，在C城周边已有两条大路l1，l2在点O处交汇．已知OC＝(＋)km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，现规划在大路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条大路通过C城．设OA＝x km，OB＝y km.
(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
(2)试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小．
解 (1)由于△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以x(＋)sin 45°＋y(＋)·sin 30°＝xysin 75 °，
即x(＋)＋y(＋)＝xy，
所以y＝(x＞2)．
(2)△AOB的面积S＝xysin 75°＝xy＝×＝(x－2＋＋4)≥×8＝4(＋1)．
当且仅当x＝4时取等号，此时y＝4.
故OA＝4 km，OB＝4 km时，△OAB面积的最小值为4(＋1) km2.
11．(2022·南京、盐城模拟)如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.
(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)
(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
解 (1)由题意得
解得
即9≤x≤15.
所以x的取值范围是[9,15]．
(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y＝a×π×2＋ax×πx2＋×
＝，
令f(x)＝－x4＋x3－12x2，
则f′(x)＝－x3＋4x2－24x
＝－4x.
由f′(x)＝0解得x＝0(舍去)或x＝10或x＝15，
列表如下：
x
9
(9,10)
10
(10,15)
15
f′(x)
－
0
＋
0
f(x)
微小值
所以当x＝10时，y取最小值．
故当x＝10时，可使“环岛”的整体造价最低．
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