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双基限时练(十九) 指数函数的图像和性质(二)
基 础 强 化
1．设f(x)＝|x|，x∈R那么f(x)是( )
A. 奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B. 偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C. 奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D. 偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析 ∵f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，知f(x)为偶函数，又x>0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减．
答案 D
2．y＝1－x2的单调增区间为( )
A. (－∞，＋∞) B. (0，＋∞)
C. (1，＋∞) D. (0,1)
解析 依据复合函数的单调性求得．
答案 B
3．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为( )
A. B. 3
C. D. 2
解析 当a>1时，由题意得a0－1＝0，a2－1＝2，得a＝；当0<a<1时，由题意得无解，
故a的值为.
答案 A
4．若(2a－1)x2≤(2a－1)2x－1，(a>，且a≠1)，则a的取值范围是( )
A. a>1 B. <a<1
C. 0<a< D. a>，且a≠1
解析 ∵x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴x2≥2x－1，又(2a－1)x2≤(2a－1)2x－1，∴0<2a－1<1，得<a<1.
答案 B
5．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0>0，,x\o\al(得x0<－1或x0>1.
答案 D
6．y＝的奇偶性和单调性是( )
A. 是奇函数，它在(0，＋∞)上为减函数
B. 是偶函数，它在(0，＋∞)上为减函数
C. 是奇函数，它在(0，＋∞)上为增函数
D. 是偶函数，它在(0，＋∞)上为增函数
解析 y＝为奇函数，且在(0，＋∞)为增函数，故选C.
答案 C
7．函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________．
解析 由复合函数的单调性知，－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.
答案 [2，＋∞)
能 力 提 升
8．已知P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝ax＋1，a>0且a≠1}．假如P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是________．
解析 ∵y＝ax＋1>1，∴欲使P∩Q有且只有一个元素，需m>1.
答案 (1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)满足f(－2)<f(－1)，则g(x)＝a3－2x＋x2的单调递增区间为________．
解析 由题可知，a>1，依据复合函数的单调性可知g(x)的单调增区间为[1，＋∞)．
答案 [1，＋∞)
10．设0≤x≤2，求函数y＝4 x －3·2x＋5的最值．
解 y＝4 x －3·2x＋5＝·4x－3·2x＋5
设2x＝t，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4.
∴y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋.
当t＝3时，ymin＝.
当t＝1时，ymax＝.
∴函数的最大值为，最小值为.
11．定义运算a⊕b＝若函数f(x)＝2x⊕2－x.
求：(1)f(x)的解析式．
(2)画出f(x)的图像，并指出单调区间、值域．
解 (1)由a⊕b＝
知f(x)＝2x⊕2－x＝
(2)y＝f(x)的图像如图：
单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，值域为(0,1]．
12．已知函数f(x)＝2ax＋2(a为常数)．
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)若a>0，试证明函数f(x)在R上是增函数．
(3)当a＝1时，求函数y＝f(x)，x∈(－1,3]的值域．
解 (1)函数f(x)＝2ax＋2对任意实数x都有意义，所以定义域为实数集R.
(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，由a>0得ax1＋2<ax2＋2，
由于y＝2x在R上是增函数．
所以2ax1＋2<2ax2＋2即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x) 在R上是增函数．
(3)由(2)知，当a＝1时，f(x)＝2x＋2在(－1,3]上是增函数，所以f(－1)<f(x)≤f(3)，即2<f(x)≤32.
所以函数f(x)的值域为(2,32]．
考 题 速 递
13．已知f(x)＝x，
(1)求f(x)的定义域；
(2)推断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：f(x)>0.
解 (1)由2x－1≠0得2x≠20，故x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)函数f(x)是偶函数．理由如下：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，
∵f(x)＝x＝·，
∴f(－x)＝－·＝－·＝·＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
(3)由(2)知f(x)＝·，其中2x＋1>0，
若x>0，则2x－1>0，即f(x)>0；
若x<0，则2x－1<0，即f(x)>0.
综上所知：f(x)>0.
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